Electrostatique 4

A-VII Les Conducteurs
A-VII.1 Introduction
Les matériaux aux propriétés intéressantes pour les applications de l’électricité – électronique sont de
trois classes
Les conducteurs
Les semiconducteurs
Les isolants
Dans le cadre de ce cours seuls les conducteurs, sous-entendu de l’électricité, nous intéressent
1
La force électrique dans la matière
Force dans
Origine de
l’attraction
Charges opposées
Exemple
Cristal
ionique
Charges opposées
NaCl
Lien
covalent
Métal
Noyaux et paire d’epartagée
Cations (ions +)
métalliques et
électrons délocalisés
H-H
Atome
Modèle
–
H
+
Au
2
Pour spécifier la nature conductrice d’un matériau et les propriétés électriques qu’il va manifester,
cherchons à savoir où se placent les électrons dans la matière solide (condensée au sens large).
Dans la matière, les
électrons nous sont fournis
par les atomes. Si ces
atomes restaient isolés les
uns des autres les électrons
resteraient bien sagement
sur leur atome initial. Le fait
de les réunir (les atomes)
pour constituer un matériau
bouscule l’arrangement
initial pour donner:
Des électrons restant sur leur atome initial: ce sont ceux des
couches électroniques profondes, peu perturbées par la
promiscuité des atomes voisins. Niveaux de Cœur
Des électrons qui passent d’un atome donné à un atome
voisin, partagés pour constituer les liaisons chimiques.
Bande de valence
Des électrons « libérés » de leur atome initial et qui peuvent
se déplacer très facilement dans la matière car peu liés aux
atomes fixes du matériau. Bande de conduction
Énergie
Bande de conduction
Bande de valence
Niveaux de Cœur
3
D’une classe de matériaux à l’autre le schéma de
répartition des électrons reste globalement le même. Ce qui
change essentiellement c’est l’écart énergétique existant
entre les électrons les plus hauts de la bande de valence et
ceux les plus bas de la bande de conduction. Cet écart
s’appelle la bande interdite, le gap en anglais.
Si le gap est grand (>5 eV « électron-volt ») peu
d’électrons peuvent passer dans la bande de conduction et
le matériau est isolant.
Si le gap est nul, beaucoup d’électrons pourront se
trouver dans la bande de conduction et le matériau sera
conducteur à toute température.
Bande conduction
Bas de bande de
conduction
Gap
Bande de valence
Sommet de bande
de valence
Si le gap est ~eV, il sera alors possible de provoquer
l’arrivée d’électrons dans la bande de conduction et rendre
le matériau conducteur, alors qu’il ne l’était pas
intrinsèquement. Ces matériaux dits semiconducteurs,
véritables machines à électrons, jouent un rôle essentiel
dans la technologie d’aujourd’hui: Matériel Informatique,
Matériel des Télécommunication, Électronique en
général…
4
Voici un schéma qui résume les trois situations
Conducteur
Semiconducteur
Bande de Valence
Pour que la matériau soit
conducteur il faut que les
atomes constitutifs aient des
électrons extérieurs peu liés à
l’ensemble de l’atome.
L’expression « électron libre »
est entrée dans le langage
courant, comme d’autres
expressions d’autant plus
usitées que mal comprises.
Gap
Isolant
Bande de Conduction
Électron extérieur, candidat à la liberté
5
Sous une forme idéale un matériau conducteur va se présenter comme suit
Retenons que dans un tel matériau de très nombreux électrons sont disponibles pour la conduction.
Le conducteur sera dit parfait si la moindre sollicitation électrique, présence d’un champ électrique
même très faible, est en mesure de déplacer les charges libres. Tous nos conducteurs seront de
dimensions finies.
A-VII.2 Propriétés d’un conducteur à l’équilibre
Il résulte de ce qui précède la première propriété pour un conducteur isolé de toute source de
charges électriques et ayant trouvé son équilibre électrique:
Il ne peut exister de charges à l’intérieur de la matière d’un conducteur, qui ne peut être chargé
qu’en surface.
En effet si de telle charges électriques existent le champ électrique créé par toutes les charges sur
l’une d’entre elle va la mettre en mouvement, occurrence contraire à l’hypothèse d’équilibre
+
+ + + + + ++
préalablement atteint.
+
+
++
+
+ + Conducteur à l’équilibre
+
+
+
+
+



(
+

(
r
)

0
+
surface r )
int
+
+ éventuellement  0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++ + + + + + +
+
6
Si la densité de charges libres est nulle dans le matériau l’application du théorème de Gauss sur une
surface quelconque, fermée, interne à la matière, conduit à un champ électrique nul.
Q
+ + + + ++
+
E   int  0
++
++
o
Conducteur à l’équilibre
++
+
+
++


+
+
+
Ce qui implique que Eint  0
+
+


(
r
)

0
+
int
+
Le champ électrique à l’intérieur d’un conducteur à +
+ Surface de Gauss interne
+
l’équilibre est nul.
+
+

+
+
+
Que dire du potentiel d’un conducteur à l’équilibre? +
+
+
+ ++
+ + + ++ +
Comme le champ électrique interne est nul, la
différence de potentiel entre deux points A et B du
conducteur, circulation interne du champ électrique
+ + + + ++
+
entre ces deux points, est nulle
++
++
Conducteur à l’équilibre

