Analyse Numérique Problèmes Pratiques

Analyse Numérique
Problèmes Pratiques
Méthodes itératives

Ph. Leray Analyse Numérique 1
Introduction 1/2
Quel est le point commun entre :
la résolution d'un système linéaire
par Jacobi
par Gauss-Seidel
par relaxation
le calcul des valeurs propres
par la puissance itérée
la résolution d'un système non linéaire
par Newton
par Quasi-Newton

Ph. Leray Analyse Numérique 2
Introduction 2/2
Réponse = Méthodes itératives !
On construit une suite uk+1 = g(uk)qui converge
vers û la solution du problème
On peut étudier les propriétés "générales" de ces
méthodes :
convergence
taux de convergence
accélération de la convergence

Ph. Leray Analyse Numérique 3
On peut écrire les méthodes itératives sous la
forme :
A x = b avec A = M - N et M régulière
M uk+1 =N uk+ b uk+1 =M-1N uk+ M-1b
uk+1 =M-1(M-A) uk+ M-1b
uk+1 =(I - M-1A) uk+ M-1b
ûsolution de A x = b vérifie
û =(I - M-1A) û + M-1b
Convergence 1/3

Ph. Leray Analyse Numérique 4
Erreur à la kème itération :
ek= û - uk
ek+1 = (I - M-1A) uk+ M-1b-(I - M-1A) û - M-1b
ek+1 = (I - M-1A) ek = (I - M-1A)ke0
ek = Bke0avec B = (I - M-1A)
Ré-écriture de la suite :
uk+1 = B uk+ c avec c = M-1b
Convergence 2/3