Optimisation A - Transp-Or

Optimisation dans les
réseaux
Recherche Opérationnelle
GC-SIE
Le problème du plus court
chemin
Introduction

Plusieurs versions :
–
–
–
–


d’un nœud a vers un nœud b
de tous les nœuds vers un nœud b
d’un nœud a vers tous les nœuds
de tous les nœuds vers tous les nœuds
Nous allons étudier le problème du plus
court chemin d’un nœud a vers tous les
autres.
Souvent, on supposera que a=1.
Plus courts chemins
Michel Bierlaire
3
Introduction
Idée générale :
 Parcourir le réseau à partir de
l’origine
 Appliquer et mettre à jour des
étiquettes (d1,…,dN) à chaque nœud.
 Chaque étiquette est soit un scalaire
soit +.
Plus courts chemins
Michel Bierlaire
4
Conditions d’optimalité

Soient d1,d2,…,dN des scalaires tels que
dj  di + aij (i,j)  A

Soit P un chemin entre un nœud a et un
nœud b.
Si
dj = di + aij (i,j)  P
Alors P est un plus court chemin entre a
et b.


Plus courts chemins
Michel Bierlaire
5
Conditions d’optimalité
Preuve :
 P est composé des arcs
(a,i1),(i1,i2),…,(iP,b)
 Longueur de P =
aa,i1+ai1,i2+…+aiP,b
 Comme aij = dj - di (i,j)  P, on a
 Longueur de P =
(db – diP) + (diP – diP-1)+…+(di2-di1)+(di1-da)=
db -da
Plus courts chemins
Michel Bierlaire
6
Conditions d’optimalité
Soit Q un chemin quelconque entre a et b.
 Q est composé des arcs
(a,j1),(j1,j2),…,(jQ,b)
 Longueur de Q =
aa,j1+aj1,j2+…+ajQ,b
 Comme aij  dj - di (i,j)  Q, on a
 Longueur de Q 
(db – djQ) + (djQ – djQ-1)+…+(dj2-dj1)+(dj1-da)=
db –da= Longueur de P.
CQFD
Plus courts chemins
Michel Bierlaire
7
Algorithme générique
Idée :
 On démarre avec un vecteur d’étiquettes
(d1,…,dN)
 On sélectionne un arc (i,j) qui viole les
conditions d’optimalité, c-à-d tel que dj >
di + aij
 On met à jour l’étiquette de j
dj  di + aij
 Et ainsi de suite jusqu’à ce que tous les
arcs vérifient la condition.
Plus courts chemins
Michel Bierlaire
8
Algorithme générique





A tout moment, l’étiquette d’un nœud i
peut être interprétée comme la longueur
d’un chemin reliant a à i.
Si dj > di + aij, cela signifie que le chemin
arrivant en j à partir de i est plus court
que le chemin actuel reliant a à j.
Il est plus facile d’effectuer le traitement
nœud par nœud.
Pour chaque nœud considéré, on traitera
tous ses arcs sortant.
V= liste des nœuds à traiter
Plus courts chemins
Michel Bierlaire
9
Algorithme générique
Algorithme :
 Initialisation :
–
–

V={a}
da = 0, di =  ia
Itérations. Tant que V  
–
–
Sélectionner un nœud i dans V et l’en retirer
Pour chaque arc (i,j) sortant de i,

Si dj > di + aij, alors
–
–
Plus courts chemins
dj  di + aij
Ajouter j à V
Michel Bierlaire
10
d2=+
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
3
4 d4=+
3
d3=+
Iter V d1 d2 d3 d4 traiter
1 {1} 0   
1
d2=3
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
3
4 d4=+
3
d3=+
Iter V d1 d2 d3 d4 traiter
1 {1} 0   
1
d2=3
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
3
4 d4=+
3
d3=1
Iter V d1 d2 d3 d4 traiter
1 {1} 0   
1
2 {2,3} 0 3 1 
2
d2=3
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
3
4 d4=+
3
d3=1
Iter V d1 d2 d3 d4 traiter
1 {1} 0   
1
2 {2,3} 0 3 1 
2
d2=3
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
3
4 d4=+
3
d3=1
Iter V d1 d2 d3 d4 traiter
1 {1} 0   
1
2 {2,3} 0 3 1 
2
d2=3
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
3
4
3
d3=1
Iter V
1 {1}
2 {2,3}
3 {3,4}
d1
0
0
0
d2 d3 d4 traiter
1
  