++
+
+
++
C Eint .d  VA  VB  0
+
+
+
Le conducteur à l’équilibre est équipotentiel sur
+
+
B
tout son volume de matière. Comme le potentiel est +
+
+
A
+
une fonction continue de l’espace, ce potentiel et
+
+
+
+
aussi celui de sa surface.
+
+
+
++
Un conducteur à l’équilibre est un domaine
++ + + + + +
+ +
équipotentiel.
7
Il résulte de l’équipotentialité du conducteur que les
lignes de champ, si elles existent, sont extérieures et
perpendiculaires aux surfaces du conducteur (il peut
exister des surfaces internes).
La densité locale de charges en un point M de la
surface étant σ(M), cherchons à déterminer le
champ électrique en surface.
On construit, traversant la surface du conducteur,
une petite surface de Gauss  constituée d’un petit
cylindre extérieur, de hauteur infinitésimale, de
surface de base S et de surface latérale S
et fermée par une surface interne Sint quelconque.
S
+
S

E
+ + + +++ + ++
+
+++ +
+
++
M
++
+
(M)
+
S 
Sint

E
+
+ + + + + ++
+
Conducteur
+
+
+
++
à
++
+
+
+ l’équilibre
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++ + + + + +
+ +

E
+ + + + ++
+
++
++
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++ + + + + +
+ +
Conducteur
à
l’équilibre
8
E=0, no field!
Lignes de champ du système « cylindre-disque »
Il faut remarquer que les lignes de champ sont bien
perpendiculaires au conducteur et que le champ à
l’intérieur du conducteur cylindrique est nul
9
La surface fermée de Gauss est la somme   S  S  Sint
Le flux du champ électrique à travers ces trois surfaces donne
Pour Sint le champ dans le conducteur étant nul, le flux
également. C’est la raison pour laquelle nous n’avons pas précisé
la forme de Sint
Pour S le champ à la surface du conducteur lui étant
perpendiculaire, il est tangent à S , et son flux est nul.
Pour S le champ lui étant perpendiculaire avec la normale
bien orientée le flux est égal à   ES (M )S
La charge intérieure de  , celle découpée sur la surface du
conducteur, est donnée par (M)S
Il en résulte l’expression du champ à la surface du conducteur à
l’équilibre
( M )
ES (M) 
o
ES (M) 
( M )
o
+ + + +++ + ++
+
+++ +
+
++
+
M
+
+
(M)
+
Conducteur à
+
l’équilibre
10

E'
Pouvoir des pointes
S’
Depuis longtemps utilisé dans les paratonnerres le
pouvoir des pointes peut être abordé comme suit.
Le long du tube de flux entre S et S’ le flux se conserve
S.E  S'.E'  Cte
Par variation de cette quantité S.E  S.E  0
Soit aussi en valeur absolue S  E
S
E
+
+
+
+

E
++ + ++
+
+
S
+
+
+
+
Conducteur à
l’équilibre
+
+
+
+
Pour une surface assimilable localement à une sphère
de rayon de courbure R
S  4R 2 et
Soit localement
S 8RR
R


2
S
4R 2
R
E
R
2
E
R
Pour un accroissement δR donné, la variation relative
de champ est inversement proportionnelle au rayon de
courbure.
11
Pour un conducteur chargé à l’équilibre une charge quelconque de la
surface q i va être soumise à l’action de toutes les autres charges q j .
Si le conducteur est isolé de toute influence extérieure les charges en
surface ne peuvent être que du même signe, soit toutes positives soit
toutes négatives. A l’équilibre une charge + (absence d’un électron sur
un site atomique) ne peut côtoyer une charge – (électron), les deux
devant s’annihiler.
Cherchons à estimer une telle force.
Considérons au point M un élément de la surface orientée
conducteur à l’équilibre.
S du

Le champ total créé par le conducteur en ce point est ES   .
o
Il peut être, par la pensée, considéré comme la somme

E
Du champ 1 créé par la surface voisine S , champ
créé en son centre par un petit disque

Du champ E 2 créé par le reste du conducteur privé de
ce petit disque
+
+ + + + + ++
qi
+
+
+
++
++
++
+
+
+
+
+
+ Conducteur à l’équilibre +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++ +
+ + ++ +
qj
ES 

o
S
+ + + +++ + ++
+
+++ +
+
++
M
++
+
(M)
+
Conducteur à
+
l’équilibre
Nous avons vu dans les calculs des champs que le champ

au centre d’un disque était en intensité égal à
E
ceci indépendamment de son rayon.
2 o


Donc E1 
et le champ E 2 créé par le reste du conducteur sur l’une de ses parties est en intensité
2 o
E 2  ES  E1 
 

12


o 2o 2o
Ce champ agit sur la charge locale (M)S ce qui donne la
force
2 (M)
F  E 2(M )S 
S
2 o
Force totale par unité de
surface résultant de la
pression électrostatique
+ + + + ++
+
++
++
++
++
++
P
+
+
2 o
+
+
Conducteur
à
l’équilibre
On voit sur cette expression que l’action de cette pression est +
+
+
indépendante du signe des charges et est toujours dirigée vers +
+
+
+
l’extérieur, résultat de l’action répulsive entre charges de
+
+
+
+
même signe (expérience de la bulle se savon).
+
++
++ + + + + +
+ +
A-VII.3 Relation Charge-Potentiel d’un conducteur à l’équilibre
Cette force ramenée par unité de surface donne une pression,
pression dite électrostatique dont l’intensité est
2 (M)
La charge totale du conducteur à l’équilibre, c’est le seul présent
dans l’univers, est donnée par Q   dS
S
Le potentiel en un point M du conducteur est donné par
V
1

