MBSOFT : a Symbolic - Université catholique de Louvain

ELEC 2753 Electrotechnique
Conversion électromécanique d ’énergie
Le matériel utilisé sur ces transparents reprend
celui qui a été rassemblé par H. BUYSE, cotitulaire
du cours jusqu’en 2006.
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Définition d’un convertisseur
électromécanique
Accès électriques : tension et
courant
Accès mécaniques : couple et vitesse
de rotation (ou force et vitesse).
Les accès sont caractérisés par deux grandeurs : Il s’agit d’un modèle
« circuit ».
Ce modèle n’est pas automatiquement un modèle « système » : la
distinction entre variables d’entrée et de sortie n’est pas fixée.
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Classification des convertisseurs
électromécaniques
Classification selon le principe mis en oeuvre
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L’interaction électromécanique
peut avoir lieu
• entre corps distincts, via un
champ magnétique ou électrique
présent ENTRE ces corps
• par déformation d’un corps sous l’effet d’un champ présent A
L’INTERIEUR de ce corps
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Interactions par le champ magnétique
Le champ magnétique peut transmettre une force entre deux corps. L’expression
générale de cette force a été donnée par Maxwell. Nous nous contenterons ici
de l’évoquer de façon intuitive.
Selon Maxwell (1870), le champ magnétique (et électrique) est le support de
forces : les lignes de champ s ’appellent souvent des lignes de force car on peut
les considérer comme des ficelles en traction (attention, cette analogie n ’est
pas parfaite : il y a aussi des forces dans la direction perpendiculaire aux
lignes). On peut ainsi comprendre l ’apparition de forces entre les plots
magnétiques du stator et du rotor.
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Interactions par le champ magnétique
Plus précisément, le champ magnétique donne lieu, même dans le vide, à un tenseur de
contrainte analogue à celui que l’on utilise en mécanique des milieux continus (Maxwell, vers
1870). Considérant une surface de séparation, il apparaît sur celle-ci à la fois une densité de
force normale à la surface et une force tangentielle. Désignons le champ magnétique par H et
l’induction magnétique par B (appelé champ magnétique dans les cours de BAC).
L’expression de la force tangentielle est
celle qui est la plus utile pour le calcul des
machines. Elle vaut
Ft  Bn H t
L’expression de la force normale fait intervenir les caractéristiques du milieu.
Dans l’air (cas le plus fréquent), elle se réduit à
1
1
2
2
Fn 
Bn   0 H t soit, pour un champ perpendiculaire à la surface
considérée
2 0
2
1
2
Fn 
6
2 0
B
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Deux cas particuliers d’interaction magnétique
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force sur un conducteur parcouru
par un courant lorsque ce
conducteur est placé dans un
champ magnétique (loi Bli).
force sur une pièce ferromagnétique
lorsque le courant circulant dans une ou
plusieurs spires y engendre un champ
magnétique non uniforme.
tension induite dans ce conducteur
s’il est mis en mouvement (loi
Blv).
tension dans cette ou ces spires en raison
des variations de flux que le mouvement
de la pièce ferromagnétique y engendre.
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Interactions par le champ électrique
Tout comme le champ magnétique, le champ électrique donne lieu à des forces
entre les corps (lignes de force).
Ft  Dn E t
et, dans le vide (  l’air),
1
1
2
2
Fn 
Dn  0 E t
2 0
2
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Deux cas particuliers d’interaction électrique
Action sur les corps chargés
force F qui s’exercent entre des corps
chargés électriquement
Action sur les diélectriques
Force F sur le diélectrique
variations de la tension u entre ces
corps en cas de mouvement d’un
corps par rapport à l’autre sans
variation de charge.
Variation de la charge, donc
circulation d’un courant, en cas de
mouvement à tension fixée.
Variation de la tension ou de la
charge quand le diélectrique se
déplace.
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Interactions par magnétostriction et
piézoélectrique
Matériaux magnétostrictifs
Tout corps ferromagnétique
change de volume quand il
est soumis à un champ
magnétique.
matériaux piézoélectriques
se déforment sous l’action d’un champ électrique
produit par l’application d’une différence de
potentiel entre deux armatures
contraintes mécaniques  à ce type de matériau
y développe une polarisation électrique 
différence de potentiel entre deux armatures
conductrices
Origine d’un bruit difficile à
maîtriser dans les
transformateurs et les
machines.
Utilisé dans les sonars pour
produire des ultrasons.
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Classification des convertisseurs
électromécaniques
Classification d’après la fonction assurée
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Conversion d’énergie : générateurs et moteurs
Convertisseurs électromécaniques destinés à
 transformer l’énergie mécanique qu’ils reçoivent en une énergie électrique : générateur
 transformer l’énergie électrique qu ’ils reçoivent en une énergie mécanique : moteur.
Convertisseurs toujours du type électromagnétique.
Réversibilité des phénomènes physiques à la base de leur fonctionnement  le sens de la
transformation de l’énergie dépend des caractéristiques du système mécanique et du système
électrique qu’ils relient.
Critères de conception de ces convertisseurs :
- rendement de conversion élevé;
- fonctionnement à puissance instantanée constante(mécanique et électrique)
- interconnectabilité : l’énergie électrique produite par un générateur
directement utilisable par un convertisseur du même type fonctionnant en moteur.