3 1 
2
3 1 5
3
d4=5
d2=3
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
3
4
3
d3=1
Iter V
1 {1}
2 {2,3}
3 {3,4}
d1
0
0
0
d2 d3 d4 traiter
1
  
3 1 
2
3 1 5
3
d4=5
d2=3
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
3
4
3
d3=1
Iter V
1 {1}
2 {2,3}
3 {3,4}
d1
0
0
0
d2 d3 d4 traiter
1
  
3 1 
2
3 1 5
3
d4=4
d2=2
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
3
4
3
d3=1
Iter
1
2
3
4
V
{1}
{2,3}
{3,4}
{4,2}
d1
0
0
0
0
d2 d3 d4 traiter
1
  
3 1 
2
3 1 5
3
2 1 4
4
d4=4
d2=2
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
3
4
3
d3=1
Iter
1
2
3
4
5
V
{1}
{2,3}
{3,4}
{4,2}
{2}
d1
0
0
0
0
0
d2 d3 d4 traiter
1
  
3 1 
2
3 1 5
3
2 1 4
4
2 1 4
2
d4=4
d2=2
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
3
4
3
d3=1
Iter
1
2
3
4
5
V
{1}
{2,3}
{3,4}
{4,2}
{2}
d1
0
0
0
0
0
d2 d3 d4 traiter
1
  
3 1 
2
3 1 5
3
2 1 4
4
2 1 4
2
d4=4
d2=2
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
3
4
3
d3=1
Iter
1
2
3
4
5
V
{1}
{2,3}
{3,4}
{4,2}
{2}
d1
0
0
0
0
0
d2 d3 d4 traiter
1
  
3 1 
2
3 1 5
3
2 1 4
4
2 1 4
2
d4=4
d2=2
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
3
4
3
d3=1
Iter
1
2
3
4
5
V
{1}
{2,3}
{3,4}
{4,2}
{2}
{}
d1
0
0
0
0
0
0
d2 d3 d4 traiter
1
  
3 1 
2
3 1 5
3
2 1 4
4
2 1 4
2
2 1 4
d4=4
d2=2
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
3
4
3
d3=1
Iter
1
2
3
4
5
V
{1}
{2,3}
{3,4}
{4,2}
{2}
{}
d1
0
0
0
0
0
0
d2 d3 d4 traiter
1
  
3 1 
2
3 1 5
3
2 1 4
4
2 1 4
2
2 1 4
d4=4
Algorithme générique
Propriétés à la fin de chaque itération
 Si dj < , alors dj est la longueur d’un
chemin reliant a à j.
 Si i  V, alors soit di = + , soit
dj  di + aij j tel que (i,j)  A
Plus courts chemins
Michel Bierlaire
25
Algorithme générique
Propriétés si l’algorithme se termine
 j t.q. dj < ,
–
–
–
dj est la longueur du plus court chemin entre a
et j.
dj = min(i,j)  A di+aij si j  a [Eq. de Bellman]
da = 0
dj = + ssi il n’y a pas de chemin reliant a
et j.
L’algorithme se termine ssi il n’y a aucun
chemin commençant en a et contenant un
cycle à coût négatif

Plus courts chemins
Michel Bierlaire
26
Algorithme générique


Les équations de Bellman
permettent de reconstituer les plus
courts chemins à partir des
étiquettes.
Le prédécesseur du nœud j dans le
plus court chemin est celui qui
réalise le minimum de l’équation de
Bellman.
Plus courts chemins
Michel Bierlaire
27
d2=2
2
3
d1=0
1
1
1
2
1
4
3
3
d3=1
d2=2
2
3
d1=0
d4=4
1
1
1
2
1
3
d3=1
4
3
d4=4
Algorithme de Dijkstra


