La théorie du corps noir

Les débuts de la
théorie quantique
Chapitre 9
1
Les points essentiels
 Les limites de la physique classique
 L’électromagnétisme appliqué à des référentiels en mouvement
 Le comportement des particules se déplaçant à de grandes vitesses
 La notion de vitesse de la lumière mesurée par rapport à un référentiel absolu
(l’éther)
 La relativité restreinte
 La relativité générale
 La gravité et l’espace-temps
 La physique quantique
 Le spectre d’émission du corps noir
2
Les limites de la physique
classique
La physique classique qui explique le comportement des
systèmes physiques grâce à des modèles mécaniques à
l’échelle humaine (jusqu’à la fin du 19e siècle)
n’arrive pas à expliquer les éléments suivants:
1.
2.
3.
4.
5.
L’électromagnétisme appliqué à des référentiels en
mouvement;
Le comportement des particules se déplaçant à de
grandes vitesses;
La notion de vitesse de la lumière mesurée par rapport à
un référentiel absolu (l’éther);
Le spectre d’émission du corps noir;
Le modèle atomique.
3
L’électromagnétisme appliqué à des
référentiels en mouvement
Charge positive q en
mouvement animée d’une
vitesse u par rapport à un fil
immobile dans lequel circule un
courant I. Ici, la charge q subit
une force magnétique et aucune
force électrique.
4
Dans un système de référence lié
à la charge q (animé d’une vitesse
u), la charge n’est soumise à
aucune force magnétique. Les
charges positives et négatives ont
des vitesses différentes, ainsi la
charge est soumise à une force
électrique.
Le comportement des particules se
déplaçant à de grandes vitesses
m
5
mo
v2
1 2
c
La notion de vitesse de la lumière mesurée par
rapport à un référentiel absolu (l’éther)
Des durées différentes,
décalage des franges ?
Les bras de l’interféromètre PM1 et PM2 sont
respectivement parallèle et perpendiculaire au
mouvement de la Terre.
6
Aucun décalage observé. Le
bras parallèle au mouvement
de la Terre se contracte.
Addition relative des vitesses
La vitesse de la balle mesurée par7 un observateur au repos: 0,96c
La relativité restreinte
Pour expliquer les trois premiers points, Einstein émet deux
postulats:
1. Le principe de la relativité: toutes les lois de la physique
ont la même forme dans tous les référentiels d’inertie.
2. Le principe de la constance de la vitesse de la lumière: la
vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les
référentiels d’inertie. Elle ne dépend pas du mouvement de
la source ou de l’observateur.
Résultat important: E = Mc2
8
En étendant la relativité restreinte aux référentiels accélérés,
Einstein aboutit à la relativité générale qui donne une
compréhension de la gravitation en terme de courbure de
l’espace-temps.
Cette théorie explique l’orbite des planètes et satellites et est à la
base de la cosmologie moderne. Le Big Bang en découle
notamment.
Elle est cependant incapable d’expliquer le comportement des
trous noirs et de ce qui s’y déroule. Elle ne peut pas expliquer
les phénomènes subatomiques et est contrainte aux dimensions
les plus grandes.
9
Anomalie dans l’orbite de
Mercure
… et la planète Vulcain
10
La gravité et l’espace-temps
Einstein a réinterprété la gravitation comme une manifestation de la courbure de
l'espace-temps. Une masse, et plus généralement la présence d'énergie (E = mc2) courbe l'espace-temps qui l'environne en créant une sorte de "creux" en quatre
dimensions dans lequel "tombent" les masses qui s'en approchent.
11
La physique quantique (19001930)
La théorie quantique est née alors que les physiciens
voulaient expliquer les derniers points:
• Le spectre d’émission du corps noir
• Le modèle atomique
• L’effet photoélectrique
12
Particules vs Ondes
deuxième ronde
• Une particule est un objet que l’on peut localiser
en un point précis de l’espace. Une onde est une
déformation ou une perturbation qui se propage
dans un milieu; l’onde ne peut être localisée en
un point précis. Tout semble si simple ainsi,
nous avons soit une particule, soit une onde. Les
observations sur l’émission de radiation d’un
corps chauffé et sur l’effet photoélectrique
obligent toutefois à reconsidérer ces concepts
pourtant si bien délimités.
13
La théorie du corps noir
Section 9.1
Préambule
• La théorie du corps noir est l’un des plus vieux
problèmes de la physique théorique et il est à
l’origine de la physique quantique.
• On retrouve la théorie du corps noir aussi bien
lorsque l’on veut comprendre fondamentalement la
lumière et la matière que lorsqu’on étudie les étoiles,
les trous noirs et la cosmologie.
Deux questions simples
• Pourquoi lorsqu’on chauffe un objet, celui-ci émet-il de la
lumière ?
• Pourquoi la couleur de la lumière émise change-t-elle avec
la température ?
• C’est en découvrant les réponses à ces deux
questions que les physiciens ont franchit la distance
séparant la physique classique de la physique
quantique.
Le problème du corps noir
• Le problème du corps noir consiste à comprendre et
décrire mathématiquement ce qui se passe quand un
morceau de fer chauffé passe de la couleur rouge à la
couleur blanche, en émettant une quantité de
lumière de plus en plus importante.
Le défi des plus grands esprits
•
Le problème du corps noir a
défié les plus grands esprits,
de Kirchhoff à Hawkins en
passant par Planck et
Einstein. Il est à l’origine de
la théorie quantique, du