dS

S
4o r
Multiplier la densité de charges en surface σ par une constante k
revient à faire dans ces expressions   k ce qui porte à faire
Q  kQ
et
V  kV
+ + + +Surface extérieure S
+
+
++
++
++
++
++
+
+
+
+
+
+
+ Conducteur à l’équilibre +
+
+
M
+
+
+
r
+
+
+
+
++
+
++ +
+
+
+
++
Q  S
S
13
Il existe donc une relation de proportionnalité entre l’augmentation de la charge totale d’un conducteur
seul et celle de son potentiel. Si on accepte la convention qu’un conducteur non chargé , Q = 0, est au
potentiel V = 0, la relation cherchée entre charge et potentiel peut alors s’écrire
Q  CV
Le coefficient de proportionnalité C est la capacité du conducteur seul, à ne pas confondre avec la capacité
d’un condensateur, exprimée usuellement avec la même lettre C, un condensateur étant formé de plusieurs
(souvent deux) conducteurs en influence.
L’unité de la capacité C est le Farad.
La capacité d’un conducteur est une grandeur qui dépend essentiellement de la géométrie et de la matière
qui entoure le conducteur, ici le vide supposé.
Exemple:
Pour un conducteur sphérique de rayon R les exemples traités dans les paragraphes précédents permettent
de retenir l’expression C  4 R
o
La Terre en tant que conducteur sphérique aurait une capacité de 700μF avec un rayon de 6370 km!
14
A-VII.4 Énergie d’un conducteur isolé
Comme précédemment le conducteur à l’équilibre est seul dans
l’univers. Il peut être traité comme un ensemble de charges
ponctuelles q i i  1, N en interaction.
L’énergie potentielle d’interaction de ce système de charges est
donnée par l’expression générale déjà vue
1N
1N
W   Wi   qi Vi
2 i1
2 i1
Mais ici le conducteur étant un domaine équipotentiel,
Vi  V i  1, N
+
+ + + + + ++
qi
+
+
+
++
++
++
+
+ Conducteur à l’équilibre +
+ charge Q , potentiel V +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++ +
+
+
+
++
qj
l’énergie potentielle d’interaction de toutes les charges du
conducteur prend la forme
1N
1
W   qi V  QV
2 i 1
2
L’utilisation de la relation Q  CV permet de tirer deux autres
expressions utiles de cette énergie
2
1
1
1Q
2
W  QV  CV 
2
2
2 C
15
Localisation de l’énergie électrique
Voyons sur un cas particulier où se trouve localisée dans l’espace cette énergie d’interaction entre les
charges d’un conducteur.
Prenons à cet effet le cas d’une sphère conductrice de rayon R, chargée par Q.
Nous pouvons en calculer l’énergie avec
C  4o R
2
2
Q
1Q
W

2 C 8o R
Faisons l’hypothèse que l’énergie électrique se distribue dans l’espace où le champ électrique n’est pas
nul avec une densité volumique d’énergie
1
e  o E 2
2
r
Couche
δr
Et retrouvons l’énergie calculée ci-dessus en faisant la
sphérique
somme de toute l’énergie distribuée.
O
Soit un couche sphérique centrée sur la sphère chargée, de
rayon r et d’épaisseur δr. Cette couche à un volume   4r 2r
Le champ électrique créé par la sphère chargée est à la
distance r > R, calcul vu dans une application précédente
E
Q
RQ

4o r 2 Cr 2
2 2
1 RQ
La densité d’énergie électrique prend la forme e  o 2 4
2 Cr
Sphère
rayon R, charge Q
16
L’élément sphérique contient la quantité d’énergie
2 2
R 2Q2 r
1 RQ
2
W   e   o 2 4 4r r  2o
2 Cr
C2 r 2
Le calcul de l’énergie totale conduit à un calcul d’intégrale élémentaire, sur le domaine où le champ n’est
pas nul
R 2Q 2  dr
R 2Q 2 1 1 4o RQ 2 1 CQ 2 1 Q 2
W   W  2o
  2o C2 R  2 C2  2 C2  2 C
C2 R r 2
Nous retrouvons bien l’expression cherchée.
Ce qui précède n’est pas une démonstration mais uniquement une vérification par le calcul de la cohérence
entre la densité d’énergie par unité de volume postulée et sa totalité sur tout l’espace vide de conducteur.
Le caractère positif de la vérification n’est pas un hasard calculatoire mais répond bien à l’existence d’une
entité physique identifiable, la densité d’énergie par unité de volume qui, bien que non palpable n’en
demeure pas moins réelle. La localisation de l’énergie portée par le champ électrique justifierait à elle
seule l’étude du champ électrique comme grandeur physique de première importance.
17
A-VII.4 Système de deux conducteurs à l’équilibre
Nous commençons l’étude des systèmes de conducteurs à l’équilibre en nous limitant à deux conducteurs
afin de poser, tant les problèmes nouveaux qu’une telle situation pose, que les relations entre grandeurs
physiques de base qui pourront ensuite facilement être généralisées au cas de N conducteurs.
Lignes de champ
Lignes de champ
Conducteur à l’équilibre 1
Conducteur à
l’équilibre 2
La situation des lignes de champ dessinée est totalement arbitraire. C’est une situation d’influence
partielle où un certain nombre de lignes de champ (façon de parler car elle ne sont pas dénombrables)
vont d’un conducteur à l’autre. Une autre situation d’influence totale sera vue plus loin.
18
Théorème des éléments correspondants
Soit un tube de flux qui intercepte le
conducteur 1 sur la surface S1 et le
conducteur 2 sur la surface S2 avec une
surface latérale S .
On construit une surface de Gauss avec
la surface latérale S une surface S1int
interne au conducteur 1 de forme
quelconque et qui intercepte S1 et une
surface S2 int construite de la même
manière dans le conducteur 2.
La charge totale intérieure au tube de
flux est celle portée par les deux
surfaces S1 et S2 soit au total Q1  Q 2
Lignes de champ
+++
++
++
+
S1 ++
+
S1int
Q1 +
+
+
+
+
+
+
Conducteur 1
+
+
Tube de flux
-
-
- S2
- Q2
----
S
S2int
Conducteur 2
--
--
--
-
Le flux du champ sur les surfaces S1int et S2 int est nul puisque le champ électrique est nul dans les
conducteurs à l’équilibre. Sur la surface latérale S le champ est tangent, donc le flux y est également
nul.
Le théorème de Gauss conduit à la relation suivante pour la charge intérieure au tube de flux Q1  Q 2  0
Soit l’énoncé du théorème des éléments correspondants:
Les charges découpées par un tube de flux qui va d’un conducteur à l’équilibre à un autre sont égales en
nombres et opposées en signe.
19
Densité d’énergie électrique volumique
Soit comme précédemment un tube de flux, ici
infinitésimal en section, joignant deux
conducteurs à l’équilibre.
Lignes de champ
+++

