Diapositive 1

Chapitre 7:
Solutions à certains exercices
D’autres solutions peuvent s’ajouter sur
demande: [email protected] ou 647-5967.
Le solutionnaire de Benson est disponible à la
réserve de la bibliothèque.
NYB
Ch.7
E2
V  rI  
11.2   r  80  12.4

r
I
R
r
12.4  11.2
 0.015
80
NYB
Ch.7
E5
b
a ) V  Vb  Va   rI  

r
I
a
R
V
14.1   r 3.54  16 
r  0.525
V  PR  50  4  14.1V
car P  V 2 R
I  P R  50 4  3.53 A
car P  RI 2
b) V   rI  
RI  rI  
RI 2   rI 2   I
P   rI 2   I
rI 2   I  P
0.525 I 2  16 I  100  0
I  8.78 A
P
100
R 2 
 1.30
2
I
8.78
I  21.7 A
P
100
R 2 
 0.213
2
I
21.7
NYB
Ch.7
E6
b
V  Vb  Va   rI  1   2
1
2
V
I
a
r
 2  1
14.2  12.4
 36 A
r
0.05
a ) P  rI 2  0.05  362  64.8W
b) P  1 I  12.4  36  446W
I

Dans un premier temps, il faut trouver le courant dans le circuit. La puissance
est dissipée en chaleur dans la résistance interne de la pile. L’énergie
(&puissance) électrique est convertie en énergie (&puissance) chimique dans
la pile qui est rechargée.
NYB
Ch.7
E9
6
4.4 
0.234 A
1.04V
0.569V
0.815 
1.28A 1.04V
2.4 
0.234 A
7.81
1.28A
0.569V
10V
On simplifie progressivement le circuit jusqu’à trouver la résistance équivalente ce
qui permet de trouver le courant total. En revenant en arrière, on trouve tous les
tensions et courants dans les diverses résistances Il est utile de dessiner les
circuits intermédiaires qui sont utiles par la suite.
NYB
Ch.7
E15
a) V  PR  20  4  8.94V
car P  V 2 R
La tension V est la même puisque les résistances
sont en parallèle.
I
4
b) V  Req I  6  2.24  13.4 V
I  P R  20 4  2.24 A
car P  RI 2
4
4
I
2
4
I
6
Les deux résistances de 4Ω en parallèle sont
équivalentes à une résistance unique de 2Ω. Dans
le circuit série équivalent, la résistance de 4Ω va
dissiper la plus grande puissance puisque les deux
résistances sont parcourues par le même courant I.
Le courant maximal pour la 4Ω va être le courant
maximal du circuit série.
NYB
Ch.7
E16
V   r1 I  1
V   r2 I   2
I
r1 I  1   r2 I   2
1   2  r1 I  r2 I
1   2 1.53  1.48
I
r1  r2

0.05  0.15
 0.25 A
V  Vb  Va  1  r1 I  1.53  0.05  0.25  1.52V
V  Vb  Va   2  r2 I  1.48  0.15  0.25  1.52V
P  r1 I 2  r2 I 2  0.05  0.252  0.15  0.252  12.5mW
Il s’agit de deux piles réelles branchées en parallèle; la pile #1 se
décharge et la pile #2 se charge. Il faut trouver le courant I dans le circuit.
La différence de potentiel entre a et b est la somme des différences de
potentiel lorsqu’on parcourt un chemin de a vers b (2 possibilités).
NYB
Ch.7
E17
P  VI  I  P V
I Lampe  PLampe V  60 120  0.5 A
I Radio  PRadio V  10 120  0.083 A
I Grille  pain  PGrille  pain V  1000 120  8.33 A
I Radiateur  PRadiateur V  1500 120  12.5 A
NYB
Ch.7
E19
a)
 V  0
1  R1 I   2  R2 I  0
I
I
1   2
R1  R2

