Projet CONGE

Modèles
Compartimentaux
G.Sallet
& Université de METZ
Un exemple: Tuberculose 2 souches
Susceptibles
Latents 1
Latents 2
Infectieux 1
Infectieux 2
Traités
Un exemple: Tuberculose 2 souches
SI1
SI2
Ý
 2
S   1
 S 
N
N
EI
EÝ1    2 1 2 rT  E1 k1E1
N
SI1
TI1
 1
 pr˜I1  1
N
N
Le principe
Compartiments
•Une quantité de matières
cinétiquement homogène. En
particulier toute quantité entrante est
instantanément mélangée avec le reste
•Un compartiment peut-être abstrait
•Les matières d ’un compartiment ne
se transforment pas.
Analyse compartimentale
n compartiments
 qi quantité dans le compartiment i
 fij, fji, Ii Oi fonctions de q
Quantités toutes ≥ 0
L ’extérieur est noté compartiment 0

Équations
qÝi   fij  f ji   fi 0  f0i
ji
Équations
f ji q1 ,
,qi 1 ,0,qi1 ,
, qn   0
Cela traduit qu ’il ne peut rien sortir
si le compartiment est vide !

Un théorème bien utile

Théorème
Si une fonction f est telle que f(0)=0
Alors
f (x)  A(x).x
Où A(x) est la matrice
A(x)  0 Df (sx ) ds
1
preuve :
f ( x)  f ( x) 
f (0)  
dt
 f (tx dt
d
1
0
dt
 f (tx)  Df (tx). x
d
Équations
on définit
f ji  a ji (q). qi
qÝi   fij  f ji   fi 0  f0i
ji
d ’où







qÝi   a0i   a ji . qi   aij .q j  fi 0


 j i

j i
Équations







qÝi   a0i   a ji . qi   aij .q j  fi 0


 j i

j i
on définit


aii   a0i   a ji 


j i
Puis la matrice et le vecteur
A  aij 
On a alors
E0   fi 0 
qÝ A(q).q  E0
Propriétés
qÝ A(q).q  E0
On notera aij la flèche qui apporte dans i
venant de j, la quantité de matières aij q j
A(q)
Propriétés de la matrice
1
aij  0 pour i  j
2
aii  0
n
3
a
i 1
ij
0
n
a
i 1
ij
 a jj   aij  a0 j
i j



a jj   a0 j   aij 


ij
Un telle matrice s ’appellera matrice
compartimentale
Propriétés du système
Une matrice telle que aij
une matrice de Metzler
 0 pour i  j
s ’appelle
Lemme 1 : toute matrice de Metzler laisse invariant l ’orthant
x  IR | xi  0 i 
n
Lemme 2 : toute matrice compartimentale laisse invariant
pour tout M le simplexe

  x IRn | xi  0 i,
x  M 
i
Modèles
Mathématiques
en
Epidémiologie
G.Sallet
& Université de METZ
Historique
1760
Daniel Bernoulli
1906
W.H. Hamer
1908
1927
R. Ross
W.O Kermack et A.G
McKendrick
D. Bernoulli
Méthode mathématique pour évaluer
l’efficacité des techniques de variolation

 D. Bernoulli
Essai d’une nouvelle analyse de
la mortalité causée par la petite
vérole et des avantages de
l’inoculation pour la prévenir
Mémoire mathématiques
Académie royale des sciences
Paris 1760
W.H. Hamer

1906 Hamer postule :
The
course of an epidemics depends on the
rate of contact between susceptibles and
infectious individuals
i.e.
« principe d’action de masse »
R. Ross

1911
‘ As a matter of fact all epidemiology,
concerned as it is with variation of disease
from time to time or from place to place, must
be considered mathematically, however many
variables are implicated, if it is to be
considered at all…and the mathematical
method of treatment is really nothing but the
application of careful reasoning to the
problem at hand’