A E.d  V1  V2
Sur S1 la charge électrique est Q1  1 S1
Sur S2 la charge électrique est Q 2  2S2
++
++
++
A +
δS1 +
+
+
+
Q1
+
+
+
Conducteur 1 +
+
+
La circulation du champ électrique sur la ligne
de champ entre A du conducteur 1
Potentiel V1
et B du conducteur 2 donne
B

E
-
-
Potentiel V2

- B
- δS
Q 2
- 2
--S
Conducteur 2
----S

Tube de flux
Sur ces conducteurs nous avons les champs en surface reliés aux densités surfaciques de charges par les


relations E1  1 et E 2  2 . Le flux du champ électrique étant constant le long du tube de flux
o
o
  E S  ES  E S
1
1
2
2
1
L’énergie d’interaction des deux charges Q1 et Q 2 aux potentiels V1 et V2 est W  V1 Q1  V2 Q 2 
2
Le théorème des éléments correspondants donne Q1  Q 2
Soit pour l’énergie W  1 Q1 V1  V2 
2
B
1
En utilisant la circulation du champ W  Q1 A E.d
2
20
Densité d’énergie électrique volumique (suite)
La charge Q1 étant une constante on l’introduit dans l’intégrale et il vient compte tenu des relations



1 B
1 B
1 B
1 B
précédentes
W  A Q1 E.d  A 1 S1 E.d  A o E1 S1 E.d  o A ESE .d
2
2
2
2
S.   représente l’élément de volume du tube de flux engendré par S se déplaçant de 
B
Il est alors possible d’écrire W  1  o  E 2 .d
2 A
L’intégrale le long de la ligne de champ de cette quantité revient à intégrer sur tout le tube de flux entre les
deux conducteurs.
La quantité  E  1  o E 2 représente bien une densité d’énergie par unité de volume.
2
La quantité
Un tel calcul sur tous les tubes de flux donnera l’énergie totale W 
1
V1 Q1  V2 Q2 
2
21
Relations entre charges et potentiels de deux conducteurs en influence à
l’équilibre
Pour un seul conducteur nous avions trouvé la relation Q  CV .
Ici, chaque conducteur aura sa charge et son potentiel Q1 , V1 et Q 2 , V2 qui
vont être inter-dépendants.
(1)
( 2)
Soient q j et q k les charges discrètes qui se trouvent respectivement sur les
surfaces des conducteurs 1 et 2.
Le potentiel V1 du conducteur 1 est la somme en
(1)
Les charges q j du conducteur 1
M(1)
rk( 2 )
q (k2 )
+
rk( 21)
q
1
V1(1) 

4o j r
q (k2 )
Les charges q (k2 ) du conducteur 2 V ( 2 )  1

1
4o j rk( 21)
rj(12 )
S1
M(1)
Conducteur à
l’équilibre 1
Pour des distributions surfaciques de charges 1 et  2 ces expressions
2
1
Deviennent V (1)  1
et V ( 2 )  1
dS
 dS2
1

1
1
4o S rk( 21)
4o S rj(1)
V1  V1(1)  V1( 2 )
2
Il vient des expressions semblables pour le potentiel total V2 du conducteur 2
V2( 2 ) 
1
2
dS2

( 2)
4o S rk
2
V2(1) 
1
1
dS1

(12 )
4o S rj
1
S2
des deux contributions
(1)
j
(1)
j
1
M(2) V
2
Conducteur à
l’équilibre 2
rj(1)
V1
- q (1)
j
V2  V2( 2 )  V2(1)
22
Les charges totales de chaque conducteur peuvent s’écrire
Q1   1 dS1 et Q 2    2dS2
S1
S2
Multiplier les densités de charges par un coefficient k soit 1  k1 et  2  k 2
conduit aux transformations Q1  kQ1
et
V1  V1(1)  V1( 2 )  kV1  kV1(1)  kV1( 2 )
Q 2  kQ 2
et
V2  V2( 2 )  V2(1)  kV2  kV2( 2 )  kV2(1)
Si les potentiels sont pris nuls quand les conducteurs ne sont pas chargés, on en déduit des relations de
correspondances linéaires entre les charges et les potentiels, relations écrites de la manière suivante
Q1  C11V1  C12et
V2
Q 2  C21V1  C22 V2
 Q1   C11
 
