fiche G4- droites remarquables

RAPPELS - DROITES REMARQUABLES DANS LE TRIANGLE
1. MEDIATRICES.
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Exemple : (d) est la médiatrice du coté [AB].
Propriété fondamentale :
Tous les points de la médiatrice d’un segment sont équidistants des deux extrémités
de ce segment.
Propriété :
Les médiatrices des cotés d’un triangle sont concourantes. Leur point de concours s’appelle le centre du cercle circonscrit au
triangle.
Remarques :
* Si le triangle possède un angle obtus, le centre du cercle circonscrit se trouve à l’extérieur du triangle.
* Si le triangle est rectangle, le centre du cercle circonscrit se trouve au milieu de son hypoténuse.
2. HAUTEURS.
La hauteur issue d’un sommet du triangle est la droite :
 qui passe par ce sommet
 et qui est perpendiculaire au coté opposé.
On parle aussi de hauteur relative à un coté.
Exemple : (d) est la hauteur relative au coté [BC] ou la hauteur issue du sommet A.
Propriété :
Les hauteurs d’un triangle sont concourantes. Leur point de concours s’appelle l’orthocentre du triangle.
Remarques :
* Si le triangle possède un angle obtus, l’orthocentre se trouve à l’extérieur du triangle.
* Si le triangle est rectangle, l’orthocentre est confondu avec l’angle droit.
3. MEDIANES.
La médiane issue d’un sommet du triangle est la droite :
 qui passe par ce sommet
 et par le milieu du coté opposé.
On parle aussi de médiane relative à un coté.
Exemple : (d) est la médiane relative au coté [AB] ou la médiane issue du sommet C.
Propriétés :
* Les médianes d’un triangle sont concourantes. Leur point de concours s’appelle le centre de gravité du triangle.
* Le centre de gravité d’un triangle se situe aux
2
3
de la médiane à partir du sommet (ou à
1
3
de la médiane à partir du pied de la
médiane)
4. BISSECTRICES.
La bissectrice d’un angle est la droite qui partage l’angle en deux angles égaux.
Exemple : (d) est la bissectrice de l’angle ABC
^ .
Propriétés :
* Les bissectrices des 3 angles d’un triangle sont concourantes. Leur point de concours est
le centre du cercle inscrit au triangle.
* Le cercle inscrit au triangle est le cercle tangent aux trois côtés du triangle
Remarques :
 Dans un triangle isocèle, les 4 droites remarquables issues du sommet principal sont confondues. (c’est l’axe de symétrie du triangle isocèle)
 Dans un triangle équilatéral, les 4 droites remarquables issues de chaque sommet sont confondues. (ce sont les 3 axes de symétrie du triangle
équilatéral)
C
B
A
(d)
O
C
B
A
(d)
H
A
A’
B
B’
C
C’
(d)
G
C
B
A
(d)

 Triangles particuliers :