rappels vecteurs, exemple d`établissement d`équation différentielle

Chute verticale avec frottement
Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en chute verticale dans un fluide et
établir l'équation différentielle du mouvement, la force de frottement étant donnée.
Rappels sur les vecteurs, indispensable car source d’erreur n°1 !!
Détermination de la viscosité d'une huile moteur (5,5 Points) - Antilles 2004
(Rattrapage)
Mécanique du vol d'un ballon sonde (6,5 Points) - Métropole 2004
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Rappels sur les vecteurs
Même vecteur dans deux repères différents
O
i
j
j
v
O
i
vx = 2
v
vy = 2
Coordonnées différentes !!
v  v x .i  v y . j
v
vx = 2
v
vy = - 2
vx est la coordonnée du vecteur suivant l’axe Ox, cette coordonnée est parfois appelée
composante.
norme
= valeur
v  v = v 2x  v 2y
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Rappels sur les vecteurs
Addition de vecteurs
w  vu
j
O
i
wx = vx + ux
w
wy = vy + uy
v
vx = 2
u
ux = 1
vy = - 2
wx = 2+ 1 = 3
w
u
v
w
uy = 1
wy = -2 +1 = -1
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Rappels sur les vecteurs
vecteur
Multiplication d’un vecteur
f    .v
v
f   .v
valeur du
vecteur
La coordonnée de ce vecteur force de frottement dépend du repère d’étude :
O
fz = -.v
O
f
f
fz = .v
Après ces quelques rappels mathématiques, faisons de la physique !
Exemples tirés de sujets de bac S
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Détermination de la viscosité d'une huile moteur - Antilles 09/2004
Pour étudier le mouvement de chute verticale d'une balle dans de l’huile moteur, on se
place dans le référentiel du laboratoire. On prendra l'axe vertical Oz dirigé vers le bas.
Les caractéristiques de la balle sont : masse m ; rayon R ; volume V.

La masse volumique de l'huile est ρhuile.


On suppose que la force de frottement s'exprime sous la forme f = – k. vG où vG est la
vitesse du centre d'inertie de la balle. On appellera vG la composante de la vitesse
suivant l'axe Oz.
1.2. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle du
mouvement de la balle dans le référentiel du laboratoire.
Référentiel: Laboratoire, considéré galiléen
Système: balle
P poids
Inventaire des forces:
 poussée d’Archimède
f
force de frottement
P    f  m.a
Deuxième loi de Newton:
Projection de la 2ème loi de Newton dans un repère à préciser ou indiqué par l’énoncé
O
Pz + z + fz = m.az
f 
P –  – f = m.
dv G
dtdv
m.g – rhuile.V.g – k.vG= m.
P
g
r huile .V
m
G
dt
dvG
k
.g  .vG 
m
dt
dv
 r .V  k
g 1  huile   .vG  G
m  m
dt

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Mécanique du vol d'un ballon sonde (6,5 Points) - Métropole 2004
L'objectif de cette partie est d'étudier l’ascension d’un ballon sonde à faible altitude. On
peut alors considérer que l'accélération de la pesanteur g, le volume du ballon Vb et la
masse volumique r de l'air restent constantes.
On modélisera la valeur f de la force de frottement de l'air sur le système étudié par
l'expression: f = K.r.v² où K est une constante pour les altitudes considérées et v la
vitesse du centre d'inertie du système {ballon + nacelle} .
Le système {ballon + nacelle} , de masse M, est étudié dans un référentiel terrestre
considéré comme galiléen. On utilisera un axe vertical orienté vers le haut.
1.2.1.Montrer que l'équation différentielle régissant le mouvement du ballon peut se
dv
mettre sous la forme : A.v² + B =
Référentiel: terrestre, considéré galiléen
dt
Système: Ballon+nacelle
Inventaire des forces:
P poids  poussée d’Archimède f force de frottement
P    f  M .a
Deuxième loi de Newton:
Projection de la 2ème loi de Newton dans le repère indiqué par l’énoncé
Pz + z + fz = M.az

P
O
f
-P +  - f = M.
-M.g + r.Vb.g - K.r.v²= M.
g 
r .Vb
M
.g 
K .r
M
r .Vb
B  g 
.g
M
dv
dt dv
A
dt
K .r
dv
.v² 
M
dt
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