Le rayonnement de corps noir

Le rayonnement de corps noir
1. Définition:
Rayonnement émis par un milieu en équilibre thermodynamique.
Que signifie « équilibre thermodynamique » ? thermique (T), mécanique (P),
chimique
ETL
Un exemple (dans une certaine limite...) de corps noir : le Soleil
2. Obtention d'un corps noir.
Soit une enceinte fermée dans un thermostat à la température T. On la met à
l'équilibre thermodynamique, puis on perce une petite ouverture, de façon à
ne pas modifier l'équilibre. On regarde la luminance monochromatique qui
sort Lν. On s’aperçoit qu’elle ne dépend pas de la direction.
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Le rayonnement de corps noir
3. Lν ne dépend que de la température
T
T
Lν
L'ν
Filtre monochromatique
=> Lν = fonction universelle qui ne dépend que de T et de ν:
fonction de Kirchhoff
=> plus tard: Lν (T) = Bν (T) = fonction de Planck
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Le rayonnement de corps noir
4. absorptivité et émissivité:
a(x,T,ν): fraction de flux d’éclairement absorbé
e(x,T,ν): quotient de la luminance monochromatique à celle
d’un corps noir de même T
loi de Kirchhoff (1859): surface rayonnante diffuse et grise:
a(T)=e(T)
surfaces peintes en blanc: a petit, e grand: froides
tôle métallique: a grand, e faible: chaudes
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Thermodynamique du corps noir
On considère une enceinte de corps noir fermée par un piston (permettant
les échanges d'énergie)
1er Principe:
δQ = dU + P dV
2ème Principe:
δQ = T dS
[S = entropie du corps noir; U = wV avec w = énergie interne volumique du
corps noir]
L'équation d'état d'un corps noir peut se ramener à
P = 1/3 w
où P est la pression de radiation exercée par le rayonnement isotrope sur les
parois de l’enceinte
Or: w = w(T) car w = 4π/c J = 4π/c ∫ Bν(T) dν = 4π/c B(T)
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Thermodynamique du corps noir
On différentie la relation de l'entropie, en utilisant les 1er et 2ème Principes,
puis on écrit que dS est une différentielle exacte
=> w(T) = a T4
Or w(T) = 4π/c B(T), donc B(T)= ac/4π T4
et l'exitance (ou « flux » total émis par le corps noir) s'écrit
F = π B = ac/4 T4 = σ T4 : Loi de Stefan (1879) - Boltzmann (1884)
Les constantes a et σ sont déterminées par la thermodynamique statistique
quantique.
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Le spectre de Planck
La distribution spectrale d'énergie du corps noir est déterminée par la
thermodynamique statistique, en considérant un gaz de photons dans
une enceinte fermée à l'équilibre thermodynamique
La luminance spectrale (ou intensité spécifique) Bν(T) est liée au « nombre
d'occupation » de chaque état quantique du système Nν par
avec
Nν est donné par la statistique de Bose-Einstein dans le cas de particules
quantiques de spin entier (S=1 pour les photons).
Finalement on a la loi de Planck (1901):
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Propriétés de la fonction de Planck
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Approximations

Loi de Rayleigh (1900) - Jeans (1905)
Valable lorsque hν << kT:
Indépendant de h. Correspond à l'expression « classique », loi valable à
basse fréquence mais qui donne une intégrale sur les fréquences
divergente (catastrophe ultraviolette)

Loi de Wien (1896)
Valable lorsque hν >> kT:
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Propriétés de la fonction de Planck

Loi de déplacement de Wien (1893): fréquence du rayonnement où la
fonction de Planck est maximale pour une température donnée
νmax = 58.8 T (GHz/K)
Idem pour la fonction Bλ (T):
λmax T = 2.90 (mm K)
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Propriétés de la fonction de Planck
Autre propriété: 2 courbes de Planck à 2 températures différentes ne se
coupent jamais.
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Propriétés de la fonction de Planck
Températures caractéristiques liées à la fonction de Planck
Température de brillance: Pour une intensité spécifique quelconque Iν, on
associe la température du corps noir qui possède la même brillance à la
fréquence ν.
Définition implicite:
Iν = Bν (Tb)
Très utilisé en radio-astronomie (approx. Rayleigh-Jeans),
où Iν = 2ν2/c2 kTb [relation de proportionalité]
Température effective: Température du corps noir qui émet le même flux
total que la source considérée: F = σ Teff4
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Températures et couleurs
Puissance totale rayonnée:
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Quelques exemples de corps noirs
astrophysiques
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Quelques exemples de corps noirs
astrophysiques
Spectre du fond diffus cosmologique
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