96
 0.5 A
24
b) P1  R1 I 2  2  0.52  0.5W
P2  R2 I 2  4  0.52  1.0 W
c) P1  1 I  9  0.5  4.5W
P2   2 I  6  0.5  3.0 W
On trouve le courant par application de la loi de Kirchhoff des mailles (Eq.
7.6). On postule un sens à I puis on assigne les polarités des résistances
en fonction de I (du + au -).
On considère que la puissance fournie à la 2e pile est négative car celle-ci
absorbe une puissance (elle se charge) au lieu de la fournir.
NYB
Ch.7
1
E25
a ) I1  I 2  I 3  0
2
Noeud A
26  2 I1  5 I 3  0
Maille 1
25  5 I 2  5 I 3  0
Maille 2
I1  3 A
I 3  4 A
I 2  1A
V1  3  2  6V
V2  1 5  5V
V3  4  5  20V
b) VA  VB   R3 I 3  5   4   20V
VA  VB  1  R1 I1  26  2  3  20V
VA  VB   R2 I 2   2  5   1  25  20V
La direction des courant étant fixée arbitrairement, on indique les polarités des
résistances en fonction des courants. On applique alors les lois de Kirchhoff pour le
nœud A et les mailles 1 et 2 dans le sens horaire. Le système d’équation est résolu
par substitution ou autre.
VA-VB est la somme des différences de potentiel rencontrées lors d’un trajet
quelconque (3 sont possibles) allant du point B vers le point A.
NYB
Ch.7
I3
E28
I2
I1  I 3  I 2  0
3I1  5 I 3  7  2 I1  12  0
7  5 I 3  2 I 2  3I 2  13  0
I1
I1  2 A
I2  3A
I 3  1A
VA  VB  2 I1  12  8V
NYB
Ch.7
I1
E29
I2
I3
I1  I 2  I 3  0

I2  4 A
12  RI 2  2 I1    3I1  0

8  5 I1  
16  4 I 3  RI 2  12  0

RI 2  4

2 I1  14    8  5 I1  I1  2 A
I3  6 A
  2 I1  14
  18V
R  1
NYB
Ch.7
E33
Ch.7
NYB
E 33
a ) Req  R1  R23  2  1.33  3.33
R23  R2 R3   R  R

1 1
3
1
2
 4  2
1

1 1
 1.33
I1   Req  0.3 
V23  R23 I1  1.33  0.3  0.4
V232  0.4 
 6 W   2  6 0.4  8.66 V

P3 
2
R3
2
 0.4  8.66   3W
V232  0.4 


b) P2 
4
4
R2
2
2
P1  R1 I12  2   0.3 
ξ
I2
R2=4Ω
I3
R3=2Ω
ξ
2
R23=1.33Ω
I1
2
ξ
I1
I1
R1=2Ω
 2   0.3  8.66   13.5W
R1=2Ω
Req=1.33Ω
NYB
Ch.7
E38
a
ξ
a ) VC   1  e t RC 
R
VR
VC  200 1  e 1   126V
b) VR   e t RC
I
VR  200e 1  73.6V
C
VC

c) U  CV  C  1  e
2
C
1
2
1
2
t RC

U   50  10  200  1  e
6
1
2
2
2
 C 1  e
1
2

5 10 2
2

t RC 2
 0.155 J
RC  2  105  50  106  10 s
 e
V
d) P 

R
R
2
R

t RC 2

 2 e 2t RC
R
2002  e 25 10

 0.0736W
5
2 10
NYB
Ch.7
E39
a ) Q  Q0e t RC  0.001e 1  0.368mC
R
Q0  C  40 106  25  1mC
I  I 0 e t RC  0.001e 1  0.368mA
C
I 0   R  25 2.5 104  1mA
b) U 
2
Q
2C
3.68 10 