R. Ross
prix Nobel en 1902 pour avoir prouvé que
les anophèles transmettent les parasites du
paludisme

1908
modèle continu pour la transmission
du paludisme, avec action de masse.
 Fondateur de l’épidémiologie mathématique
Dans sa quête pour établir qu’il n’était pas
nécessaire d’éradiquer complètement les
moustiques pour supprimer le paludisme
Notion de seuil !
R. Ross


Modèle de Ross
(1911)
xÝ  1 xy  1 y  r x

yÝ 2 xy  2 x  y
Lotka-Volterra
(1924)
xÝ ax  bxy

yÝ cxy  dy
W.O Kermack A.G. McKendrick
1927 Contribution à la théorie
mathématique des épidémies


Notion de «threshold»
seuil
Maladies Infectieuses

Microparasites

Macroparasites

virus
 Bacteries
 Protozoaires

Nématodes Intestinales
Schistosomiasis (Bilharziose)
 Filarioses
 Onchocercose
Microparasites

petite taille

Reproduction dans l’hôte
durée de l’infection courte
relativement à la durée de vie
de l’hôte


une certaine immunité

Measles Rougeole
 Mumps Oreillons
 Whooping cough Coqueluche
 Rubella Rubéole
 Diphtheria Diphtérie
 Chicken pox Varicelle
 Gonorrhoea Gonorhée
 AIDS
SIDA
 Malaria Paludisme
 Trypanosomiasis
…...
Cours d’une maladie

Infection microparasitique
Infections Microparisitiques

modèles Compartimentaux
population divisés en parties
homogènes

Susceptibles
Infecté Latents
Infectieux
Recovered et
immuns

Infections Microparisitiques
on ne distingue pas le
degré de l’infection

au contraire la densité
parasitique est essentielle
dans les infections
macroparatiques

Infectionpar les protozoaires sont entre les deux e.g
Malaria, Trypanosomiasis

Modèles Compartimentaux

Susceptibles
 capable de contracter la maladie et de
devenir infectés


Exposed
 individus latent qui ayany contracté
la maladie ne la transmette pas encore
Infectives
 transmette la maladie aux susceptibles

Removed
 ne transmettent pas la maladie
( guéris, morts, quarantaine…)
Modèles Compartimentaux
 Modèle SIR S
Modèles Compartimentaux
SIRS avec
dynamique vitale

Le modèle Kermack-McKendrick
classique
Le modèle Kermack-McKendrick

avec dynamique vitale
Le modèle Kermack-McKendrick
SIRS dynamique vitale,
immunité temporaire

Modélisation du contact
Représentation mathématique du
mécanisme de la transmission

Qu’est
ce que S(t), I(t), R(t) ?
•La taille de la population ?
•Une densité ?
Modélisation du contact

S(t), I(t), R(t) ?
•Originellement Kermack-McKendrick
S,I,R étaient une densité de population
par unité de surface (Ile de Bombay)

vraie loi d ’action de masse. Si 
• le nombre de contacts adéquats
(contact suffisant pour la transmission)
Modélisation du contact
S(t) nombre de susceptibles
I(t) le nombre d ’infectieux
N(t) la population totale

•  le nombre de contacts adéquats (contact suffisant pour
la transmission) d ’une personne par unité de temps
le nombre de moyen de contacts par unité de
temps d ’un susceptible
•D ’où
est le nombre de nouveaux cas par unité de
temps dus à S susceptibles.
Modélisation du contact
• Si on utilise une forme d ’incidence du type
– pour 5 maladies, (rougeole, coqueluche, varicelle,
diphtérie, scarlatine) avec des populations variant entre
1000 et 400 000 on trouve que
–La vraie action de masse est aussi plus
réaliste pour les populations animales.
Modélisation du contact
vraie action de masse
pseudo action de masse
The reproduction number R0
R0
est le nombre de cas secondaire
qu’un seul cas engendre dans une
période infectieuse.
Introduite par Macdonald dans le
contexte du paludisme. (1952)


Diekmann, Dietz, Heesterbeek, Metz :cadre rigoureux
1990-1991
R0 et la notion de seuil

Modèle SIRS

deux équilibres :