modèle atomique et des
particules élémentaires.
•
On le retrouve à l’échelle de
l’Univers entier avec le
rayonnement fossile laissé
lors de la création de
l’Univers observable.
À gauche Max Planck et à droite
Albert Einstein.
Contribution de Kirchhoff
En 1859, Kirchhoff montra que le
rayonnement émis par les objets qui
absorbent tout le rayonnement
incident ne dépend pas de la nature
de l’objet. Un tel objet est appelé corps
noir car à cause des températures
faibles, il est noir (il absorbe la
lumière incidente et son rayonnement
émis n’est pas visible).
Gustav Kirchhoff
19
Comment faire un corps noir
Kirchhoff a indiqué comment construire un corps noir. Il s’agit
de former une cavité dans un corps solide dont les parois sont
gardées à une température constante et uniforme T et de percer
un petit trou dans l’une de ses parois. L’ouverture est un corps
noir car la lumière qui entrera dans la cavité sera absorbée par
les parois de celle-ci. Le rayonnement qui sortira par
l’ouverture sera uniquement le rayonnement émis par le corps
noir.
20
Propriétés importantes du
rayonnement thermique
Les chercheurs du XIXe siècle découvrirent deux
propriétés importantes du rayonnement
thermique:
• À mesure que la température augmente,
l’intensité du rayonnement émis par un corps
augmente rapidement.
• Plus la température du corps est élevée, plus la
longueur d’onde associée au maximum de la
distribution du rayonnement est courte.
21
La loi de Stefan-Boltzmann
On peut alors écrire quantitativement le premier énoncé.
L’intensité totale du rayonnement I (la puissance émise à toute
les longueurs d’onde par unité de surface) émis par le corps
noir:
I  T
4
Où T est la température du corps noir, exprimée en
kelvin, et  est une constante appelée de StefanBoltzmann. La valeur recommandée est  = 5,670 x 108 W/m2.
22
La loi de Stefan-Boltzmann
L’autrichien Joseph Stefan a découvert
cette loi en 1879 à partir d’une série
d’expériences.
Quelques années plus tard, l’Autrichien
Ludwing Boltzmann l’a démontré de
façon théorique.
23
La loi du déplacement de Wien
Le deuxième énoncé peut
être remplacé par la
relation:
maxT  2,898  103 m  K
Où max est la longueur
d’onde pour laquelle
l’intensité du rayonnement
émis par le corps noir à une
température T est maximale.
24
Le pic du rayonnement solaire est situé à 500 nm environ.
Déterminez la température de surface de notre Soleil.
Réponse: 5,80 x 103 K
25
La température de la peau est voisine de 35 °C. Quelle est la
longueur d’onde du pic d’intensité du rayonnement émis par
la peau ?
Réponse: 9,41 mm
26
La surface d’une étoile n’est pas bien définie, contrairement à la
surface d’une planète comme la Terre. La plupart du rayonnement
émis est en équilibre thermique avec les gaz formant les couches
extérieures de l’étoile. Nous pouvons alors considérer les étoiles
comme des corps noirs. Le tableau ci-dessous indique la longueur
d’onde du pic de rayonnement pour trois étoiles.
Étoile
max (mm)
Couleur
Sirius
0,33
Bleue
Soleil
0,50
Jaune
Bételgeuse
0,83
Rouge
Déterminez la température de surface et l’intensité du
rayonnement émis pour ces trois étoiles.
27
Réponses:
Étoile
max (mm)
Couleur
Température
(K)
Intensité (W/m2)
Sirius
0,33
Bleue
8,8 x 103 K
3,4 x 108
Soleil
0,50
Jaune
5,8 x 103 K
6,4 x 107
Bételgeuse
0,83
Rouge
3,5 x 103 K
8,4 x 106
28
Expérience de Lummer et
Pringsheim
Entre 1897 et 1899, Lummer et
Pringsheim mesurèrent la
distribution d’énergie de la radiation
d’un corps noir. Ils dirigèrent la
radiation émanant d’un corps noir à
une température élevée vers un
prisme qui l’étalait; les intensités aux
diverses longueurs d’onde étaient
mesurées grâce à une pile sensible à
la chaleur.
29
Un corps noir
Trois corps noir vus de face : les pyromètres à étalonner
sont fixés sur une plaque de base qui peut être positionnée
avec précision selon les trois axes de l'espace
30
La radiance spectrale
Données expérimentales de la distribution
d’énergie du rayonnement d’un corps
• Si la température augmente, la quantité totale
d’énergie augmente.
• Illustrée par l’aire sous la courbe
• Lorsque la température augmente, le pic est décalé
vers des longueurs d’onde plus courtes.
Du point de vue classique, le rayonnement thermique résulte
de l’accélération des particules chargées situées près de la
surface du corps chauffé; ces particules émettent un
rayonnement, tout comme une antenne. Le spectre continu
du rayonnement émis par l’objet est lié à la distribution des
accélérations des charges électriques soumises à l’agitation
thermique. Vers la fin du 19e siècle, il devenait évident que
l’explication classique du rayonnement thermique n’était pas
satisfaisante, le problème fondamental consistait en effet à
expliquer la distribution spectrale du rayonnement émis par
un corps noir.
33
À la recherche de l’équation
de la radiance
La loi de Stefan-Boltzmann et la loi du déplacement de
Wien ne présentent pas la situation complète de la
distribution d’un corps noir. Il manque l’intensité du
rayonnement en fonction de la longueur d’onde. On définit
la radiance spectrale RT(,T), de telle sorte que la puissance
émise par unité de surface dans l’intervalle de  à  + D
pour un corps noir à une température T est RT(,T) d.
L’intensité I peut être calculée en intégrant RT(,T) sur
toutes les longueurs d’onde.

