Multidiffusion en milieu aléatoire Francine Luppé LOMC-GOA Jean-Marc Conoir IJLRDA Diffuseur On traite de la propagation des ondes en régime linéaire 1 Régime de localisation forte (localisation d’Anderson) 1958, Anderson prédit qu’un désordre suffisamment fort peut bloquer la propagation des électrons dans un métal et transformer un conducteur en un isolant électrique. Régime diffusif (cône de rétro-diffusion cohérente) r kinc r k s (q) q Régime propagatif Onde cohérente Direction de propagation 2 Formalisme basé sur les fonctions de Green (équation de DYSON & diagrammes de Feynman) Bourret (1962), Furutsu (1963), Tatarsky (1964), Frish (1965), … Formalisme basé sur les équations de la diffusion multiple (diffuseurs localisés) Foldy (1945), Lax (1951), Waterman & Truell (1961), Twersky (1962), Fikioris & Waterman (1964), Lloyd & Berry (1967),… 3 Plan Milieu hôte = fluide Les équations de la diffusion multiple Le champ moyen se propage Le nombre d ’onde de l ’onde cohérente = nombre d ’onde effectif ? Milieu hôte = solide élastique / poro-élastique ? Le milieu effectif = milieu équivalent du point de vue de l ’ acoustique et du champ cohérent 4 Les équations de la diffusion multiple r r y (r ) = y inc (r ) + N r r y S ( r ; rj ) å r r r y (r ; rj ) = y inc (r ) + j r r j= 1 E y inc diffuseur rj r N å r r y S (r ; rk ) j k¹ j k¹ j r r r E r r y S ( r ; rj ) = T ( r j ) y ( r ; r j ) Relation de fermeture 5 r r y (r ) = y inc (r ) + N r E r r T ( rj ) y ( r ; rj ) å j= 1 r E r r y (r ; rj ) = y inc (r ) + N å r E r r T (rk )y (r ; rk ) k¹ j Ne sachant pas résoudre les équations qui gouvernent le champ, on cherche l’équation qui gouverne le champ moyen (en espérant que ce soit plus simple) r r r r r r y (r ) = ò y (r , r1 ,..., rN ) p(r1,..., rN )dr1...drN r r y (r rj ) = r r r r r r ò y (r , r1,..., rN ) p (r1,..'.., rN rj )dr1..'..drN 6 r r y (r ) = y inc (r ) + N å r E r r T ( rj ) y ( r ; rj ) j= 1 r r r r r r p (r1 ,..., rN ) = p (r1 ,..'.., rN rj ) p(rj ) r r y (r ) = y inc (r ) + r r Np(rj ) = n(rj ) r r E r r ò T (rj ) y (r rj ) n(rj )drj r E r r y (r ; rj ) = y inc (r ) + N å r E r r T (rk )y (r ; rk ) k¹ j r r r r r r r r r p (r1 ,..'.., rN rj ) = p (r1 ,..''.., rN rj , rk ) p(rj rk ) r r r y (r rj ) = y inc (r ) + E r r r E r r r ò T (rk ) y (r rj , rk ) n(rj rk )drk 7 APPROXIMATION DE FOLDY r r y (r rj ) ; r y (rj ) E r r y (r ) = y inc (r ) + r r r ò T (rj ) y (rj ) n(rj )drj APPROXIMATION QUASI CRISTALLINE (QCA) E r r r E r r y (r rj , rk ) ; y (r rk ) r r r y (r rj ) = y inc (r ) + E r r y (r ) = y inc (r ) + r r r E r r ò T (rk ) y (r rk ) n(rj rk )drk r r E r r ò T (rj ) y (r rj ) n(rj )drj 8 Formule de Foldy (1945) r r y (r ) = y inc (r ) + r r r ò T (rj ) y (rj ) n(rj )drj r r r r r T (rj ) y (rj ) = g (k ) y (rj ) G0 (r - rs ) r n(rj ) = n0 r éÑ 2 + k 2 ùG (rr - rr ) = - d(rr - rr ) s s êë ú û 0 r2 r2 r r 2 éÑ + k ù y (r ) = n g (k ) y (r ) éÑ + k 2 ùG (rr - rr )dr 0 j j ò j êë êë ú ú û û r