Chapitre 3 Régimes transitoires I – Condensateurs – Le dipôle RC. II – Inductances – Le dipôle RL. III – Le dipôle LC . IV – Le dipôle RLC . 1 chapitre 3 Régimes quasi stationnaires: définitions Définition: « régime quasi stationnaire » Quand l’intensité dans un circuit varie relativement lentement, on utilise l’approximation des régimes dits « quasi stationnaires » ou « lentement variables », valable pour des fréquences allant jusqu’à plusieurs MHz : On ne tient pas compte du temps de propagation à l'intérieur du circuit. Pour des fréquences plus grandes (quelques GHz) on doit tenir compte du temps de propagation du signal entre les différents points du circuit. Le phénomène de propagation dans le circuit est négligeable si la longueur du circuit est très inférieure à cT. (c = 30 cm/ns, T = période). Par exemple pour un ordinateur 2GHz, cT=15cm. on ne peut pas utiliser l'approximation quasi stationnaire, il faut tenir compte du temps de propagation des signaux entre les différents éléments du circuit. 2 chapitre 3 Régimes quasi stationnaires: définitions Continuité : u(t) la tension u(t) ne peut présenter de discontinuité jamais Physiquement impossible Situation physiquement possible t 3 1- Condensateurs, Le dipôle RC q(t) = C u(t) dq i dt 4 chapitre 3 1- Condensateurs: définitions A i(t) Armatures portant les charges électriques Charge et tension en régime continu: U ne varie pas, Q est constant, i = 0 (=isolant) Q U = VA VB = C Q = C.U +++++++ dq i dt q(t) diélectrique = isolant Charge et tension en B régime variable: i est différent de 0 mais valeur moyenne de i = zéro q(t) u(t) = VA-VB = C q(t) = C.u(t) 5 chapitre 3 1- Condensateurs: définitions dans ce cas i apporte des charges positives Les électrons sont chargés négativement. A Les charges électriques sont localisées à la surface des conducteurs L'énergie est localisée B dans le diélectrique q augmente dq/dt est i(t) positif électrode chargée positivement = q(t) manque d'électrons. +++++++ U diélectrique électrode chargée négativement = = isolant excès d'électrons. Orientation du courant = sens de déplacement des charges positives 6 1- Condensateurs: Orientation et signes chapitre 3 i(t) i(t) ++++++ u(t) Charge du condensateur: Convention récepteur q i i (t ) C dq dt du ( t ) dt ++++++ u(t) Décharge du condensateur: Convention générateur q i dq dt du ( t ) i (t ) C dt 7 1- Le dipôle RC: Charge du condensateur Alimentation par source de tension parfaite chapitre 3 R k U i(t) q(t) R.i u(t) C à l'instant t=0 le condensateur est déchargé u(0)=0, et q(0)=0. on ferme l'interrupteur k et le courant commence à passer. Analyse du circuit: Le circuit ne comporte qu'une seule maille. U = R.i + u(t). Dans ce cas le condensateur est le récepteur, (charge du condensateur). u (t ) q (t ) C et i (t ) dq dt 8 1- Le dipôle RC: Charge du condensateur chapitre 3 R i(t) Mise en équation: q(t) U R.i u(t) C U = R.i(t) + u(t). q (t ) U = R.i(t) + C Nous avons trois variables: u(t), i(t), q(t) On exprime tout en fonction de l'une (au choix) de ces variables. dq On dérive par rapport à t et on tient compte de i dt di i l'équation devient: R 0 dt C on écrit cette équation différentielle sous la forme: di dt i RC 9 1- Le dipôle RC: Charge du condensateur chapitre 3 R U i(t) Résolution de cette équation différentielle: q(t) di R.i u(t) C dt i di RC i RC t = 0 i(0) = i0 ln( i ) i(t) dt t ln( i 0 ) RC i0 = i(0) U R U i (t ) R e t RC t=0 t C'est donc bien un courant transitoire, qui tend rapidement vers zéro après la fermeture du circuit. 