N, 0, 0


 ,  (N   ) ,  (N   ) 
 (   ) (   ) 
Comme N=S+I+R est constant on peut
réécrire le système

S
I
s , i ,
N
N

avec

équilibres :
1,0
 
 , 
N   
R
r
N

1   

 N 
Il y a un équilibre faisable dans le
simplexe si :


with

1
N
 0


if
Il y a deux équilibres si :

1
N
 0

1  
 N 

1   
    N 


N

deux équilibres :
N
R0 
 1


si

l’équilibre est stable

Jacobien en
 
 , 
N   

1   

 N 
R0
R0
est le nombre de cas secondaire
qu’un seul cas engendre dans une
période infectieuse.
N
R0 
 1


l’équilibre endémique est stable :
R0

valeur moyenne de la durée infectieuse :
1

durant cette période une force d’infection 
s’applique sur la population des susceptibles N,


le nombre de cas secondaires est donc
N

Les infectieux quittent le compartiment à
la vitesse   d


d’où
N
R0    d
Résultats Classiques (SIRS)
R
0
1
Résultats Classiques (SIRS)
R
0
1
Résultats Classiques (SIRS)
Résultats Classiques (SIRS)
 Morts de la peste dans l’île de Bombay : 17.12.1905 to 21.061906
Exemples : MSEIR
Ý b(N  S)  (  d)M
M

Ý (b  d)S  M   SI
S

N

SI
Ý
E   N  (  d)E
Ý
I  E  (  d)I


RÝ I  dR
N  MS  E I  R
NÝ (b  d)N
MSEIR
Ý b(N  S)  (  d)M
M

SI
Ý
S  (b  d)S  M   N

Ý  SI  (  d)E
E

N
Ý
I  E  (  d)I


RÝ I  dR
m  M
N

s  S  (1 m  e  i  r)
 N
 E
e 
N

I
i 
N

R
r 
 N
Ý MNÝ M
Ý
M
mÝ
 2 
 m(b  d)
N
N
N
meir
La seule entrée du système peut s ’écrire :
mÝ b(e  i  r)  m
0 0 0 0m 

eÝ  i(1 m  e  r)  (  b)e
0 0 s 0e 

0 0 0 0 i 


 
0 0 0 0r 
iÝ  e  (  b)i

Ý
r  I  bR
qÝ A(q).q
meir (stabilité de l ’équilibre non endémique)
mÝ b(e  i  r)  m

eÝ  i(1 m  e  r)  (  b)e


iÝ  e  (  b)i

Ý
r  i  br
 
 0
A(m,e,i,r)  
 0
 0
qÝ A(q).q
b
(b   )

b
s
(b   )
0

b 
0 
0 

b
meir R0
1
(b   )

1 infectieux : vie moyenne

cela crée des latents à la vitesse

soit (s=1) latents

(b   )
multiplié par la durée de vie
moyenne d ’un latent et la vitesse 

is
R0 

(b   )(b   )
Preuve :meir

  x IRn | xi  0 i,
L ’équilibre non endémique (0,0,0,0) est GAS ssi
cT  0  (b   ) 0
 
 0
 0

 0
b
(b   )

b
s
(b   )
0

x  k 
R0 1
i
b 
0 
0 

b
cT .A(x)  0 0 s  (b   )(b  ) 0 
s  (b   )(b  )  0
mÝ b(e  i  r)  m

eÝ  i(1 m  e  r)  (  b)e


iÝ  e  (  b)i

Ý
r  i  br
Exemples : SEIRS
SÝ  g(I)S     S  R

Ý
E    g(I)S  (   )E


IÝ E  (   )I


RÝ I  (   )R
g(0)  0
g(I)  0
g(I)
c
I

exemples
SI
Ip
S
1  aI p
SEIRS
SÝ  g(I)S     S  R

Ý
E   g(I)S  (   )E


IÝ E  (   )I


RÝ I  (   )R
c
R0 
(   )(   )
g(I)  
0

0 
g(I)
 0
(   )  S
0 
I


0

(



)
0


 0
0

(   )
cT  0  (   ) 0
g(I)

