Sur l`enveloppe wronskienne d`une algèbre de Lie différentielle
L’enveloppe
wronskienne
Laurent
Poinsot
Motivations
Solution
Algèbre de
Lie libre de
champs de
vecteurs
D’autres
enveloppes
universelles
Structure
d’algèbre de
Hopf
différentielle
Problèmes
ouverts
Sur l’enveloppe wronskienne d’une algèbre de
Lie différentielle
Laurent Poinsot
LIPN, Université Paris XIII, Sorbonne Paris Cité
Seconde adresse : CReA, École de l’Air, France.
Jeudi 12 mai 2016
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L’enveloppe
wronskienne
Laurent
Poinsot
Motivations
Solution
Algèbre de
Lie libre de
champs de
vecteurs
D’autres
enveloppes
universelles
Structure
d’algèbre de
Hopf
différentielle
Problèmes
ouverts
Table des matières
1Motivations
2La solution au problème de l’immersion
3Algèbre de Lie libre de champs de vecteurs
4D’autres enveloppes universelles
5Structure d’algèbre de Hopf différentielle
6Problèmes ouverts
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L’enveloppe
wronskienne
Laurent
Poinsot
Motivations
Solution
Algèbre de
Lie libre de
champs de
vecteurs
D’autres
enveloppes
universelles
Structure
d’algèbre de
Hopf
différentielle
Problèmes
ouverts
Donnons-nous une algèbre commutative différentielle ((A,∗),d)
(sur un anneau R).
Autrement dit, d:A→Aest R-linéaire et satisfait la règle de
Leibniz
d(a∗b) = d(a)∗b+a∗d(b).
Une telle structure permet de définir un crochet de Lie, à savoir
le wronskien
Wd(a,b) := a∗d(b)−d(a)∗b.
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L’enveloppe
wronskienne
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Motivations
Solution
Algèbre de
Lie libre de
champs de
vecteurs
D’autres
enveloppes
universelles
Structure
d’algèbre de
Hopf
différentielle
Problèmes
ouverts
La relation ((A,∗),d)7→ (A,Wd)s’étend en un foncteur
W:DiffCom →Lie.
Ce foncteur possède un adjoint à gauche W:Lie →DiffCom
lequel permet de définir une nouvelle sorte d’enveloppe
universelle, l’enveloppe (universelle) wronskienne d’une algèbre
de Lie.
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L’enveloppe
wronskienne
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Solution
Algèbre de
Lie libre de
champs de
vecteurs
D’autres
enveloppes
universelles
Structure
d’algèbre de
Hopf
différentielle
Problèmes
ouverts
Le problème de l’immersion :
À quelles conditions une algèbre de Lie se plonge-t-elle dans son
enveloppe wronskienne (avec le crochet wronskien) ?
Par exemple, sl2(R), pour Run corps de caractéristique zéro, se
plonge dans son enveloppe wronskienne.
En effet sl2(R)→(R[x],Wd
dx ), au travers du plongement
classique e=−1, h=−2xet f=x2, ce qui est suffisant pour
s’assurer de son immersion dans son enveloppe wronskienne.
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