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Algorithmes génétiques en optimisation combinatoire Par Pascal Rebreyend LIP PLAN • • • • • • Introduction Les algorithmes génétiques L’ordonnancement Le placement Les réseaux cellulaires Conclusion jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 2 Introduction • Problèmes de décision / d’optimisation • Problèmes combinatoires : – trouver la meilleure (une bonne) solution parmi un ensemble de solutions vaste: • voyageur de commerce • ordonnancement • placement • ... jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 3 Algorithmes combinatoires • Méthodes exactes – séparation - évaluation, ... • Heuristiques et méta-heuristiques – – – – – – heuristiques gloutonnes, de liste recuit simulé tabou génétique colonies de fourmis algorithmes divers jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 4 PLAN • • • • • • Introduction Les algorithmes génétiques L’ordonnancement Le placement Les réseaux cellulaires Conclusion jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 5 Algorithmes génétiques • Théorie de l’évolution de Darwin • [Holland75], [Goldberg89] jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 6 Utilisation • On doit être capable de : – – – – générer aléatoirement une solution croiser deux solutions modifier une solution quantifier la qualité d’une solution (ou comparer deux solutions) Très peu de connaissances du problème jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 7 Structure Populations: P0, P1 Individus: P01,…,P0n Pour 1 i n P0i solution aléatoire Tant que fin non décidée Pour 1 i < n/2, choisir deux individus P0a et P0b croisement (P0a, P0b) suivant probabilité p Pour 1 i n , mutation (P0i ) suivant probabilité p P1 sélection(P0) P0 P1 jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 8 La sélection • Favorise les meilleurs individus • Par tournoi ou par roulette biaisée: – extraction de n individus parmi n par copie multiple ou suppression jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 9 La représentation • Un individu une solution • Très importante pour l’efficacité • Généralement, sous forme de chaînes jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 10 Le croisement • But: générer un individu réunissant des caractéristiques de chacun de ses parents. • Exemple: Le croisement à un point dans le cas de chaînes: jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 11 La mutation • Introduit un changement dans le chromosome • But: diversifier la population • Exemples: – échange de deux nœuds – modification d’un nœud jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 12 Algorithmes hybrides • Les algorithmes génétiques sont lents Intégration d’une heuristique • Deux types d’algorithmes hybrides: – à représentation directe • modification du croisement et/ou de la mutation – à représentation indirecte • modification de la fonction de santé et de la représentation jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 13 Conclusion • Algorithmes intéressants • Parallélisme – classique – techniques des îles jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 14 PLAN • • • • • • Introduction Les algorithmes génétiques L’ordonnancement Le placement Les réseaux cellulaires Conclusion jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 15 L ’ordonnancement • Données : – Un graphe de tâche acyclique étiqueté – Un ordinateur parallèle • BUT: – Minimiser le temps d’exécution jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 16 Un exemple 2 T1 1 2 2 T2 P1 T3 4 1 1 P1 2 P2 T4 T1 T3 P2 1 T5 1 jeudi 14 janvier 1998 T4 T5 T2 temps Algorithmes génétiques hybrides 17 La représentation • Non universelle • La plus utilisée, la plus simple: – une chaîne par processeur P1 T1 T3 P2 T2 T5 jeudi 14 janvier 1998 T4 Algorithmes génétiques hybrides 18 Le croisement hybride • Utilisé par l’algorithme à représentation directe (FSG) • Trois étapes: – création du graphe augmenté – coupure – recombinaison jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 19 Création du graphe augmenté • Associé à un chromosome/solution T1 T2 T1 T4 T3 T5 T4 T2 jeudi 14 janvier 1998 T3 T5 Algorithmes génétiques hybrides 20 La coupure Individu a T1 T2 T3 T1 T3 T2 T5 T4 Individu b T4 T1 T2 T3 T4 T5 T5 jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 21 La recombinaison • On complète chaque chromosome par une heuristique gloutonne avec, comme graphe de dépendance, le graphe augmenté de l’autre parent. jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 22 L ’algorithme à représentation indirecte • Basé sur une heuristique de liste • Partie génétique: – croisement 1 point, 2 points, ou de Ferland – mutation: échange d’une séquence – sélection inchangée jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 23 Le croisement de Ferland parent a 4 8 2 1 5 7 6 3 parent b 2 3 8 7 6 4 5 1 choix 1 0 1 1 0 1 0 1 fils a 4 8- 2 1 6- 7 5- 3 fils b 2 5- 8 7 6- 4 3- 1 jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 24 Résultats Heuristique gloutonne classique de liste Ecart moyen 5,85 10,00 algorithme génétique direct indirect 6,37 3,05 • Jeu de tests: 31 graphes dont 24 représentent des programmes courants (Andes-Synth), de 90 à 1482 tâches. • Pour chaque algorithme, 2 heures de calculs jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 25 Conclusion • Approche indirecte plus performante • Approche directe: coût important de la coupure jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 26 PLAN • • • • • • Introduction Les algorithmes génétiques L’ordonnancement