Le corrigé sous forme de diaporama
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TD Un exemple simple de modélisation économique, La droite de budget • Revenu de Sam : 40 € • Prix d’une pizza : pz = 8 € • Prix d’un kg de frites pf = 4 € • Dépense en pizzas = pz.X = 8X • Dépense en frites = pf.Y = 4Y • Dépense totale = D= 8X + 4Y • Pour maximiser sa satisfaction il dépense tout son revenu : D = R • • • • • D=R pz.X + pf.Y = R 8 X + 4 Y = 40 4Y = - 8 X + 40 Y = -2 X + 10 2 est le rapport des deux prix (8/4=2) -2 est le coefficient directeur de la droite du budget Celle-ci est donc décroissante : plus Sam achète de pizzas, moins il achète de frites C’est l’équation d’une droite (y = ax+b) C’est la « droite de budget » 10 est l’ordonnée à l’origine. C’est le nombre maximal de kg de frites qu’il peut acheter s’il n’achète pas de pizzas • Si Sam achète 0 pizzas, il achète 10 ……… kg de frites • Si Sam achète 1 pizzas, il achète 8 ……… kg de frites • Si Sam achète 2 pizzas, il achète 6 ……… kg de frites • Si Sam achète 3 pizzas, il achète 4 ……… kg de frites • Si Sam achète 4 pizzas, il achète 2 ……… kg de frites • Si Sam achète 5 pizzas, il achète 0 ……… kg de frites Dépense =(0 x 8) + (10 x 4) = 40 Dépense = (1 x 8) + (8 x 4) = 40 Droite de budget : Y = - 2 X + 10 Dépense = (2 x 8) + (6 x 4) = 40 Dépense = (3 x 8) + (4 x 4) = 40 Dépense = Dépense = (4 x 8) + (2 x 4) = 40 (5 x 8) + (0 x 4) = 40 Dépense = (1x8) + (4x4) = 24 Sam pourrait être mieux satisfait en dépensant plus Dépense = (3x8) + (2x4) = 32 Dépense = (2 x 8) + ( 8 x 4) = 48 Sam n’a pas les moyens de payer ces paniers Dépense = (4 x 8) + ( 4 x 4) = 48 Ensemble des paniers impossibles car dépassent le budget En fonction de ses préférences, Sam choisira l’un des paniers représentés par cette courbe • • • • • Le prix des pizzas passe de 8 € à 12 € D=R pz.X + pf.Y = R 12 X + 4 Y = 40 4Y = - 12 X + 40 Y = -3 X + 10 3 est le rapport des deux prix (12/4=3) -3 est le nouveau coefficient directeur de la droite du budget Nouvelle équation de la « droite de budget » L’ordonnée à l’origine n’est pas modifiée Le nombre maximal de kg de frites qu’il peut acheter s’il n’achète pas de pizzas reste identique car le prix des frites n’a pas changé. La modification du rapport entre les prix (prix relatif) va entraîner une modification de la pente de la droite de budget Paniers qui étaient déjà impossibles avant la variation du prix Paniers qui ne sont plus possibles Paniers qui étaient déjà impossibles avant la variation du prix Nouvel ensemble des possibles mais non optimum Paniers qui ne sont plus possibles En fonction de ses préférences, Sam choisira l’un des paniers représentés sur cette courbe • • • • • Le revenu de Sam passe de 40 € à 30 € D=R pz.X + pf.Y = R 8 X + 4 Y = 30 4Y = - 8 X + 30 Y = -2 X + 7,5 Le prix relatif est inchangé : la pente de la droite de budget reste la même. La nouvelle droite de budget sera parallèle à l’ancienne. C’est l’équation de la nouvelle droite de budget. Le nombre maximal de kg de frites qu’il peut acheter s’il n’achète pas de pizzas a diminué car son revenu a diminué. La modification du revenu va entraîner un déplacement de la droite de budget, qui restera parallèle à l’ancienne. Anciens paniers impossibles Paniers devenus impossibles à cause de la baisse du revenu Nouvel ensemble des paniers possibles mais pas optimum En fonction de ses préférences, Sam choisira l’un des paniers représentés sur cette courbe Bilan • On a émis des hypothèses quant au comportement du consommateur : • on a supposé qu’il cherche à maximiser sa satisfaction • et que plus il consomme, plus sa satisfaction est grande • On a traduit la situation par une équation : on l’a modélisée • On a utilisé le modèle pour étudier l’impact d’une évolution des variables (prix relatif, revenu). • On a ainsi illustré la démarche de l’économiste qui modélise des situations et des comportements • Avec la même démarche, et des outils mathématiques plus complexes, l’économiste modélise le comportement et les situations dans lesquelles évoluent les entreprises, les salariés, les pouvoirs publics etc. • On obtient alors un modèle complexe qui permet d’étudier l’impact sur l’économie, par exemple, d’une augmentation du prix du pétrole, d’une baisse des taux d’intérêt, d’une augmentation du SMIC, d’une baisse des impôts etc.