 
I   RT  ,T d 
0
34
Résumé des principaux résultats expérimentaux
concernant la radiation d’un corps noir
 La
radiation provenant de l’intérieur de la cavité est plus
intense que celle provenant de la paroi externe.
La radiance spectrale est identique pour tous les corps noirs à
même température peu importe le matériau dont il est fabriqué.
La position du maximum de la courbe de la radiation
spectrale change avec la température du corps noir; c’est la loi
du déplacement de Wien.
La radiation spectrale totale varie selon la quatrième
puissance de la température exprimée en Kelvin; c’est la loi de
Stefan-Boltzmann.
Loi du rayonnement de Wien
Wilhem Wien suggéra que l’oscillation des atomes constituant la
cavité expliquait l’émission de la radiation; l’énergie de vibration
des atomes provient du chauffage du corps noir.
Une expression de la radiance spectrale fut proposée
en 1896 par Wien:
R(,T )  A e
-5  B/ T
En septembre 1900, des mesures de rayonnement pour des
longueurs d’onde comprises entre 120 x 10-7 m et 180 x 10-7 m
s’écartaient de près de 50% de la loi de Wien (dans cet intervalle)
!
Loi de Wien
Radiance spectrale à T = 5 000 K
R(,T)
2.5E+12
2.0E+12
1.5E+12
Données
expérimentales
Loi de Wien
1.0E+12
5.0E+11
0.0E+00
5.0E-07
1.0E-06
1.5E-06
2.0E-06
2.5E-06
3.0E-06
3.5E-06
4.0E-06
Longueur d'onde (m)
37
0.0E+00
4.5E-06
La loi de Rayleigh-Jeans
• Mais en juin 1900, Lord
Rayleigh proposa une autre
expression qui concordait
mieux pour des grandes
longueurs d’onde.
R(,T )  CT 
John William Strutt, troisième baron
Rayleigh
38
-4
La catastrophe de l’ultraviolet
Radiance spectrale à T = 5 000 K
R(,T)
5.0E+13
4.5E+13
4.0E+13
•
La théorie classique n’expliquait
pas les données expérimentales.
•
Pour de grandes longueurs
d'onde, la loi de Rayleigh-Jeans
convenait.
•
Mais elle est totalement
inadéquate pour des courtes
longueurs d’onde (tend vers
l’infini).
•
Pour des très courtes longueurs
d’onde, l’observation indiquait
une énergie nulle.
•
Cette contradiction est appelée
« catastrophe ultraviolette ».
3.5E+13
Données
espérimentales
Loi de RaleighJeans
3.0E+13
2.5E+13
2.0E+13
1.5E+13
1.0E+13
5.0E+12
0.0E+00
1.0E-07
1.6E-06
3.1E-06
Longueur d'onde (m)
39
Max Planck
•
Depuis ses tous premiers
travaux en physique
théorique, Max Planck s’était
passionné pour la théorie de
la chaleur et il avait été l’un
des premiers à comprendre
clairement le second principe
de la thermodynamique. Ses
professeurs n’étaient autres
que Helmholtz et Kirchhoff,
il était donc bien préparé
pour s’attaquer au problème
du rayonnement thermique.
Max Planck (23 avril 1858 - 4 octobre 1947)
Idée géniale de Planck
41

