Thème : ESPACE ET MOUVEMENT

Thème : ESPACE ET
MOUVEMENT
Rebond d’une balle
1
Etude du rebond d’une balle (1) .
Expérimentation :
• Une
caméra
web
permet de filmer le
mouvement
d’une
balle
lâchée
sans
vitesse initiale.
2
Etude du rebond d’une balle (2).
Expérimentation :
• Sur cette vidéo numérique
le logiciel AVIMECA
permet d’effectuer des
mesures de position du
centre de la balle, image
par image, donc à des
dates successives connues.
3
On obtient ainsi:
• Les abscisses yi du
centre sur un axe
vertical dirigé vers le
bas .
• Les dates de passage
ti à ces abscisses .
4
Utilisation d’un tableur
Ce
tableau
de
mesures peut être
exporté
vers
un
tableur pour calculer
les
vitesses
v
instantanées et pour
représenter
graphiquement y et v
au cours du temps t
5
Graphique obtenu avec un tableur
y en fonction du temps t
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
6
Deux approches
Physique
Mathématiques
7
En Physique :
Les données recueillies
(yi;ti) permettent, à l’aide
du tableur, de calculer les
composantes de la vitesse
instantanée vy en fonction
de la date t dans les
différentes parties du
mouvement.
8
Avant le premier rebond
t en secondes
0,00
-0,50 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-1,00
v=f(t)
-1,50
f(t)= -9,4.t-0,51
-2,50
-2,00
-3,00
-3,50
-4,00
-4,50
v = -9,4*t - 0,51
-5,00
9
Entre le premier et le second rebond
4,00
3,00
v = j(t)
2,00
1,00
j(t) = -9,3.t + 7,9
t en secondes
0,00
-1,00
0
0,5
1
1,5
-2,00
-3,00
-4,00
v = -9,3*t + 7,9
-5,00
10
Après le second rebond
3,50
3,00
3,00
v = h(t)
h(t)= -10,2.t+16,1
2,50
2,50
2,00
2,00
1,50
1,50
1,00
1,00
0,50
0,50
0,00
0, 0
-0,50
v=h(t)
0
v=h(t)
v = -10,2*t + 16,1
0
0,5
1
1,5 1
2 2
t en secondes
11
Les deux rebonds consécutifs
4,00
v en fonction de t
3,00
2,00
1,00
0,00
-1,00 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
-2,00
-3,00
-4,00
-5,00
12
Conclusion
On obtient :
•des représentations graphiques de v(t) qui
sont sensiblement des portions de droite.
•des coefficients directeurs voisins :
g  9,4 m/s² ; g 9,3m/s² ; g  10,2m/s²
Ces valeurs devraient être égales à 9,8 m/s2
13
Confrontation des prédictions d’un modèle
théorique aux résultats expérimentaux
•Si le mouvement de la balle dans l’air s’effectue sans frottement, d’après
le théorème du centre d’inertie, le vecteur accélération du centre de la
balle doit être égal au vecteur champ de pesanteur de norme g = 9,8 m/s2.
La composante vy du vecteur vitesse est donc une fonction affine de la
date t (entre chaque rebond).
•Les valeurs expérimentales ne sont pas rigoureusement égales à 9,8 m/s2
car :
– les « pointés » n’ont pas toujours été bien faits par les élèves,
– L’image verticale contient 240 pixels pour une hauteur de 1,2m : 2
pixels sont séparés de 5 mm, distance relativement importante pour
ce mouvement de chute libre.
14
Activités de l’élève en physique
Acquérir un film et traiter des images .
Programmer le tableur pour le calcul des
vitesses instantanées et obtenir la
représentation graphique de vy en fonction
de t.
Conclure : vy est-elle fonction affine de t ?
15
Activité de l’élève en physique
 Retrouver la valeur de l’accélération de
la pesanteur : le coefficient directeur de
la droite représentative de vy en fonction
de t doit être égal à -g si le frottement
peut-être négligé.
 Retrouver par intégration la loi horaire :
si vy = -g t + b alors par intégration :
y = (-1/2)g t²+ bt +c
16
En mathématiques :
Les points semblent appartenir à des courbes qui,
immédiatement sont interprétées comme des
paraboles.
On cherchera donc à obtenir les équations de ces
paraboles : y= a t² + b t + c
D’où un travail mathématique de résolution de
système linéaire de trois équations à trois
inconnues.
17
Les paramètres de ce système sont des
nombres décimaux, la résolution se fera
facilement à l’aide d’un moyen de calcul
automatisé : calculatrice, par exemple, ou
logiciel de calcul formel . Une fois les
solutions trouvées, on peut obtenir à l’aide
du tableur la modélisation du mouvement.