L’algorithme générique ne spécifie
pas comment choisir dans V le nœud
à traiter.
L’algorithme de Dijkstra impose que
le nœud i à traiter soit tel que
di = minjV dj
Plus courts chemins
Michel Bierlaire
29
Algorithme de Dijkstra
Algorithme :
 Initialisation :
–
–

V={a}
da = 0, di =  ia
Itérations. Tant que V  
–
–
–
Sélectionner un nœud i dans V tel que
di = minjV dj
Retirer i de V
Pour chaque arc (i,j) sortant de i,

Si dj > di + aij, alors
–
–
Plus courts chemins
dj  di + aij
Ajouter j à V
Michel Bierlaire
30
d2=
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 
d3= 
Iter V d1 d2 d3 d4 d5 traiter
1 {1} 0    
1
0
5
d5= 
d2=
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 
d3= 
Iter V d1 d2 d3 d4 d5 traiter
1 {1} 0    
1
0
5
d5= 
d2=2
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 
d3= 
Iter V d1 d2 d3 d4 d5 traiter
1 {1} 0    
1
0
5
d5= 
d2=2
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 
d3= 1
Iter V d1 d2 d3 d4 d5 traiter
1 {1} 0    
1
2 {2,3} 0 2 1  
3
0
5
d5= 
d2=2
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 
d3= 1
Iter V d1 d2 d3 d4 d5 traiter
1 {1} 0    
1
2 {2,3} 0 2 1  
3
0
5
d5= 
d2=2
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 
d3= 1
Iter V d1 d2 d3 d4 d5 traiter
1 {1} 0    
1
2 {2,3} 0 2 1  
3
0
5
d5= 
d2=2
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 4
d3= 1
Iter V
1 {1}
2 {2,3}
3 {2,4}
d1
0
0
0
d2 d3 d4 d5 traiter
1
   
2 1  
3
2 1 4 
2
0
5
d5= 
d2=2
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 4
d3= 1
Iter V
1 {1}
2 {2,3}
3 {2,4}
d1
0
0
0
d2 d3 d4 d5 traiter
1
   
2 1  
3
2 1 4 
2
0
5
d5= 
d2=2
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 4
d3= 1
Iter V
1 {1}
2 {2,3}
3 {2,4}
d1
0
0
0
d2 d3 d4 d5 traiter
1
   
2 1  
3
2 1 4 
2
0
5
d5= 
d2=2
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 3
d3= 1
Iter V
1 {1}
2 {2,3}
3 {2,4}
d1
0
0
0
d2 d3 d4 d5 traiter
1
   
2 1  
3
2 1 4 
2
0
5
d5= 
d2=2
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 3
d3= 1
Iter
1
2
3
4
V
{1}
{2,3}
{2,4}
{4,5}
d1
0
0
0
0
d2 d3 d4 d5 traiter
1
   
2 1  
3
2 1 4 
2
2 1 3 2
5
0
5
d5= 2
d2=2
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 3
d3= 1
Iter
1
2
3
4
5
V
{1}
{2,3}
{2,4}
{4,5}
{4}
d1
0
0
0
0
0
d2 d3 d4 d5 traiter
1
   
2 1  
3
2 1 4 
2
2 1 3 2
5
2 1 3 2
4
0
5
d5= 2
d2=2
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 3
d3= 1
Iter
1
2
3
4
5
V
{1}
{2,3}
{2,4}
{4,5}
{4}
d1
0
0
0
0
0
d2 d3 d4 d5 traiter
1
   
2 1  
3
2 1 4 
2
2 1 3 2
5
2 1 3 2
4
0
5
d5= 2
d2=2
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 3
d3= 1
Iter
1
2
3
4
5
V
{1}
{2,3}
{2,4}
{4,5}
{4}
{}
d1
0
0
0
0
0
0
d2 d3 d4 d5 traiter
1
   
2 1  
3
2 1 4 
2
2 1 3 2
5
2 1 3 2
4
2 1 3 2
0
5
d5= 2
d2=2
2
2
d1=0
1
1
1
0
1
3
1
4
3
d4= 3
d3= 1
Iter
1
2
3
4
5
V
{1}
{2,3}
{2,4}
{4,5}
{4}
{}
d1
0
0
0
0
0
0
d2 d3 d4 d5 traiter
1
   
