Rappels de logique des prédicats du 1er ordre

Rappels de logique des prédicats
du 1er ordre
G. Falquet
Langage
• Vocabulaire : symboles de variables, constantes,
fonctions, prédicats.
– arité des fonctions et prédicats
• parenthèses
• connecteurs logiques: ¬    
• quantificateurs: $, "
Grammaire
terme --> constante | variable
terme --> fonction ( terme, ... )
atome --> prédicat ( terme, ... )
littéral --> atome | ¬atome
formule --> atome | f. k f.
formule --> " var. f. | $ var. f.
Sémantique
Interprétation I d’un vocabulaire W
• domaine D
• pour chaque constante c de W, cI de D
• pour chaque symbole de fonction n-aire f,
fonction fI de Dn dans D
• pour chaque symbole de prédicat n-aire P,
relation PI sur Dn
Interprétation des formules
• assigner des valeurs de D aux variables libres
• f(t1, …, tn)I = fI(t1I, …, tnI)
• P(t1, …, tn)I = vrai ssi (t1I, …, tnI) dans PI
"x w(x) I = vrai
ssi w(x)[x = d] I = vrai pour tout d de D
$x w(x) I = vrai
ssi w(x)[x = d] I = vrai pour au moins un d de D
Modèle
Soit F = {w1, …, wn} un ensemble de formules fermées,
un modèle de F est une interprétation I telle que w1I =
vrai , …, wnI = vrai.
F est dit satisfaisable s’il existe au moins un modèle de
F.
S’il n’existe pas de modèle de F on dit que F est
inconsistant.
Exemple
F = {P(a, b), ¬ $y P(a, y) }
est inconsistant
Calculabilité (1)
• Problème: prouver la satisfaisabilité de F
• Trouver un modèle
• S'il n'y a pas de variables ni de fonctions (logique des
propositions)
– algorithme:
• énumérer toutes les interprétations
• vérifier si c'est un modèle de F
– on ne peut faire mieux (NP-complet)
Théorie logique du 1er ordre
• Approche syntaxique
• Axiomes
• Règles d'inférence
• But: produire des théorèmes qui sont "vrais"
c-à-d conséquences logiques des axiomes
Axiomes (schémas)
• v  (w  v)
• (v  (w  u))  ((v  w)  (v  u))
• (¬ w  ¬ v)  ((¬ w  v)  w)
"x w  w(t/x)
où t est un terme qui est “librement substituable pour
x dans w”
("x (v  w))  (v  "x w)
si v ne contient aucun occurrence libre de x.
Règles
• Modus ponens
– u  v, u --> v
• Généralisation
– u --> "x u
Bonnes propriétés
La théorie est
• valide (sound), tout théorème déduit à l’aide des
règles est une tautologie (valide);
• consistante, il n’y a pas de formule w telle que w et
¬ w;
• complète, toute tautologie est un théorème;
• on a un théorème de déduction.
si u --> v alors --> (u  v)
sous quelques conditions
Théories "pratiques"
• Remplacer les deux règles MP et GEN
par des règles "plus efficaces"
– p.ex. principe de résolution de Robinson
• Utiliser des équivalences
– u  v == ¬u  v, etc.
– normaliser les formules
Calculabilité (2)
• Il n'y a pas d'algorithme de test de satisfaisabilité
• On peut appliquer les règles d'inférence mais on ne
peut prédire l'arrêt
• L'ensemble des formules fermées non satisfaisable
est récursivement énumérable mais pas récursif
– il y a un algorithme qui répond "non sat." ou tourne
indéfiniment, c'est tout ce qu'on peut faire