Introduction. Concepts de base.

MAT3253
Géométrie I
Professeur: Jurek Czyzowicz
Consultations:
Lundi 10h-11h30
Mercredi 10h00 – 11h30
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Liens internet utiles
• http://www.cut-the-knot.org/
WhatIs/WhatIsGeometry.shtml
• http://www.elvenkids.com/tools/
geometria/Geometria.php
• http://mrperezonlinemathtutor.com/
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Géométrie comme science
•
•
•
•
gewmetria; geo = terre, metria = mesure
L’un de deux domaines de mathématiques pré
moderne (autre - étude de nombres)
La science mathématique des figures dans le plan
et des volumes (les corps, au sens classique) dans
l’espace.
Les progrès des connaissances ont rendu la
définition classique beaucoup trop restrictive. On
peut parler de la géométrie de l’espace-temps et de
nombreux espaces abstraits. La distinction entre ce
qui est et n’est pas géométrique est alors délicate.
Toute structure, tout modèle, tout univers possible,
peut être étudié, d’une façon géométrique. On peut
alors définir la géométrie comme la science des
positions.
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L’importance de la géométrie
• Euclide a réuni l’ensemble des
connaissances géométriques de son temps
d’un telle façon qu’elles soient toutes ou
bien des vérités premières, des axiomes,
ou bien des théorèmes, prouvés à partir
des axiomes.
• Cette méthode axiomatique a un immense
prestige aux yeux des scientifiques et des
philosophes en tant qu’idéal de perfection
du raisonnement.
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Exemples d’applications de la
géométrie
• Topographie (parcellisation des terres en
Grèce antique)
• Physique
• Mécanique (architecture, dessin
industriel)
• Navigation (trigonométrie)
• Informatique (CAO, infographie)
• Beaucoup d’autres (astronomie,
géographie, etc.)
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Aperçu historique: Les Indes
(3000 – 500 a.J.C.)
• Conséquence de la planification urbaine
• Harappa et Mohenjo-Daro, 3000 a.J.C.
(les rues aux angles parfaitement droits,
briques «compas» de Lothal (sections de
40 degrés))
• Période de Vedic (1500-500 a.J.C.),
formes géométriques dans les autels,
théorème de Pythagore, la valeur de p
(correcte jusqu’aux 2 chiffres décimaux)
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Aperçu historique: Grèce antique
(600 – 300 a.J.C.)
• Nouvelles figures, courbes, surfaces
• Déduction logique plutôt que
tâtonnement
• Étude de formes abstraites (formes
physiques – approximations)
• Théorie axiomatique (paradigme idéal
pour 2,000 ans)
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Aperçu historique: Grèce antique
(600 – 300 a.J.C.)
• Thalès (635-543 a.J.C.), introduit la
déduction mathématique
• Pythagore (582-496 a.J.C.)
• Euclide (325-265 a.J.C.), Elements
d’Euclide
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Aperçu historique. Géométrie
Euclidienne
•
Cinq postulats (axiomes)
 Conduire une droite d'un point quelconque à un
point quelconque.
 Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une
droite finie.
 D'un point quelconque, et avec un intervalle
quelconque, décrire une circonférence de cercle.
 Tous les angles droits sont égaux entre eux.
 Si une droite, tombant sur deux droites, fait les
angles intérieurs du même côté plus petits que
deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se
rencontreront du côté où les angles sont plus
petits que deux droits.
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Aperçu historique. Géométrie
Euclidienne
• Règle et compas
• Trisection de l’angle, la duplication du
cube, quadrature du cercle
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Aperçu historique. Géométrie
islamique (700 – 1500)
• Optique, miroirs des sections
coniques
• Théorie d’équations cubiques
• Courbes comme équations
• Géométrie algébrique
• Arithmétique appliquée aux objets
géométriques
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Aperçu historique (1600 + )
•
•
•
•
•
•
Géométrie analytique (coordonnées et équations),
René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat
(1601-1665)
Début du calculus (ex. applications géométriques:
tangente à une courbe, surface enfermée), Isaac
Newton (1642-1727), Gottfried von Leibniz (16461716)
Cinquième postulat d’Euclide – géométrie nonEuclidiene (Bernhard Riemann 1854), application à la
théorie de la relativité d’Albert Einstein
L’introduction à la rigueur mathématique (David
Hilbert - Base de la géométrie )
Topologie
Géométrie algorithmique, infographie
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Lieux géométrique
• Un lieu géométrique désigne l'ensemble
des points du plan ou de l'espace possédant
une certaine propriété (vérifiant une
condition donnée), à l’exclusion de tous les
autres points du plan.