2 1  
3
2 1 4 
2
2 1 3 2
5
2 1 3 2
4
2 1 3 2
0
5
d5= 2
Algorithme de Dijkstra
Propriété des étiquettes permanentes
 Si les coûts sur tous les arcs sont non
négatifs
 Considérons W={i¦di < et iV}
 Alors, pour chaque itération,
–
–
aucun nœud appartenant à W au début de
l’itération n’entrera dans V pendant l’itération
à la fin de l’itération, didj si iW et jW.
Plus courts chemins
Michel Bierlaire
46
Notes


Si l’on désire calculer le plus court
chemin de a à b, on peut arrêter
l’algorithme de Dijkstra dès que le
nœud b est dans W.
Si au moins un arc a un coût négatif,
rien ne garantit le caractère
permanent des étiquettes
Plus courts chemins
Michel Bierlaire
47
d2= 
2
d1=0
2
-2
1
1
3
1
4
1
d3= 
Iter V d1 d2 d3 d4 traiter
1 {1} 0   
1
d4= 
d2= 
2
d1=0
2
-2
1
1
3
1
4
1
d3= 
Iter V d1 d2 d3 d4 traiter
1 {1} 0   
1
d4= 
d2= 
2
d1=0
2
-2
1
1
3
1
4
1
d3= 
Iter V d1 d2 d3 d4 traiter
1 {1} 0   
1
d4= 
d2= 2
2
d1=0
2
-2
1
1
3
1
4
1
d3= 
Iter V d1 d2 d3 d4 traiter
1 {1} 0   
1
d4= 
d2= 2
2
d1=0
2
-2
1
1
3
1
4
1
d3= 1
Iter V d1 d2 d3 d4 traiter
1 {1} 0   
1
2 {2,3} 0 2 1 
3
d4= 
d2= 2
2
d1=0
2
-2
1
1
3
1
4
1
d3= 1
Iter V d1 d2 d3 d4 traiter
1 {1} 0   
1
2 {2,3} 0 2 1 
3
d4= 
d2= 2
2
2
d1=0
-2
1
1
3
1
4
1
d3= 1
Iter V
1 {1}
2 {2,3}
3 {2,4}
d1
0
0
0
d2 d3 d4 traiter
1
  
2 1 
3
2 1 2
2
d4= 2
d2= 2
2
2
d1=0
-2
1
1
3
1
4
1
d3= 1
Iter V
1 {1}
2 {2,3}
3 {2,4}
d1
0
0
0
d2 d3 d4 traiter
1
  
2 1 
3
2 1 2
2
d4= 2
d2= 2
2
2
d1=0
-2
1
1
3
1
4
1
d3= 1
Iter V
1 {1}
2 {2,3}
3 {2,4}
d1
0
0
0
d2 d3 d4 traiter
1
  
2 1 
3
2 1 2
2
d4= 2
d2= 2
2
2
d1=0
-2
1
1
3
1
4
1
d3= 0
Iter
1
2
3
4
V
{1}
{2,3}
{2,4}
{3,4}
d1
0
0
0
0
d4= 2
d2 d3 d4 traiter
1
  
2 1 
3
2 1 2
2
2 0 2
3
Nœud 3 rentre
à nouveau dans
V
d2= 2
2
2
d1=0
-2
1
1
3
1
4
1
d3= 0
Iter
1
2
3
4
V
{1}
{2,3}
{2,4}
{3,4}
d1
0
0
0
0
d2 d3 d4 traiter
1
  
2 1 
3
2 1 2
2
2 0 2
3
d4= 2
d2= 2
2
2
d1=0
-2
1
1
3
1
4
1
d3= 0
Iter
1
2
3
4
5
V
{1}
{2,3}
{2,4}
{3,4}
{4}
d1
0
0
0
0
0
d2 d3 d4 traiter
1
  
2 1 
3
2 1 2
2
2 0 2
3
2 0 1
4
d4= 1