B - PUC-SP

D’Euclide à Legendre,
autour du 5ème Postulat
I - Les Éléments comme introduction
aux géométries non euclidiennes
PUC-SP. Juin 2006
Autour du 5 me Postulat
Prsentation de Michel HENRY,
IREM de Besanon (Fra nce)

Autour du 5ème Postulat
A –Deux exercices de construction géométrique
1) Un segment [AB] étant donné, construire un triangle équilatéral de
côté[AB]. (Éléments Livre I, Prop 1).
2) Un segment [AB] étant donné, construire un carréde côté[AB].
(Éléments Livre I, Prop 46).
Question 1 : Quels sont les implicites que vous devez admettre pour
enseigner ces constructions àun élève de collège ?
Question 2 : Quelles sont les définitions que vous devez utiliser ?
Question 3 : De quelles propriétés (propositions et théorèmes) vous êtes-
vous servi ?
Question 4 : Quelles sont les propriétés utilisées qui sont conséquentes ou
équivalentes au 5ème Postulat d’Euclide ?
Pouvez-vous vous en passer ?

Autour du 5ème Postulat
A –Deux exercices de construction géométrique
Construire signifie :
1 - Tracer la figure sur une feuille de papier avec comme seuls instruments
une règle bien droite (tiens tiens ?) non graduée et un compas.
2 - Donner l’algorithme de construction qui vous paraît le plus simple (la
suite des opérations graphiques àréaliser pour obtenir le résultat
demandé),
3 - Justifier par des arguments géométriques et logiques que la
construction proposée conduit effectivement au résultat recherché.
Étudier notamment l’existence et l’unicitéde ce résultat.

Autour du 5ème Postulat
A –Réponses d’Euclide.
PREMIÈRE PROPOSITION : Sur une droite donnée et finie,
construire un triangle équilatéral.
EXPOSIT1ON. Soit AB une droite donnée et finie.
DÉTERMINATION. Il faut construire sur la droite
finie AB un triangle équilatéral.
CONSTRUCTION. Du centre A et de l’intervalle AB, décrivons la circonférence B
(dem. 3) ; et de plus, du centre B et de l'intervalle BA, décrivons la
circonférence AE ; et du point , oùles circonférences se coupent
mutuellement, conduisons aux points A, B les droites A, B (dem. 1).
DÉMONSTRATION. Car, puisque le point A est le centre du cercle B, la droite Aest
égale àla droite AB (déf. 15); de plus, puisque le point B est le centre du cercle AE, la
droite Best égale àla droite BA ; mais on a démontréque la droite A était égale àla
droite AB ; donc chacune des droites A, B est égale àla droite AB; or, les grandeurs qui
sont égales àune même grandeur, sont égales entre elles (not. 1); donc la droite A est
égale àla droite B; donc les trois droites A, AB, B sont égales entre elles.
CONCLUSION. Donc le triangle AB(def. 24) est équilatéral, et il est construit sur
la droite donnée et finie AB. Ce qu'il fallait faire.
AB
E

Autour du 5ème Postulat
A –Réponses d’Euclide.
PROPOSITION 46 : Décrire un carréavec une droite donnée.
Soit AB la droite donnée ; il faut décrire un carréavec la droite AB.
Du point A, donnédans cette droite, conduisons Aperpendiculaire
àAB (prop. 11) ; faisons Aégal àAB (prop. 3) ; par le point 
conduisons E parallèle àAB (prop. 31) ; et par le point B
conduisons BE parallèle àA.
La figure AEB est un parallélogramme; donc AB est égal àE, et Aégal àBE.
Mais AB est égal àA; donc les quatre droites BA, A, AE, EB sont égales entre elles ;
donc le parallélogramme AEB est équilatéral.
Je dis aussi qu'il est rectangle. Car puisque la droite Atombe sur les parallèles AB, E,
les angles BA, AE sont égaux àdeux droits (prop. 29) ; mais l'angle BAest droit ;
donc l'angle AE est droit aussi. Mais les côtés et angles opposés des parallélogrammes
sont égaux entre eux (prop. 34) ; donc chacun des angles opposés ABE, BEest droit ;
donc le parallélogramme AEB est rectangle.
Mais nous avons démontréqu'il est équilatéral ; donc le parallélogramme AEB est un
carré, et il est décrit avec la droite AB ; ce qu'il fallait faire.
B
E
A