4 2
 1.69mJ
2  40 106
c) P  RI  R  I 0e
2

t RC 2
 RI 02e 2t RC  2.5  104  0.0012  e 20.5 1  9.20mW
RC  2.5 104  40 106  1s
dU d  Q02 e 2t RC
d)
 
dt dt  2C
2
Q
U
2C
Qe


 Q02 d 2t RC Q02  2  2t RC Q02e 2t RC
0.0012 e 20.5 1
e





e
2
2
2
C
dt
2
C
RC

RC



2.5 104   40 106 

t RC 2
0
2C
Q02 e 2t RC

2C
 9.20mW
NYB
Ch.7
E63
a)
I1
500 Ω
I2
200 Ω
24 V
VC
C
300 Ω
a) À l’équilibre, le condensateur est complètement chargé et
aucun courant (I2 = 0) ne circule dans la résistance de 200
Ω. Un courant I1 de 30 mA (24/(300+500)) circule dans
l’autre branche produisant une différence de potentiel de
VC = 15 V (30mA x 500 Ω) aux bornes de la résistance de
500 Ω et donc aux bornes du condensateur. La charge du
condensateur est donc Q = CVC = 60 μF x 15 V = 900 μC.
b) Si on ouvre le commutateur, le condensateur se décharge à
travers une résistance équivalente de 700 Ω (200 Ω + 500
Ω).
Q  Q0e t RC
R  200  500  700
C  60  F
Q  0.25Q0  Q0e t RC
b)
500 Ω
0.25  e t RC
ln 0.25  t RC
200 Ω
I
C
t   RC ln 0.25  700  60 106 ln .25  0.0582 s
P7
a
Il est possible de résoudre ces
six équations avec l’aide de
Maple ou d’une calculatrice.
Il est possible de résoudre
manuellement dans certains
cas simples, mais ce serait
fastidieux dans les cas plus
complexes.
I1  i2
I 2  i3
I 6  i1
I 3  i1  i2 I 4  i1  i3 I 5  i2  i3
b) I 3  I 5  I 4  0
c) I1  I 5  I 2  0
KVL : 1) 20  3I 3  6 I 4  0
I6
ξ
2) 3I 3  4 I1  20 I 5  0
3) 6 I 4  20 I 5  1I 2  0
R3
3Ω
1
R4
6Ω
2
R1
I3
4Ω
b R5 20
Ω
I5
3
I4
R2
1Ω
I1
c
I2
Il est possible de réduire le nombre d’équations
(et d’inconnues) par un changement de
i1 , i2 , i3 variables
variables. Les nouvelles
sont
appelées « courants de maille ». Ces courants
satisfont automatiquement les équations KCL qui
deviennent alors inutiles. Il ne reste que les trois
équations LVL.
 i1    i1  i2    i2   0
b)  i1  i2    i2  i3    i1  i3   0
c)  i2    i2  i3    i3   0
1) 20  3  i1  i2   6  i1  i3   0
2) 3  i2  i1   4i2  20  i2  i3   0
3) 6  i3  i1   20  i3  i2   1i3  0
KCL : a)
KVL :
KCL : a) I 6  I 3  I1  0
9i1  3i2  6i3  20
3i1  27i2  20i3  0
6i1  20i2  27i3  0
 9 3 6 20 



3
27

20
0


 6 20 27 0 


P7: solution par triangulation
20 
20 
 9 3 6 20 
 9 3 6
 9 3 6
1
2

 L2  3 L1  L2 
 L3  3 L1  L3 


3
27

20
0

0
26

22
20
3

0
26

22
20
3






 6 20 27 0 
 6 20 27



0 



 0 22 23 40 3 
20   9i1  3i2  6i3  20 
 9 3 6
22
L3  26 L2  L3

 


  0 26 22 6.67    26i2  22i3  6.67 
 0 0 4.38 19.0  
4.38i3  19.0 

 
i3  19.0 4.38  4.33 A
i2   6.67  22  4.33 26  3.92 A
i1   20  6  4.33  3  3.92  9  6.41A
I1  i2  3.92 A
I 3  i1  i2  6.41  3.92  2.50 A
I 2  i3  4.33 A
I 4  i1  i3  6.41  4.33  2.08 A
I 6  i1  6.41A
I 5  i2  i3  3.92  4.33  0.409A