Ces critères sont satisfaits par une catégorie de convertisseurs dite « à champ tournant ».
On distingue parmi ces machines les machines à courant alternatif sinusoïdal et les
machines à courant continu. Les générateurs et moteurs de ce type sont donc des machines
tournantes convertissant (en régime permanent) une puissance constante (mécaniquement, il
s’agit d’un couple constant sur un arbre tournant à vitesse angulaire constante).
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Conversion d’information : actionneurs et
capteurs
Actionneurs = convertisseurs électromécaniques  commande du mouvement de
systèmes mécaniques à partir des grandeurs électriques qu’on impose à leurs entrée
= source de force ou de couple commandant un système mécanique .
Conception
 facilité et précision de la commande électrique de force ou de couple.
 rapport entre la taille de l’actionneur et la force ou le couple qu’il
développe.
Actionneur alimenté à travers un système de conditionnement de l’énergie électrique
(convertisseur électronique de puissance) adaptant ses conditions de fonctionnement
aux besoins de l’actionnement. Les critères de fonctionnement à puissance constante et
d ’interconnectabilité ne sont pas déterminants.
Structures des actionneurs électromagnétiques plus diversifiées que celles des
générateurs et des moteurs : convertisseurs à champ tournant et des machines à courant
continu + actionneurs à réluctance commutée ou à flux commuté.
Convertisseurs électrostatiques et convertisseurs piézoélectriques.
Actionneurs = machines tournantes + machines linéaires + machines à plusieurs
degrés de liberté.
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Capteurs
Les convertisseurs électromécaniques sont aussi utilisés pour recueillir
une information de position, vitesse….. sous la forme d’une grandeur
électrique analogique. Après diverses manipulations, cette information
peut être affichée (mesure) ou transmise à un système automatisé.
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Structures de convertisseurs électromécaniques
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Exemple 1 : Haut-parleur électrodynamique
Ce dispositif présente une symétrie de révolution, il comporte :
- un noyau en matériau ferromagnétique muni d’un entrefer ;
- un aimant permanent solidaire du noyau ;
- un enroulement, formé de n spires disposé dans l ’entrefer
L’enroulement est fixé sur une membrane élastique et se déplace axialement dans l’entrefer.
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Exemple 2 : Moteur réluctant oscillant
Convertisseur rotatif à débattement limité utilisé comme moteur oscillant dans les têtes de
coupe de certains rasoirs électriques .
Ce moteur comporte une partie fixe et une partie mobile en matériau ferromagnétique.
La partie fixe comporte un enroulement, un ressort de rappel maintient au repos la partie
mobile dans une position excentrée par rapport à la partie fixe.
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Structure générale des convertisseurs à
couplage magnétique
Convertisseur à couplage magnétique =
partie fixe + partie mobile pouvant
comporter : des pièces en matériau
magnétique, des aimants permanents, des
enroulements conducteurs.
Liaisons mécaniques de la partie mobile à
la partie fixe = éléments de guidage du
mouvement de la partie mobile.
Souvent mouvement = rotation à
débattement illimité. Partie fixe = stator,
partie mobile = rotor
Liaisons électriques des enroulements du stator et du rotor 
- les convertisseurs à liaisons invariantes : ces liaisons sont indépendantes de la position du rotor;
c’est le cas des convertisseurs électromagnétiques à champ tournant
- les convertisseurs à liaisons commutées ou à commutation : les liaisons des enroulements du
rotor et/ou du stator dépendent, au travers de dispositifs mécaniques ou électroniques appropriés, de
la position du rotor; c’est le cas des machines à courant continu avec ou sans collecteur et des
machines à réluctance commutée.
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Théorie (assez) générale des convertisseurs
électromécaniques
Hypothèses de base
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Hypothèses mécaniques
Corps rigides
Un degré de liberté (normalement rotation) : q
La force généralisée associée à ce degré de liberté est le
couple utile Cu .
Cu = Cem – Ca – Cp
où
• Cem est le couple électromagnétique
• Cp est le couple de frottement (sec + visqueux + de
ventilation)
• Ca est le couple d’inertie
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d2 q
Ca  J
dt 2
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Equations des convertisseurs à couplage
magnétique
En vertu de la loi de Faraday, la tension aux bornes du bobinage k est liée au courant ik qui y
d yk
circule par l’équation suivante
u 
 R i ; k [1, n ]
k
dt
k k
Rk représente la résistance de l’enroulement, k est le flux encerclé par l’enroulement.
Sans aimants permanents la relation entre flux k et courants ik dépend de la géométrie du
convertisseur, de la position du rotor, des caractéristiques magnétiques des matériaux
magnétiques (dans ce cours, pas de forces électromotrices de glissement, thermoélectrique…).
En négligeant l ’hystérésis de ces caractéristiques, ainsi que l ’effet des courants de Foucault,
suivant le théorème d’Ampère, le champ H en tout point du convertisseur ne dépend que de la
position du rotor et des courants dans les enroulements. De même pour le champ B et donc
des flux encerclés :
yk = k (i1, i2, … ,in, q)
ik = Ik(y1, y2, … , yn , q)
La dépendance des flux k / la position du rotor est indispensable pour que le mouvement de
la partie mobile engendre des interactions électromécaniques.
n
y k di j y k dq
uk  