S  (   )(   )  0
I
g(I)S  (  )(   )I  0
SÝ    S  R

RÝ (   )R

Le modèle de Ross (1911)

Le modèle de Ross (1911)
I  HN
t) t(1Ir 
2I ta 2b  ) t ( 1I  ) t  t ( 1I
HN
1
) t(1I
d
) t( 1Ir  )
 1( 2Ia2b  ) t(1I
td
HN
Modèle de Ross (1911)
dI1 dI
dI11ab2ab2
  I12I(H
1 I(1)
(1 
1
1 )I
)I111)I1
2IS
21S
1(r
1
dt dt H H
 
dI2dI22 ab1ab
 I(2()
  I21I(M
22 )I2
2 2(r
222)I)I
1I1SS
2
2
dt dt H H
a nombre de piqûres par moustique par unité de temps
qui
 donnent une infection
proportion
de
piqûres
infectieuses
2b
proportion de piqûres par les moustiques sains sur un infecté qui donneront
b
1
une infection pour le moustique
V
m
H
densité anophélienne,

Paludisme : Modèle de Ross (1911)
dI1 ab2

I2 (H  I1) (r1  1)I1
dt
H
I1
i1 
H
di1
V
 ab2 i2 (1 i1) (r1  1)i1
dt
H
dI2 ab1

I1 (V  I2 ) (r2  2 )I2
dt
H

I2
i2 
V
m
V
H
di2
 ab1 i1
(1 i2 ) (r2  2 )i2

dt
Paludisme : Modèle de Ross (1911)
Plus
simplement
di
di11
V
abmab
i2 s1i ((1
1  i1)i)1 ri
2
2
2
1
1
dt
H
dt
di
di2 2 ab i s  ( 
i2 )i)
1ab
1 2 i (1
2
2


i
1
1
2
2
dt
dt

1  r1
xÝ mab2 y (1 x)  r x

yÝ ab1 x(1 y)  y
2   2
Modèle de Ross (1911)
Plus
simplement
xÝ  1 xy  1 y  r x

yÝ 2 xy  2 x  y
Paludisme : Modèle de Ross (1911)
xÝ  1 xy  1 y  r x

yÝ 2 xy  2 x  y
Ross
1911
Lotka
1923
Macdonald
Dietz
1975
1957
modèle de Ross
xÝ  1 xy  1 y  r x

yÝ 2 xy  2 x  y
xÝ  r
1 (1 x) x
  
  
  y
yÝ  2 (1 y)
 r
1 (1 x) r 1 

  

y)
   2 
 2 (1
R0


Equilibre
1  2
R0 
r
xe 
R0  1
2
R0 

2
R 1

ye  0
.

R0
1 2

xÝ 1 y(1 x)  r x

yÝ  2 x(1 y)  y

1 2 ma b1b2
R0 

r
r
2
Si R0 ≤ 1 alors le DFE est GAS
Si R0 > 1 il existe
 alors un unique équilibre
endémique :

xe 
Remarque :
R0  1
2
R0 

(1 x e )(1 y e ) 
2
R0  1

ye 
.

R0
1 2

r
1

1 2 R0
Que montre ce modèle ?
1 2 ma b1b2
R0 

1
r
r
2

Si

Le paludisme disparaît


2
ma b1b2
R0 
1
r

Si

Le paludisme s’installe de façon endémique
Que montre ce modèle ?
C’était l’idée de Ross : il n’est pas nécessaire
d’éliminer totalement la population anophélienne
pour éradiquer le paludisme. Il suffit de réduire
cette population en dessous d’un certain seuil :

1 2 ma b1b2
R0 

1
r
r
2
a nombre de piqûres par moustique par unité de temps
2b proportion de piqûres infectieuses qui donnent une infection

proportion de piqûres par les moustiques sains sur un infecté qui donneront
b
1
une infection pour le moustique

Un modèle simple de la transmission de
la Dengue

Aedes Aegypti