Soit en notation matricielle  Q   C
 2   21
C12  V1 
 
C 22  V2 
Les coefficients Cij ont la dimension de capacité (Farad) et sont de deux types
Les Cii qui sont positifs (à démontrer en exercice) et qui relient la charge d’un conducteur à son
potentiel lorsque le potentiel de l’autre conducteur est nul. Par exemple Q1  C11V1
Les Cij (i  j), avec Cij  C ji qui sont négatifs (à démontrer en exercice) et qui relient la charge d’un
conducteur, dont le potentiel est nul, au potentiel de l’autre conducteur. Par exemple Q 2  C21V1
D’autre par existe la relation (à démontrer en exercice) Cii   C ji
j i
Cette relation sera très utile dans l’étude des condensateurs. L’inégalité se transforme en égalité lorsque le
système est en influence totale.
23
Pour le système de deux conducteurs il n’est pas inutile de décliner les relations entre ces coefficients
Les termes positifs C11  0 et C22  0
Les termes négatifs égaux C12  C21  C  0
La relation d’influence
C11  C21  C et C22  C12  C
Remarque importante: Les relations Q1  C11V1 et leur sœur Q 2  C21V1 ne sont pas des relations
intrinsèques aux conducteurs 1 et 2 respectivement bien qu’elles ressemblent à s’y méprendre à la relation
trouvée pour un seul conducteur Q  CV . En fait les coefficients Cij dépendent de la géométrie de
chaque conducteur comme de leurs positions relatives l’un par rapport à l’autre.
24
Le système de deux conducteurs en influence est directement extensible à celui de N conducteurs, les lois
de correspondance charges-potentiel étant linéaires. Nous ne traiterons pas du cas général qui pourra être vu
en exercice et appliqué à plus de deux conducteurs (exemple de trois petites sphères aux sommets d’un
triangle).
Le cas de deux conducteurs en équilibre et en influence permet de traiter des condensateurs classiques et
nous suffira pour l’instant.
Énergie potentielle d’interaction de deux conducteurs en influence à
l’équilibre
V2 Q 2
Nous avons à notre disposition l’énergie d’interaction d’un système de N
charges ponctuelles q i  1, N
i
1N
W   q i Vi
2 i 1
Ici les N charges sont distribuées sur les surfaces des deux conducteurs
q (k2 )
+
Conducteur à
l’équilibre 2
S2
(1)
( 2)
N (1) sur le conducteurs 1 et N ( 2 ) sur le conducteur 2, avec N  N  N
Il est alors possible de décomposer l’énergie totale en deux termes
W
1
2
N
(1)
1
2
N
Conducteur à
l’équilibre 1
( 2)
 q (j1) Vj   q (k2) Vk
j1
S1
V1 Q1
k 1
Comme chaque conducteur est un domaine équipotentiel
Vj  V1
j  1, N(1)  et Vk  V2
1
W  V1
2
N
(1)
1
 q  V2
2
j1
(1)
j
N
kj  1, N(2)  soit finalement
( 2)
q
k 1
( 2)
k
1
1
 V1 Q1  V2 Q 2
2
2
W
- q (1)
j
1
 Qi Vi
2 i
25
Énergie potentielle d’interaction de deux conducteurs en influence à l’équilibre (suite)
Nous pouvons donner, en vue des applications, deux autres formes à l’énergie ci-dessus calculée, soit en
fonction des seuls potentiels, soit en fonction des seules charges.
Expression avec les seuls potentiels.
Utilisons les expressions Qi   Cij Vj
vues plus haut sous forme développée qui intégrées dans celle
j
1
 Cij Vj Vi
2 i j
Expression avec les seules charges
de l’énergie donne W 
Inversons les expressions Qi   Cij Vj
afin de tirer les potentiels en fonction des charges.
j
Nous écrirons les relations obtenues sous la forme Vi   Cij1Q j
Attention les Cij1 ne sont pas égaux à
j
L’énergie prend la forme W 
1
Cij1
1
 Cij1Q j Qi
2 i j
Ces deux expressions de l’énergie sont très utiles pour traiter des interactions entre conducteurs chargés
1
Conducteurs non reliés à des sources de potentiel : les charges sont constantes dans W   Cij1Q j Qi
2 i j
Conducteurs reliés à des sources de potentiel : les potentiels sont constants dans W  1  C V V
ij j
i
2 i j
26
A-VII.5 Interaction entre deux conducteurs à l’équilibre
Nous avons vu que l’énergie d’interaction entre deux conducteurs dépendait des coefficients d’influence Cij
fonctions de la géométrie de chaque conducteur et de leurs positions mutuelles.
Le déplacement des conducteurs l’un par rapport à l’autre va modifier cette énergie puisque les coefficients Cij
seront modifiés.
Nous distinguerons deux cas:
Les conducteurs ne sont pas connectés à des sources de charges: leurs charges respectives restent
constantes pendant la transformation essentiellement de position
 Les conducteurs sont connectés à des sources de charges à potentiels constants: leurs charges respectives
peuvent varier, mais leurs potentiels restent constants pendant les transformations de position.
Dans le premier cas, en l’absence de source de charges, seul l’observateur qui réalise les déplacements
travaille et son travail Wobs se transforme en variation W d’énergie potentielle d’interaction entre les
conducteurs
W  Wobs
Dans le deuxième cas, la présence de sources de charges occasionne un certain travail des sources Wsources
qu’il va falloir estimer et qui va intervenir dans le bilan énergétique du système avec le travail de
l’observateur Wobs qui réalise les déplacements et la variation W d’énergie potentielle d’interaction du
système de conducteurs en équilibre.
27
Ce qui intervient étant le déplacement relatif des deux conducteurs,
considérons 1 fixe et 2 en déplacement


quasi-stationnaire sous l’effet conjugué des forces électriques Fe et mécanique de l’observateur Fobs

 
Fe  Fobs  0
Déplacement quasi-stationnaire
Q 2 var iable
V1  Cte
Q1 var iable
V2  Cte
Conducteur à
l’équilibre 1
Conducteur à
l’équilibre 2