• Exemple : Le lieu géométrique des points M
dont la distance à un point fixe A est égale
à R est le cercle de centre A et de rayon R.
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Concepts de base. Point
• Le point, selon Euclide, est ce qui n'a
aucune partie (on dirait aujourd'hui
ce qui n'a aucune dimension ou
aucune épaisseur.) Toutes les figures
du plan et de l'espace sont
constituées d'ensemble de points.
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Concepts de base. Droite.
• Vision naïve
• « La ligne droite est le plus court
chemin pour aller d'un point à un
autre ».
• Définition formelle d'Euclide
• une ligne est une longueur sans largeur;
• et une ligne droite est une ligne
également placée entre ses points.
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Concepts de base. Droite. Droite
ordonnée.
• Deux droites sur le plan peuvent être
sécantes (elles s’intersectent) ou
parallèles
• Une droite ordonnée est une droite
pour laquelle nous avons défini le
sens (direction)
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Concepts de base. Demi-droite.
• Une demi-droite est comme son
nom l’indique la moitié d’une droite, à
savoir l’ensemble des points d’une
droite à partir d'un point M de celleci.
• Par exemple la demi-droite [MN) a
pour origine M et passe par N (elle
passe par N et continue après N).
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Concepts de base. Segment.
• un segment (ou un segment de droite) est
un « morceau » de droite compris entre deux
points, les extrémités de ce segment.
• Plus formellement, si on se donne deux
points distincts A et B, le segment [AB] est
l'ensemble (ou lieu) des points qui
appartiennent à la droite passant par ces
deux points, et qui sont entre A et B (ces
derniers points sont inclus dans le segment).
On étend la définition précédente au cas où
les deux points A et B sont confondus ; le
segment [AA] se réduit alors au point A :
[AA] = {A}.
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Concepts de base. Segment.
• La longueur d’un segment est la
distance entre ses extrémités.
• Le milieu du segment est un point du
segment, équidistant de ses
extrémités.
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Concepts de base. Distance.
• La distance entre deux objets géométriques
est la plus petite distance entre deux
points, chacun appartenant à l’un de ces
objets
• La distance entre deux objets géométriques
non disjoints est égale à zéro
• Exemples: le cas de deux segments, un
point et une droite, un point et un segment
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Concepts de base. Angle.
• Un angle est la portion de plan comprise
entre deux demi-droites de même origine
• L’origine commune est le sommet de
l’angle
• Les deux demi-droites sont les côtés de
l’angle
• L’angle se mesure dans le sens antihoraire
(c’est-à-dire la mesure de l’angle dans le
sens horaire est négative)
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Concepts de base. Mesure d’un
angle en degrés.
• 1o est la mesure d’un angle au centre (d’un
cercle) interceptant le 1/360e de la
circonférence du cercle
• Un angle au centre qui intercepte le quart
de la circonférence a pour mesure 90o (un
angle droit). Deux demi droites (droites)
sont perpendiculaires si leur angle est
droit
• Un angle au centre qui intercepte la moitié
de la circonférence a pour mesure 180o (un
angle plat)
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Concepts de base. Mesure d’un
angle en radians.
• 1 rad (radian) est la mesure d’un
angle au centre interceptant sur la
circonférence un arc de longueur
égale au rayon du cercle
• Un angle plat a une mesure de p rad
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Concepts de base. Plan.
• En mathématiques, un plan est un objet
fondamental à deux dimensions.
• Intuitivement il peut être visualisé comme
une feuille d'épaisseur nulle qui s'étend à
l'infini.
• L'essentiel du travail fondamental en
géométrie et en trigonométrie s'effectue en
deux dimensions donc dans un plan.
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Concepts de base. Plan.
• Trois points distincts et non alignés;
• Une droite et un point n'appartenant
pas à cette droite;
• Deux droites non confondues et
sécantes;
• Deux droites non confondues et
parallèles;
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Concepts de base. Plan cartésien
• Dans le plan cartésien, les points sont définis à
l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes.
• Sur le plan cartésien il y a deux droites
ordonnées perpendiculaires appelées axes
(axe des abscisses - x et axe des ordonnées
y). Leur point commun est appelé l’origine
• Soit un points A dans le plan cartésien. On
appelle (xA,yA) les coordonnées du point A si xA
est la distance entre point A et l’axe des
ordonnées et yA est la distance entre point A et
l’axe des abscisses. On appelle xA l’abscisse et
yA l’ordonnée du point A.
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Concepts de base. Droite dans un
plan cartésien
• L’équation Ax+By+C=0 pour trois
constantes quelconques A, B, et C
désigne une droite dans un plan
cartésien
• Seulement les coordonnées
cartésiennes des points appartenants
à la droite respectent son équation
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