éÑ 2 + k 2 )ù y (rr ) = - n g (k ) y (rr ) 0 êë ú û k 2 eff 2 = k + n0 g (k ) r éÑ 2 + k 2 ù y (rr ) = 0 eff ú êë û 9 Hypothèse de champ lointain kr ® ¥ C’est une hypothèse qui revient implicitement à supposer que la concentration des diffuseurs est « faible » fS= å i nTn H n(1) (kr )einq n ; 2 i ( kr- p 4) inq ¥ e T e = G å n 0 ( kr ) f ( k , q) p kr n Fonction de forme en champ lointain 10 Les formules célèbres f (0) f (p ) ISA: Independent Scattering Approximation 2 ækeff çç ççè k ö n0 ÷ ÷ = 1- 4i 2 f (0) ÷ ÷ k ø Waterman & Truell (1961) ækeff çç çè k 2 2 ö æ 2n0 ö ÷ çç1 + 2 f (0)÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ ç ø ø è ik 2 æ2n0 ö çç 2 f (p )÷ ÷ çè ik ø÷ Fikioris & Waterman (1964) : hole correction a r r n(rj rk ) = n0 r r n(rj rk ) = 0 D(keff)=0 r rj r rj - r rk > b b 2 a r rk £ b Rayon d ’exclusion 11 Linton & Martin (2005) // Lloyd & Berry (1967) ækeff çç ççè k 2 2 ö n n 8 ÷ 0 0 ÷ = 1 4 i f ( 0 ) + ÷ 2 4 ÷ k p k ø p æq ö d 2 ÷ ç c ot g f ( q ) ò ççè2 ø÷÷d q[ ] d q 0 n0 1 2 k b0 n0 a 2 1 et dans un solide ? dans un milieu poro-élastique ? Chaque onde cohérente obéit-elle à sa propre équation de dispersion ? f LT (0) = fTL (p ) f LT (p ) = f LT (p ) L=1,2 f LT (q) ¹ 0 , f12 (q)¹ 0 fTL (q) ¹ 0 , f 21 (q)¹ 0 12 Yang et Mal 1994 (solide) ækeff çç çè k WT 2 2 ö æ 2n0 ö ÷ çç1 + 2 f (0)÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ ç ø ø è ik 2 æ2n0 ö çç 2 f (p )÷ ÷ èç ik ø÷ Varadan, Ma, Varadan 1986 (solide) FW Couplage , sauf en basse fréquence Luppé, Conoir, Robert 2008 (poro-élastique) Tw=WT Onde T : pas de couplage Ondes rapide et lente couplées Conoir, Norris 2009 (solide) , FW, b tend vers 0 LM Couplage ondes L et T 13 Milieu effectif en moyenne keff complexe ? eff , ceff keff keff2 2 n n 2 0 0 k 1 4if 0 2 8J 0 4 k k Fluide visqueux eff , eff ? Mode acoustique Mode rotationnel 2 1 2 Ka 2 eff ceff 1 i eff ce2ff 14 1- Coefficient de réflexion à l ’interface Milieu aléatoire fluide parfait / Fluide visqueux effectif 2- Nombre d ’onde du mode acoustique 3- ceff = c0 (fluide hôte) eff , eff dépendent de la fréquence et de l ’angle d ’incidence sauf (très) basse fréquence (ka<1) 15 ar a Chekroun, Le Marrec, Lombard, Piraux, Abraham (2009) a=0 L (a=cte) L; 2 ? L Z avec k ? n0 ?? (ka )?? + n0 grand, + la cohérence est « rapide » ?+ il y a de diffuseurs par longueur d ’onde, + la cohérence est « rapide »? 16 Fikioris & Waterman, Linton & Martin Lµ a kL < < 1 L kL < < 1 Û ka < < 1 FW+LM+Chekroun et al. ka ?? L µ ?? n0 Û ka < < n0 <1 2 k 17 Le calcul du coefficient de réflexion à l ’interface ?? ?? n ’est valide que si ka <<1 , ka 1 eff 2 n0 n02 1 2i 2 f 0 f 2 4 f 0 f k k c2 eff 4 n0 n02 f 0 2 i 4 k k f 0 f 2 2 6 f 0 f 18 Nombre d ’onde effectif Fikioris et Waterman pour poro-élastique b tend vers 0 (Linton et Martin) couplage avec l ’onde T (id solide) Milieu effectif Et si ka n ’est pas <<1 ???? Etudier le milieu infini, relation déplacement /contrainte Solide et poro-élastique 19