Fobs
Fixe
Q 2
Q1
G1

Fe
Déplacement
quasi-stationnaire
G2
Les générateurs G1 et G2 prennent des charges au potentiel nul, représenté par
potentiels V1 et V2 . Ils réalisent ainsi les travaux
et les amènent aux
W  V1 Q1 pour G1 et WG  V2 Q2 pour G2
G
1
2
Ces expressions viennent de l’énergie potentielle W = qV d’une charge q au potentiel V. Prise au potentiel
zéro, la charge Q1 acquiert l’énergie V1 Q1 qui lui est donnée par G1 . Il en est de même pour Q 2
28
1
1
L’énergie potentielle totale du système des deux conducteurs est W  Q1 V1  Q 2 V2
2
2
1
1

W

V

Q

V2 Q 2
1
1
Sa variation, avec les potentiels constants donne
2
2
Le total des travaux des sources est Wsources  V1 Q1  V2 Q 2
La variation totale de l’énergie potentielle du système des deux conducteurs est la somme
W  Wsources  Wobs
Il est alors possible de tirer l’expression du travail de l’observateur
1
1
Wobs  W  Wsources   V1 Q1  V2 Q 2  W
2
2
Résumons les résultats relatifs à ce cas:
W  Wobs
1
W  Wsources
2
29
Traitement d’un cas particulier : deux plaques conductrices en vis à vis
Soit deux plaques planes, conductrices, identiques, rectangulaires (la forme n’influe pas sur la suite),
parallèles en vis à vis. La plaque 1 maintenue fixe est chargée par Q1  Q  0 , la plaque 2 est chargée par
.Q 2  Q . Elles ont chacune une surface S et sont distantes de x, qui reste petit par rapport aux dimensions

des plaques.
Q
Plaque 1
E  Q- Plaque 2
V2
V1 +
+
Q
+
Q
+
V2
V1
+
+
+
+
+
Fixe
Fixe
+
+
+
+
+
x
O
x
O
1
1
1
1
L’énergie d’interaction des deux plaques est W  QV1  QV2  QV1  V2   QV
2
2
2
2
Admettons la relation entre Q et V que nous établirons dans le paragraphe des condensateurs Q = CV avec
1 x 2
1 S
Q
pour le condensateur plan ici présent C  oS . L’énergie prend la forme W  o V 2 ou W 
2

S
2 x
o
x
30
Pour que
 la plaque 2, attirée par la plaque 1 avec une
force Fe , reste immobile, il faut lui appliquer une

 telle que  
force F
F

F

0
e
obs
obs

Cherchons à calculer la force Fe par deux méthodes
différentes.
Plaque 1
V1
Lors d’un déplacement de la plaque 2 à charge
constante, pas de connexion à des sources
Lors d’un déplacement de la plaque 2, cette
dernière reliée à un générateur et la plaque 1 à la
masse .
Fixe
Q
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

E

Fe
 Q Plaque 2
- V
2

Fobs
-
x
O
Déplacement à charges constantes.

Il est commode de calculer Fobs à partir du travail de l’observateur Wobs pour un déplacement x de la
plaque 2. A charges constantes nous sommes dans le cas où W  Wobs .
Un calcul direct donne
2
1 x 2 1 Q
W  
Q  
x  Wobs  Fobsx
2

S
2

S
 o

o
2
1Q
Fobs 
  Fe
2  oS
Pour x  0 l’énergie augmente, et comme W  1 QV , le potentiel augmente puisque Q = Cte.
2
On peut le déduire également de Q = CV car avec C  oS si x augmente C diminue et V doit augmenter.
x
31
Déplacement à potentiels constants
Dans cette situation un calcul direct de la variation d’énergie
d’interaction à potentiel constant donne
1  S 
1 S
W   o V 2    o2 V 2x  Wobs  Fobsx
2x
2 x

Soit la force F  1  oS V 2  F
obs
e
2 x2
Cette expression prend la même forme que dans le calcul
précédent en utilisant Q = CV et C  oS
x
2
2 2
2
1 oS 2
1  oS Q
1 oS Q x
1Q
Fe  
V 


2 x2
2 x 2 C2
2 x 2 o2S2
2  oS
Plaque 1 Q
+
V1  0 +
+
+
+
+
+
+
+
Fixe
+
+
+
+
+
O
 Q

E

Fe
 Q Plaque 2
- V2

Fobs
x
Q
G
Au passage notons que le travail fourni par la source est W  1 Wsources
2
 oS 2
Wsources  2W   2 V x
x
1
Pour x  0 l’énergie diminue, et comme W  QV , la charge diminue puisque V = Cte.
2
oS
si x augmente C diminue et Q doit diminuer, le
x
32
générateur retire des charges négatives à la plaque 2 et des charges positives partent à la masse.
On peut le déduire également de Q = CV car avec C 
Calcul des actions entre conducteurs chargés en interaction
En général elles sont de deux types
Les forces: pour des déplacements en translation
Les moments: pour les rotations autour d’un axe
Les deux cas sont mis en œuvre dans les électromètres techniques.
A charge constante: pour un déplacement infinitésimal x ou 
- la composante suivant x de la force électrique pourra se calculer avec
Fe  
e  
- le moment des forces autour de l’axe   pourra se calculer avec
W

A potentiel constant: pour un déplacement infinitésimal x ou 
- la composante suivant x de la force électrique pourra se calculer avec
- le moment des forces autour de l’axe   pourra se calculer avec
Fe 
e 
W
x
W
x
W

Dans tous les cas il faudra être très vigilant sur les grandeurs conservées et celles variables au cours
des transformations impliquant des conducteurs en interaction reliés ou pas à des générateurs
électriques.
33
Un exemple d’influence
Sphère conductrice en présence d’une charge de très petite dimension
y

j

R  IO
θ

E

ES
-q’