 R kik

i
dt

q
dt
j1
j
y k dq
Le terme
est généralement appelé la force contre-électromotrice motionnelle.
q dt
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Relation flux-courants
Les caractéristiques B-H des matériaux magnétiques sont supposées univoques et linéaires
B=H
où µ est la perméabilité du matériau considéré.
:
Cette
simplification est acceptable si on exploite les
matériaux dans la zone de leur caractéristique B-H où la
saturation est peu importante. Si la relation B-H dans les
matériaux magnétiques est linéaire, il en va de même des
relations liant les flux aux courants.
n
y k   Lkj (q) i j ;
j[1, n]
j1
Les coefficients Lkj(q) qui interviennent dans cette relation
sont appelés les coefficients d’inductance propres et
mutuelles des bobinages.
Pour une position donnée q0 , le coefficient Lkj(q0) correspond au rapport existant entre le flux
k encerclé par l’enroulement k et le courant ij circulant dans l’enroulement j lorsque tous les
autres courants sont nuls.
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Relation flux-courant d ’un convertisseur à
un seul enroulement
y k
i j
Dans le cas où l’on prend en compte le caractère non-linéaire des caractéristiques B-H
des matériaux magnétiques, les relations liant les flux aux courants sont elles aussi nonlinéaires et les coefficients sont des coefficients d’inductances propres et mutuelles
variationnels calculés au point qo, i1o, i2o, … , ino .
Lkj (i1 , ..... in ,q ) 
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Energie magnétique
On peut définir une forme réversible d’énergie, associée aux flux encerclés par les
bobinages et appelée l’énergie magnétique Wmag . Cette énergie constitue une fonction
d’état dont la valeur ne dépend à tout instant que des valeurs des variables qui caractérisent
l’état du système.Pour appliquer à un convertisseur électromagnétique le principe de la
conservation de l’énergie, on considérera :
- l’énergie électrique et l’énergie mécanique échangées avec le monde extérieur;
- l’énergie magnétique et l’énergie cinétique stockées au sein du convertisseur;
- l’énergie transformée en chaleur, par effet Joule dans les bobinages et par le travail des
forces de frottement internes qui s’opposent au mouvement du rotor.
Si le rotor est immobilisé dans une position donnée, l’énergie échangée avec le monde
extérieur se réduit à l’énergie électrique Welec absorbée par les bobinages. Sur un intervalle
n
de temps dt, cette énergie vaut :
dWelec   u k i k dt k [1, n ]
k 1
dWelec 
n

k 1
24
n

k 1
n
dy k
ik
dt   R k i 2k dt 
dt
k 1
i k dy k  dWmag
n

k 1
n
i k dy k   R k i 2k dt
: variation d ’énergie magnétique
k 1
Effet Joule
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Energie magnétique
Wmag  
y1 , y 2 , ... ,y n
0 , 0 , ... , 0
n