Selon Planck, les
parois de la cavité se
comportent comme
des petits oscillateurs
harmoniques.

Les oscillateurs ne
pouvaient osciller
qu’avec une énergie
représentant un
multiple de hf
La constante de Planck
• La matière ne peut émettre l’énergie radiante que par
quantités finies proportionnelles à la fréquence.
• Le facteur de proportionnalité est une constante
universelle, ayant les dimensions d’une action
mécanique, la célèbre constante de Planck:
h = 6,626 x 10-34 J.s
Max Planck et les unités de la
physique
• Une belle idée de Planck fut de trouver des unités de
temps, de distance, de température et de masse, qui
soient en relation avec des caractéristiques
universelles.
• Trois constantes fondamentales servent de base à ces
unités: G, c et h.
• Le temps de Planck ≈ 10 -43 s.
• La longueur de Planck ≈ 10 -33 cm
Le mur de Planck
• En cosmologie, la température de Planck (1032
degrés), définie à partir des propriétés du cosmos,
intervient comme une limite. La physique moderne
est inapte à décrire ce qui se passerait dans la
matière portée à une telle température; le concept
même de la température perd tout sens.
• De là l’expression « le mur de Planck »: la borne
imposée dans notre démarche pour explorer
l’univers ancien.
La loi de Planck
• Pour expliquer la courbe de radiance spectrale d’un corps noir,
Planck a obtenu l’équation suivante:
A 5
R(  ,T ) 
e
B
T
1
Pour les faibles fréquences et les hautes températures, les échanges
énergétiques entre la matière et le rayonnement mettent en jeu un
très grand nombre de petits grains d’énergie: tout se passe comme
si ces échanges se faisait d’une façon continue (on retrouve la loi
de Rayleigh-Jeans).
L’idée de Planck représente une coupure dramatique avec la
physique classique qui permet toutes les valeurs d’énergie
pour un système physique. Un des fondements de la théorie
newtonienne est : « La nature ne présente pas de discontinuités ».
Ainsi, l’énergie serait discrète. Cependant, selon Planck,
ce n’est qu’un artifice mathématique temporaire…erreur!
Physique classique vs physique
quantique
L’interprétation d’Einstein
• Einstein, en 1906, postule
que chaque oscillateur
possède une énergie
quantifiée: nh où n est le
niveau d’énergie. Il parle ici
de quantité quantifiée, et
non plus seulement d’un
artifice mathématique.
• C’est la naissance du
photon et le début de la
quantification de
l’énergie…mais tous n’y
croient pas.
Le rayonnement fossile
• Dans le modèle du Big
bang chaud, les
photons dans l’univers
primordial étaient
continuellement crées,
absorbés ou annihilés
et réémis, l’univers
était un corps noir
quasi parfait.
Le spectre mesuré par WMAP.
Minuscules fluctuations spatiales du
rayonnement fossile (COBE)
Après soustraction des différentes composantes apparaissent enfin les
fluctuations de 0,001 % nécessaires à la genèse des galaxies.
Les principales équations
La loi du déplacement de Wien
hc
maxT 
 2,898  103 m  K
4,965k
La loi de Stefan-Boltzmann
2 5 k 4
4
I

T
15c 2 h3
La loi du rayonnement de Planck
R(  ,T ) 
2 c 2 h

5
1

e
hc
 KT
1