18
Le choix de trois points dans les séries de données
précédentes correspondant aux différents rebonds
permet d’obtenir trois systèmes linéaires à trois
inconnues :
On cherche a, b, c tels que la parabole d’équation : y = at²+bt+c passe
par les points de coordonnées (ti , yi ) ci-dessous :
(0; 1,17) ; (0,102 ; 1,07) ; (0,238 ; 0,79)
(a,b,c ) est solution d’un système de trois équations linéaires à trois
inconnues:
d’où y = -4,53 t²-0,52 t +1,17
19
De même, pour le premier rebond :
Coordonnées des points utilisés : (0,476 ;0,13) ;
(0,578 ;0,13) ; (0,714 ;0,72)
La solution est :  4,8402;8,2387;2,695
d’où, on prendra : y = -4,84 t² +8,24 t – 2,7
Pour le deuxième rebond :
Coordonnées des points utilisés : (1,292;0,14) ;
(1,394 ;0,39) ; (1,53 ;0,56)
La solution est :  5,0461;16,0049;12,115
d’où, on prendra : y = -5,05 t² +16,01t –12,12
20
Modélisation
1,4
1,2
2
y = -4,5312t - 0,5182t + 1,17
1
C1
0,8
C2
C3
Polynomial (C2)
0,6
Polynomial (C1)
2
y = -4,8402t + 8,2387t - 2,695
0,4
Polynomial (C3)
• Le tableur
recalcule les
abscisses yi à
l’aide de
fonctions
trouvées
0,2
y = -5,0461t2 + 16,005t - 12,115
0
0
0,5
1
1,5
2
21
Activités de l’élève en
mathématiques
• Choix des points (yi,ti)
• Résolution d’un système ( méthode du pivot de
Gauss) dont les paramètres dépendent des points
choisis .
• Utilisation de la calculatrice pour la résolution des
systèmes : cela permet d’avoir très rapidement
plusieurs courbes, parmi lesquelles on fera le choix
des mieux adaptées aux résultats obtenus à l’aide du
tableur .
22
Activités de l’élève en
mathématiques
Les fonctions du second degré étant
trouvées, il peut calculer les vitesses au
moment des rebonds.Ici interviennent les
notions de :
 Fonction non dérivable en un point.
 Dérivée à gauche et à droite.
23
Activités de l’élève en
mathématiques
A l’instigation du physicien, il peut être
intéressant de calculer la valeur absolue du
rapport des vitesses avant et après le rebond,
puis de comparer ces rapports au fur et à mesure
des rebonds.
24
Calculs des vitesses
•
•
•
•
•
Fonctions modélisant les rebonds :
f1(t) = -4,5 3 t² - 0,52 t + 1,17
f2(t) = -4,84 t² + 8,24 t – 2,70
f3(t) = -5,05 t² + 16,01t – 12,12
Calcul des fonctions dérivées(vitesses ) en
fonction du temps :
• f ’1(t) = - 9,06 t – 0,52
• f ’2(t) = -9,68 t + 8,24
• f ’3(t) = -10,09 t + 16,01
25
Vitesses (suite)
• On recherche les coordonnées des points
d’intersection des courbes avec l’axe des temps.
• On obtient les valeurs suivantes :
• Valeurs avant rebond :
t1= 0,44s
t3=1,25s
t5= 1,92s
• Valeurs après rebond : t2= 0,45s
t4= 1,26s
• D’où les calculs de vitesses aux points de rebond :
V1  - 4,63m/s
;
V2  3,96m/s
V3  - 3,97m/s
;
V4  3,41m/s
26
Calcul des rapports de vitesses
r0,86
r’0,86
Il semble qu’il y ait un rapport constant
entre la valeur absolue de la vitesse avant
rebond et celle de la vitesse après rebond.
27
Activités de l’élève en
mathématiques
Lorsqu’on obtient un rapport constant, cela
signifie que la suite des valeurs absolues des
vitesses vy aux moments des rebonds est une
suite géométrique. Admet-elle une limite ?
Y a-t-il un lien avec les altitudes auxquelles
remonte la balle ?
28
Sommet d’une parabole
f (t )  at ²  bt  c
f ’(t) = 2at+ b
S a pour coordonnées :
 b 
 ,

 2a 4a 
29
Suites géométriques
b 
f(t) = 0 pour t =
2a
Alors : f ’(t) =
b  
b   
2a 

2
a


30
Si l’on observe que :
d’où :
f ' ( t1 )
2
cela signifie que :
y2
 k²
y1
f ' (t 2 )
1
k
k
,
,
,
en appelant y1, l’ordonnée du sommet S1de
la première « parabole » et y2 celle du
sommet S2 de la deuxième « parabole ».
31
Conclusion
• La suite des valeurs absolues des vitesses
Vy est une suite géométrique de rapport
0,86 dans les calculs présents.
• La suite des ordonnées des sommets des
trois paraboles est une suite géométrique de
rapport (0,86)², ce que l’on doit vérifier sur
les courbes du modèle.
32
Vérification
• Hauteur initiale : y1 1,15m
• Premier rebond :
y2  0,81m
• Deuxième rebond : y3  0,58m
• y2/ y1  O,70 ; y3/y2  0,72 et
0,86²  0,74
33
Activités de l’élève en physique
Analyser le tableau (vy;t)
et faire des choix : les valeurs de la date et
de la vitesse vy juste avant et juste après le
rebond sont délicates à déterminer.