Le placement Les réseaux cellulaires Conclusion jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 27 Le placement • Problèmes liés à la conception de circuits électroniques • Buts: – minimiser la place occupée – minimiser la longueur des connexions jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 28 Les trois familles de placement • Portes logiques • cellules standards • cellules diverses jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 29 Modèle • Cellules diverses (rectangulaires) • Plaquette: – dimension finie ou infinie – composée de rectangles • But: Minimiser la longueur des connexions jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 30 La distance • Distance de Manhattan entre les deux sommets opposés du rectangle englobant D x y jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 31 Une heuristique de liste • Construction pas-à-pas de la solution • A chaque étape, placement en minimisant la fonction objectif • Maintient de la liste des emplacements libres (de formes rectangulaires) • Indépendance de l’optimisation en x et en y jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 32 Algorithmes génétiques hybrides • A représentation indirecte (AGI) • A représentation directe (AGD) jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 33 Le croisement hybride 3 1 4 2 1 4 3 2 Rajout Suppression Sélection desbarycentre dcellules des ’unecomposants fraction manquantes non composants par sélectionnés l’heuristique de liste Calcul du de cesdes composants (ordre par rapport au barycentre de l ’autre parent) jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 34 Résultats AGD AGI heuristique 2 heures 1 itération Ecart moyen 0,12 4,84 9,18 32,03 Pire écart 1,08 17,1 23,4 84,2 • Problèmes de 10 à 100 composants • Limitations dues à l’heuristique pour AGI • Routage des connexions non effectué jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 35 PLAN • • • • • • Introduction Les algorithmes génétiques L’ordonnancement Le placement Les réseaux cellulaires Conclusion jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 36 Les réseaux cellulaires • Très utilisés (GSM,…) • Critère: couverture • Un mobile une communication • Critère: saturation jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 37 Le modèle • Notion de cellule: Zone où le signal est exploitable (zone de couverture). • Zone d’interférence: Zone où le signal perturbe tout autre signal de même fréquence. Graphe de recouvrement Graphe d ’interférences jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 38 Les données • Le modèle numérique de terrain: relief simulation • La répartition de la demande jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 39 Méthodes en deux passes 1 Construction du réseau - placement des émetteurs - extraction d’un réseau 2 Allocation des fréquences jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 40 Extraction du réseau • Utilisation de la notion de stable maximum/maximal • Heuristiques: – sommet de plus faible degré – sommet de plus fort degré • Algorithme génétique jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 41 Allocation de fréquences • On dispose de la demande • Revient à effectuer un multi-coloriage sous contraintes • Adaptation de l’algorithme aléatoire de Petford-Welsh jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 42 Remarques • Absence d’optimisation globale, de compromis entre la couverture et les risques de saturation • Comment mesurer la qualité d’une solution ? jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 43 Notre modélisation • Mesurer les faiblesses du réseau: –non couverture –saturation On évalue le taux d’échecs jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 44 La fonction objectif • Notion d ’intercellule: zone de couverture d ’un ensemble donné d ’émetteurs Partition de la surface 7 nombre de fre quences obtenues Pf ( BTS ) B quences 4 2 nombre de fre demande es 1 6 f ( ICi )A (1 MaxBTS IC i ( pf ( BTS IC ))) * pop( ICi ) n s i 1 5 3 C f ( ICi ) couˆt BTS * nbBTS jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 45 Une heuristique de liste en une passe • Algorithme de liste • Fonctionnement: – Pour chaque BTS, allocation d’autant de fréquences que possible. – Arrêt dès que la fonction de coût croît. jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 46 Un algorithme génétique hybride • Utilisation d’un algorithme génétique à représentation indirecte • Représentation: une chaîne • Croisement: Ferland • Mutation: échange de deux éléments jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 47 Résultats heuristique problème 40 000 1 itération itérations uniforme 106 943 56 519 ville 21 119 6 703 génétique 32 327 903 • Intérêt du génétique • Futur : – modification au cours du temps – proposition de localisation d’émetteurs jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 48 PLAN • • • • • • Introduction Les algorithmes génétiques L’ordonnancement Le placement Les réseaux cellulaires Conclusion jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 49 Conclusion • Algorithmes hybrides efficaces • Représentation directe / indirecte ? – Représentation indirecte limitée par l’heuristique mais plus facile à mettre en œuvre • Importance de la modélisation – compromis fidélité / simplicité jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 50 Futur • Caractérisation des problèmes adaptées à une méthode • Raffinements-extensions des méthodes présentées • Algorithmes d’équipes • Parallélisme jeudi 14 janvier 1998 Algorithmes génétiques hybrides 51