O i
M’
x’ = OM’
Potentiel de la sphère V = 0
I

E'

r '  IM'

r  MI
M
x = OM
x
q>0
Soit une sphère conductrice de rayon R, de centre O, placée au
potentiel V = 0. Elle est soumise à l’influence d’une charge de très
petite dimension positive, placée en M, à la distance x = OM (on se
place dans le cas où x > R, pour fixer la figure).
On cherche à remplacer le couple « sphère , q », par le couple de
charges de très petites dimensions « q , -q’ », q’ étant placée à la
distance x’ = OM’ sur la droite OM.
Il faut trouver les valeurs de q’ et de x’ telles que le couple « q , q’ », crée un potentiel nul en tout point de la sphère, soit ici
indépendamment de l’angle θ.
34





q
r
La charge q crée en I sur la sphère le champ électrique E 
avec r  (-xRcos) i Rsin  j
3
4or
r2  R2  x2 - 2Rxcos




q'r '

E
'

r
'

(x'

Rcos

)
i

Rsin

j
La charge q’ crée en I sur la sphère le champ électrique
4or'3 avec
r'2  R2  x'2 - 2Rx'cos







qr
q'r '
n


cos

i

sin

j
E



E
n
Le champ électrique total s’écrit
avec
T
S
3
3
4or 4or'
Le potentiel électrique total au point I de la sphère s’écrit V
q
q'

0
4or 4or'
soit
q q'

r r'




qr
q'r '


E
n
L’expression du champ électrique ES 
donne les deux relations
S
4or3 4or'3
q
q'
(

x

R
cos

)

(x'Rcos)  -EScos
3
3
4or
4or'
q
q'
(
R
sin

)

(Rsin)  -ESsin
4or3
4or'3
q q' 
q
q'
R 

La deuxième équation donne 4o r3  r'3  ES qui reportée dans la première donne r3 x  r'3 x'  0


La combinaison de ces deux relations donne x2  x2'
r
r'
Après simplification on obtient R2  x.x'
soit encore
Cette relation conduit aux deux quantités cherchées x' 
R2
x
et
x
x'

R2  x2 - 2Rxcos R2  x'2 - 2Rx'cos
q'  R q
x
35
Calcul du champ électrique à la surface de la sphère.
q q' 
On porte directement dans l’équation  R 
r3  r'3  ES les deux relations précédentes qui donnent q’ et
4o 

2 -R 2
x’.
x
q
ES 
.
3
4

o Rr . La variable r n’est pas la plus adéquate pour décrire un point sur la sphère.
Il vient
L’expression en fonction de θ donne
x2 -R2
q
ES 
. 2
4o R(x  R2 - 2Rxcos) 3/2
Densité de charges à la surface de la sphère
Nous connaissons la relation entre la densité de charges en surface d’un conducteur et le champ en surface
ES  . Il vient, la densité devant être négative, la charge ponctuelle d’influence étant positive
o
x2 -R2
q
-
Charge totale portée par la sphère
.
4 R(x2  R2 - 2Rxcos) 3/2
On choisit une surface élémentaire dS découpée sur la sphère entre les deux cônes d’axe OM et d’angles θ
et θ + d θ (nous avons déjà rencontré une telle surface élémentaire). Elle s’écrit
dS  2R2sind

2
2
2
La charge totale de la sphère est donnée par q  - q . (x -R )2R sin 
d
S
4 R(x2  R 2 - 2Rxcos) 3/2
0
La primitive ne pose pas problème et donne
qS  - R q  - q'
x
Force existant entre la charge ponctuelle et la sphère

La force qui s’exerce sur la sphère vient de la distribution non uniforme de la charge en surface.
36
Cette distribution non uniforme est la conséquence de l’influence de la charge ponctuelle sur la sphère. Il est
alors possible de calculer la force cherchée en utilisant les forces de pression électrostatique sur la surface. La
pression électrostatique est donnée par P 
2
2o
Par raison de symétrie autour de l’axe OM seule la composante de la force sur cet axe n’est pas nulle.
Il vient alors directement F 
2
cos dS
2o
sphère


2
(x2 -R2)

Avec les notations précédentes il vient F  cos 1  q .
4 R(x2  R2 - 2Rxcos) 3/2  2R2sin d
2o 

0
Soit aussi

q2(x2 -R2) 2 
La primitive ne pose pas de problème essentiel.
cossin d
F
3
2
2
16o 0 (x  R - 2Rxcos)

q2
Il vient finalement F  . 2xR 2 2
4o (x -R )
le signe (-) marque l’attraction entre sphère et q.
Il est possible d’obtenir ce résultat en calculant directement la force entre les deux charges ponctuelle q et – q’
R2
qq'
distantes de x – x’ F 
qui avec x' 
et q'  R q donne le bon résultat.
x
x
4o(xx') 2
37
Calcul du potentiel créé en M par la sphère
dS
Il est possible de procéder à un calcul direct à partir de V(M)  1
4o sphère r
Soit avec les mêmes notations que précédemment

x2 -R2
2R2sind
q
1
V(M) 
- .
r
4o sphère 4 R(x2  R2 - 2Rxcos) 3/2

qR(x2 -R2) 
sin d
V(M)  2  R 2 - 2Rxcos) 2
(
x
8o 0

qR
V
(
M
)

Le calcul de la primitive ne doit pas poser de problème et donne au final
4o(x2 -R2)
'q
Il est possible de retrouver ce résultat à partir du potentiel créé en M par la charge – q’ V(M) 
4o(x -x')
2
avec x'  R et q'  R q
x
x
38
Plan conducteur en présence d’une charge de très petite dimension

