Physique TD n˚13 - Ondes électromagnétiques dans les conducteurs TD n˚13 - Ondes électromagnétiques dans les conducteurs 1 Communication sous-marine 1. Question préliminaire : Sachant que la taille caractéristique d’une antenne permettant d’émettre un signal est de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde émise (voir cours sur le rayonnement dipolaire), déterminer la taille d’une antenne utilisée pour la radio FM (f ≃ 100 M Hz), ou pour le wifi ou la téléphonie mobile (f ≃ 2 GHz). 2. On cherche maintenant à déduire des conséquences de cette propriété générale pour la communication sous-marine. a) En utilisant les données ci-dessous, déterminer l’ordre de grandeur de la fréquence des ondes électromagnétiques qui permettraient de communiquer avec un sous-marin ? Quelle est la taille de l’antenne correspondante ? Commenter. b) Qu’en est-il dans un lac ? Données : La conductivité électrique de l’eau de mer est d’environ 1S.m−1 , et celle de l’eau pure d’environ 5 × 10−6 S.m−1 . 2 Effet de peau Un milieu conducteur de conductivité γ = 5,6.107 Ω−1 .m−1 , caractérisé par la permittivité diélectrique 1 SI et par la perméabilité magnétique µ0 = 4π.10−7 SI, occupe le demi-espace x > 0 et est ϵ0 = 36 π.109 limité par le plan x = 0. ω Ce conducteur est placé dans un champ électromagnétique sinusoïdal de fréquence f = et invariant 2π par translation selon les axes Oy et Oz. On se placera dans tout le problème aux fréquences f < f0 , fréquence pour laquelle le module du courant de déplacement est égal au millième du module du courant de conduction. 1. Calculer la fréquence f0 . Commenter. − → 2. Établir l’équation différentielle vérifiée par le champ électrique E (M, t) en M (x, y, z) à l’instant t à l’intérieur du conducteur. 3. Les lignes de courant dans ce conducteur sont parallèles à l’axe Oy. a) Montrer qu’au point M (x, y, z), la densité de courant volumique est de la forme : ( ) x − → j (x, t) = j0 exp − δ cos(2πf t − kx) ⃗uy où les coefficients δ et k seront exprimés en fonction de f et γ. 4. b) Justifier la dénomination d’"épaisseur de peau" attribuée à δ. → − a) Exprimer le champ magnétique B (x, t) dans le conducteur en M . On donne sin(a) − cos(a) = √ 2 sin(a − π/4). b) En déduire la puissance moyenne PR rayonnée à travers une surface plane S située dans le plan d’abscisse x, en fonction de S, j0 , x, δ et γ. 5. Exprimer la puissance moyenne PJ dissipée par effet Joule dans le paralléllépipède délimité par les plans x = 0 et x = 5 δ et de section S. MP2 - Année 2016/2017 1 Lycée Janson de Sailly Physique TD n˚13 - Ondes électromagnétiques dans les conducteurs 6. Comparer PR et PJ . Conclure. √ ( ) − → √ ∂E j0 2 −x/δ π − → − → − → 2 1 Réponses : 1. f0 ≃ 10 Hz, 2. ∆ E −µ0 γ = 0 , 3a. δ = et k = δ , 4a. B = e cos 2πf t − kx − ⃗ uz , µ0 γ 2πf ∂t γδω 4 j02 S δ −2x/δ j02 S δ 4b. ⟨Pray ⟩ = e , 5. ⟨PJ ⟩ = . 4γ 4γ 15 3 Transparence ultraviolette des métaux Un métal est éclairé sous incidence normale par une onde électromagnétique plane, progressive, harmonique. On adopte le modèle de conduction de Drude dans un métal : la force exercée par le réseau sur les − → v électrons de conduction est de la forme −m . On note n∗ le nombre volumique d’électrons libres. τ 1. Montrer que le métal possède une conductivité complexe : σ= σ0 1 + iωτ avec σ0 = n ∗ e2 τ m Quelle convention a-t-elle été choisie pour la notation complexe du champ électrique pour obtenir cette expression ? 2. On rappelle que le métal est localement neutre. En déduire la relation de dispersion des pseudo-OPPH : k2 = ω2 − µ0 iσω c2 3. Comment se simplifie-t-elle pour ωτ ≫ 1 ? Interpréter alors le fait que certains métaux sont transparents dans l’ultra-violet, sachant que n∗ ≃ 1028 m−3 , m = 9.10−31 kg, e = 1, 6.10−19 C et τ ≃ 10−14 s. 4. Expliquer pourquoi les métaux bons conducteurs sont aussi des miroirs. 4 Cage de Faraday 1. Montrer que le champ électromagnétique est nul à l’intérieur d’une cavité creusée dans un conducteur fermé. On pourra supposer que le matériau est un conducteur parfait. 2. Une telle cavité constitue une "cage de Faraday". Citer quelques applications de ce type de dispositif. 3. En pratique, il est suffisant que la cage soit constituée d’un grillage ajouré. Quelle est la taille maximale des trous de manière à conserver la propriété de "cage de Faraday" pour une onde de fréquence ν? MP2 - Année 2016/2017 2 Lycée Janson de Sailly