34
Premier rebond
•La date « juste avant » le premier rebond est environ
égale à 0,44s (ou 0,45s) ( d’après la courbe)
•La relation v=-9,39t-0,51 donne la vitesse
approximative juste avant le premier rebond :
Vav(0,44) = - 4,6 m/s.
•La date « juste après » le premier rebond est estimée
aussi égale à 0,44s.
•La relation v=-9,27t+7,9 donne la vitesse
approximative
juste
après
le
premier
rebond : Vap(0,44) = 3,8 m/s.
•La valeur absolue du rapport VAp / VAv est environ
égale à 0,82.
35
Second rebond
• La date « juste avant » le second rebond est
environ égale à 1,25s.
• La relation v = - 9,27t+7,9 donne la vitesse
approximative juste avant le second rebond :
Vav(1,25) = - 3,7 m/s. On retrouve sensiblement la
valeur de la vitesse juste après le premier rebond.
• La date « juste après » le second rebond est
estimée aussi égale à 1,25s.
• La relation v = - 10,2t + 16,1 donne la vitesse
approximative
juste
après
le
second
rebond : Vap(1,25) = 3,3 m/s
• La valeur absolue du rapport VAp / VAv est environ
36
égale à 0,88.
Conclusion
• Les mesures des rapports VAp / VAv sont
approximatives car l’enregistrement a été
effectué à 30 images par seconde : en effet,
l’intervalle de temps entre 2 images est trop
long pour obtenir précisément les dates de
contact avec le sol .
37
Activités de l’élève en physique
• On peut demander à l’élève d’appliquer le
théorème de l’énergie cinétique pour
montrer que :
V²AP/V²AV h2/h1 , où h1et h2 sont
respectivement les altitudes auxquelles
remonte la balle avant et après un rebond.
38
Résultats
YAV étant l’altitude maxi avant le rebond et yAP étant l’altitude maxi après
le rebond, on devrait vérifier : V 2
y
AP  AP
2
y AV
VAV
Les calculs donnent pour le premier rebond :
V2
AP
2
VAV
pour le second rebond :
=0,67 et
V2
AP
2
VAV
y AP
 0,69
y AV
y AP
 0,72
= 0,77 et
y AV
39
Questions
• Le rapport des vitesses dépend-il de la
hauteur initiale de chute? Ne dépend-il que
de la balle et de la nature du sol ?
• On peut suggérer à l’élève d’utiliser un
logiciel de simulation pour avoir une idée
de la réponse .
40
Utilisation d’un logiciel de
simulation
• Utiliser un logiciel de simulation :
Interactive physique
pour comprendre que le mouvement est
déterminé si l’on connaît la vitesse initiale,
la position initiale et l’accélération du
centre de gravité.
IP
41
Méthode d’intégration d’Euler
42
Calcul de la fonction vitesse
• y’’ est une fonction constante de t :
en effet, le mouvement se fait sous l’action de la
pesanteur seule, et les frottements sont supposés
négligeables . Or on peut approcher y’’par le
quotient : Δy’/Δt.
• La fonction y’ est donc une fonction affine de t,
puisque la variation de cette fonction est
proportionnelle à la variation de la variable t
43
Approximation de la loi horaire :
• y’= v(t) = -gt puisque la vitesse initiale est nulle
• Posons y = f(t)
Dans le cours de première, on apprend que :
pour tout h tel que ti + h soit dans l’ensemble de
définition de f, on a :
f(ti+h)  f(ti) + h.f ’(ti), lorsque h est »petit »
• On prend : h = ti+1-ti
44
Méthode d’Euler ( suite)
• On a alors :
f(ti+1) f(ti) – 0,059,81 ti et f(t0) = 1,2
• D’où les calculs faits dans un tableur :
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ti
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
f(ti)
1,2
1,175475
1,126425
1,05285
0,95475
0,832125
0,684975
0,5133
0,3171
0,096375
-0,148875
f réelle
1,2
1,1877375
1,15095
1,0896375
1,0038
0,8934375
0,75855
0,5991375
0,4152
0,2067375
-0,02625
Erreur
0,00E+00
1,23E-02
2,45E-02
3,68E-02
4,91E-02
6,13E-02
7,36E-02
8,58E-02
9,81E-02
1,10E-01
1,23E-01
45
Méthode d’Euler ( suite)
On obtient ensuite une ligne polygonale
approchant la courbe représentant la
fonction f en choisissant l’option graphique
du tableur : « nuage de points », puis en lui
faisant relier les points de coordonnées (ti,yi)
par des segments de droite.
46
Graphique obtenu avec la
méthode d’Euler
Pas de 0,05
1,4
1,2
1
0,8
f(ti)
0,6
0,4
0,2
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
47
Analyse de l’erreur de méthode :
48
49
51
52