E

ES

r '  IM'
M’
-q’
x’ = M’O
I

r  MI

E'

j
O

i
θ
x = OM
M
q>0
x
Le plan est placé au potentiel V = 0. Il est soumis à l’influence d’une charge de très petite dimension positive,
placée en M, à la distance x = OM, OM perpendiculaire au plan.
On cherche à remplacer le couple « plan , q », par le couple de charges de très petites dimensions « q , -q’ »,
q’ étant placée à la distance x’ = OM’ sur la droite OM.
Il faut trouver les valeurs de q’ et de x’ telles que le couple « q , -q’ », crée un potentiel nul en tout point I du
39
plan, soit ici indépendamment de l’angle θ.
Pour que le champ total en I soit perpendiculaire au plan il faut par raison de symétrie que q’ = q et x’ = x


qr
La charge q crée en I sur le plan le champ électrique E 
4or3

q.cos3 
i
soit ES  2ox2

q.cos 
i avec r  x
Le champ électrique total s’écrit ES  2
cos
2or
q.cos 

La densité surfacique de charges électriques sur le plan en I est donnée par ES
soit   - 2x2
o
3

La charge électrique totale portée par le plan est donnée par qS  .dS
plan
La symétrie autour de l’axe OM nous incite à choisir un dS de la forme dS  2.y.dy avec y  OI  x.tg
Ainsi pour la charge du plan
qS 
/2
0
/2
q.cos3
2.xtg. xd2  - q sind  - q
2
2x
cos 
0
Ce résultat montre que toute les lignes de champ qui partent de q aboutissent sur le plan, l’influence est totale
bien que le plan n’entoure pas la charge q. Ce sont ses dimensions infinies qui lui permettent d’intercepter
toutes les lignes de champ.
Calcul de la force exercée sur le plan.
C’est la présence de la charge q en M qui est cause de la distribution de charges à la surface du plan, donc de
l’existence d’une pression électrostatique donnée par P
2
2o
40
2
La force qui s’exerce sur le plan peut alors s’écrire comme F  cos dS soit avec les notations utilisées
2o
plan

/2
3
2 /2
q.cos
q
q2


xd

1
3
F  cos 
cos sind 
2  2.xtgcos2 
2
2

x
2

4

x
16ox2
o
o

0
0

2

Il est possible de retrouver se résultat en calculant directement la force entre les deux charges ponctuelles
qq'
avec q’ = q
F 
2
4o(2x)
41
A-VII Les Condensateurs
Les condensateurs sont des associations de conducteurs, en général deux, qui présentent l’un vis à vis de
l’autre une zone de surface en influence totale.
Nous avons vu dans l’exemple traité plus haut l’archétype du condensateur plan, pour lequel l’influence
des deux surface S n’est pas totale, mais conçue comme telle si la distance entre les plaques x est très
S
faible par rapport à leur surface, condition en général satisfaite si une forte capacité est désirée puisque C  o
x
Un cas d’influence totale est obtenu lorsqu’un des conducteurs creux 2 entoure complètement l’autre 1.
La charge portée par le conducteur 1 Q1 se retrouve
avec le signe opposé Q 2 int  Q1 sur la surface
intérieure du conducteur 2 (en vertu du théorème des
éléments correspondants).
La surface extérieure du conducteur 2 peut porter une
charge Q 2 ext (non représentée sur le dessin).
Le conducteur 1 étant en influence totale vis à vis du
conducteur 2 nous avons la relation. C11  C
Nous avons aussi C12  C21  C
Par contre, comme le conducteur 2 n’est pas en
influence totale vis à vis du conducteur 1 nous
n’avons pas C 22  C mais toujours C 22  C
- - - - - -- + + + + ++
+
++
++
+
+
Q
++
2 int+
+
+ Q1
+
V
+
1
+
+
Conducteur
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++ + + + + +
+ +
-- - -- - - - - -
Q 2 ext
V2
42
Les relations charges-potentiels
Q1  C11V1  C12 V2
Q 2  C21V1  C22 V2
donnent ici Q1  CV1  CV2  C(V1  V2 )
En simplifiant les notations, soit Q  Q1
et Q 2  Q 2 int  Q 2 ext  CV1  C22 V2
la charge accumulée sur le conducteur en influence totale
(fonction condensateur) et V  V1  V2 la différence de potentiel entre les deux conducteurs, donc aux
bornes du condensateur.
Nous obtenons la formule classique des condensateurs
Q  CV
Nous avons déjà signalé le danger qu’il peut y avoir à confondre cette expression avec son identique pour
un conducteur isolé.
Bien que d’un usage limité, il est possible de tirer de ces équations la charge extérieure du conducteur 2.
Q 2 ext  CV1  C22 V2  Q 2 int  CV1  C22 V2  Q1
Soit aussi
Q 2 ext  CV1  C22 V2  CV1  CV2  (C22  C)V2
Énergie emmagasinée dans le condensateur. Elle se compose de deux parties
Celle résultant de l’influence totale entre les deux conducteurs. Elle se calcule directement avec
2
1
1
1
1
1
1Q
W  Q1 V1  Q2 int V2  QV1  V2   QV  CV 2 
2
2
2
2
2
2 C
C’est elle qui nous intéresse dans l’utilisation des condensateurs.
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Celle résultant de la charge extérieure au potentiel V2
1
1
W2 ext  Q 2 ext V2  (C 22  C)V22
2
2
Exercice à faire : Cas de trois sphères concentriques
Conducteur 1 : sphère de rayon R1 chargée avec Q1 > 0.
Conducteur 2 : sphère creuse de rayon intérieur R2 , de
rayon extérieur R3 chargée avec Q2 > 0.
1- Trouver et tracer le champ E(r) pour tout r
2- Trouver et tracer le potentiel V(r) pour tout r avec
V() = 0
Conducteur 2
Q2
Conducteur
1
Q1  0
R1
R2
R3
3- Donner l’expression Q = CV du condensateur formé
4- Exprimer la forme générale de l’énergie en faisant
apparaître l’énergie du condensateur.
5- Vérifier la localisation de l’énergie dans les espaces
vides
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