k 1
Wmag  
i k dy k
y1 , y 2 , ... ,y n
0 , 0 , ... , 0
n

k 1
I k (y1 , y 2 , ... , y n , q) dy k
Wmag = Wmag (y1, y2, … ,yn, q)
Si l’énergie magnétique est une fonction
d’état, elle doit, pour chaque valeur de 2, être
définie de manière unique  analytiquement
i j
ik

y j y k
Réciprocité des inductances mutuelles
dans le cas où l’on fait l’hypothèse que les
matériaux magnétiques ont une relation BH linéaire, c’est-à-dire
Convertisseur à un enroulement
La condition ci-dessus entraîne Lkj = Ljk car la matrice des inductances est
l’inverse de la matrice formée par les i
y
k
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y j
k
  Lkm im
m
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Coénergie magnétique
n
Wcmag   i k y k  Wmag
Définition de la coénergie :
k 1
En différenciant à q constant, on obtient
n
dWcmag   (i k dy k  y k di k )  dWmag
k 1
n
dWcmag   y k di k
k 1
En exprimant les flux en fonction des courants :
Wcmag  
i1 , i 2 , ... ,i n
0 , 0 , ... , 0
n

k 1
y k (i1 , i 2 , ... , i n ) di k
Cette relation montre que la coénergie s’exprime
naturellement comme une fonction des courants
et de la position du rotor :
Convertisseur à un enroulement
Wcmag  Wcmag (i1 , i 2 , ... , i n , q)
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Energie et coénergie magnétique
dans le cas linéaire
n
n
k 1
j1
dWcmag   ( L kj i j ) di k
Par définition :
dWcmag
Par la réciprocité des inductances :
Donc,
Wcmag
n
Et :
Wmag  
k 1
Si
n

j1
1 n
 
2 k 1
1 n
 
2 k 1
n

j1
L kj (i j di k  i k di j )
n

j1
L kj i j i k
1 n
L kj i j i k  
2 k 1
[I]T = [i1, i2 , … ,in ] et
n

j1
L kj i j i k  Wcmag
[L(q)] = [Lij(q)]
, on a :
1
Wcmag  [I] T [L(q)][I]  Wmag
2
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Expression du couple électromagnétique
déduite de l ’énergie
n
n
n
dWelec   uk ik dt   R i dt   ik dy k
Energie électrique fournie :
k 1
2
k k
k 1
k 1
n
dWpelec   R k i 2k dt
Pertes par effet Joule :
k 1
n
Wmag
k 1
y k
dWmag  
Variation d ’énergie magnétique :
dy k 
Wmag
q
dq
Travail du couple électromagnétique : dWem = Cem dq
n
k 1
n

Donc :
k 1
Et comme
28
ik 
n
Wmag
k 1
y k
dWelec   R i dt  
Bilan d ’énergie :
Wmag
y k
2
k k
n
Wmag
k 1
y k
i k dy k  
on a :
Cem  
dy k 
dy k 
Wmag
q
Wmag
q
dq  Cem dq
dq  Cem dq
Wmag
q
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Expression du couple électromagnétique
déduite de la coénergie
n
Wcmag
k 1
i k
n
dWmag   (i k dy k  y k di k )  
Compte tenu des définitions :
k 1
n
En tenant compte de (dia précédente) :
Comme les variables i k
k 1
y k
Wcmag
k 1
i k
di k 
dy k 
Wcmag
q
Wmag
q
q
dq
dq  Cem dq
dq  Cem dq
, (k [1, n])et q sont indépendantes, on a :
yk 
Wcmag
i k
Wcmag
q
Dans le cas linéaire :
29
Wmag
i k dy k  
n
0   y k di k  
k 1
Cem 
k 1
n
On obtient :
Donc :

n
di k 
Wcmag
Cem 
Wcmag
q
1
[L]
 [I]T
[I ]
2
q
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Pourquoi a-t-on un signe moins quand Cem est exprimé en terme d’énergie et
pas quand il est exprimé en terme de coénergie ? L’énergie et la coénergie
sont pourtant égales dans le cas linéaire.
Montrons sur un exemple ce qui se passe : un seul circuit, linéaire, donc
caractérisé par une inductance L(q) fonction de la position q .
On a y = L(q) i , donc
Wmag 

i dy 
q fixé
Cem  
Cem  
30

q fixé
y
1
dy 
y2
L(q)
2 L(q)
 w mag
q
 w c mag
q


Wc mag 

y di 
q fixé
1 2
L
(
q
)
i
di

Li

2
q fixé
1   L(q) / q 2 1  L(q) 2
y 
i
2
2
L (q)
2 q
1  L(q) 2
i
2 q
Les deux expressions conduisent bien
au même résultat !
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