10 1- Le dipôle RC: Charge du condensateur chapitre 3 R i(t) q(t) R.i U u(t) u C La tension u(t) = U - R.i u (t ) U 1 e t RC temps 11 1- Le dipôle RC: Charge du condensateur chapitre 3 Etude de la fonction du pente à l'origine: dt (t 0) t RC u (t ) U 1 e U Asymptote: RC quand t , u(t) U u(t) U RC t u(t ) U 1 e Unités: en seconde, R en ohm et C en farad temps 12 1- Le dipôle RC: Aspect énergétique chapitre 3 Comment évolue l’énergie au cours d’un transitoire de charge de condensateur ? Puissance p(t) = U.i(t) , Energie dW = U.i.dt q=Cu, ce qui donne dq=Cdu et d'autre part, dq=i.dt. énergie fournie par le générateur Q U .i.d t U d q U .Q C U 0 énergie stockée par WE= u.i.d t le condensateur 0 énergie perdue par effet Joule dans la résistance 2 0 Q U 1 2 u d q C u . d u C U 2 0 0 1 2 R.i .d t u i.d t u.d q C u.d u 2 C U 0 2 13 1- Le dipôle RC: Décharge du condensateur chapitre 3 i(t) q(t) C k u(t) R.i R à l'instant t=0 le condensateur est chargé u(0)0, il porte la charge q(0)=C.u(0) on ferme l'interrupteur k et le courant commence à passer. Analyse du circuit: Le circuit ne comporte qu'une seule boucle maille. u(t) = R.i. Dans ce cas le condensateur est le générateur, (décharge du condensateur). u (t ) q (t ) C et i (t ) dq dt 14 1- Le dipôle RC: Décharge du condensateur chapitre 3 i(t) Mise en équation: q(t) C u(t) = Ri(t) R.i u(t) R q (t ) = R.i(t) C Cette fois choisissons u(t). i (t ) dq u (t ) R dt On écrit cette équation sous la forme: dq RC du dt dt du u dt RC Bien remarquer que nous pouvons tout aussi bien choisir d'orienter i dans le sens inverse inverse. cela revient à changer l'orientation de i : changer i en -i donc u(t)=-R.i(t) et i=+dq/dt . On obtient donc le même résultat. 15 1- Le dipôle RC: Décharge du condensateur chapitre 3 i(t) Résolution de cette équation différentielle: du q(t) C R.i u(t) R dt u du RC u dt t = 0 u(0) = u0 ln( u ) t RC ln( u 0 ) RC u(t ) u 0 e u(t) u(0) = u0 t=0 t RC t 16 2-Inductances, Le dipôle RL di u r.i L dt 17 chapitre 3 2- Inductances Une bobine est constitué par l'enroulement d'une grande longueur de fil conducteur . Un noyau de matériau magnétique est parfois placé à l'intérieur. Considérons une bobine d'inductance L orientée en convention récepteur.Une bobine présente toujours une résistance interne r. Relation intensité - tension: di u r.i L dt i u L.di/dt r.i En régime continu, i = cte donc L.di/dt = 0 ( = fil conducteur) i(t) Relations de continuité: Le courant i ne peut présenter de discontinuité, la tension ne peut être infinie. 18 t chapitre 3 2- Le dipôle RL: évolution temporelle Dipôle RL série: Alimentation par une source de tension parfaite. évolution temporelle du courant R est la résistance totale du circuit di U R.i L dt à l'instant t=0, on ferme l'interrupteur k et le courant commence à passer. i(0)=0 . k U L.di/dt i R.i U i(t ) 1 e R R t L 19 2- Le dipôle RL: évolution temporelle chapitre 3 U i(t ) 1 e R pente à l'origine: di U dt (t 0) L R t L Asymptote: en régime permanent i(t) U/R i L R t U i(t ) 1 e R temps Unités: en seconde, R en ohm () et L en henry (H) 20 2- Le dipôle RL: aspect énergétique chapitre 3 Comment évolue l'énergie au cours d'un transitoire d'établissement du courant dans une inductance? k U L.di/dt i R.i di dt di p(t ) U .i ( Ri L ).i dt dW p.dt U .idt Ri 2dt L.i.di U Ri L i varie de 0 à I dWL L.i.di iI 1 2 WL L.idi LI 2 i 0 énergie fournie par la source effet Joule 1 2 l'énergie stockée dans l'inductance est LI 2 énergie stockée dans l'inductance 21 3- Le dipôle LC LC2 = 1 d2 u u(t)=LC 2 dt d2i i(t)=LC 2 dt 22 3- Le dipôle LC: chapitre 3 i(t) k u(t) C L.di/dt R.i Oscillations libres à l'instant t=0 le condensateur est chargé u(0)=U0. on ferme l'interrupteur k et le courant commence à passer. Analyse du circuit et mise en équation: u = + L di/dt q=C.u Le condensateur se décharge i = dq/dt i = C du/dt donc u(t ) LC d 2u dt 2 De même en éliminant u on obtient i (t ) LC d 2i dt 2 23 *3 3- Le dipôle LC: chapitre 3 i(t) k u(t) C L.di/dt R.i Oscillations libres Solution de cette équation différentielle: d 2u u(t ) LC 2 dt qui s'écrit aussi u = LC u" On vérifie que u = A cos (t + ) est solution de cette équation du/dt = u' = A sin (t + ) ; d2u/dt2 = u"= A2 cos (t + ) ; on reporte u et u" dans l'équation différentielle ce qui donne: LC2 = 1 U est solution de cette équation pour tout A et . La solution générale de cette équation peut s'écrire : 1 u (t ) A.cos( t ) LC 24 3- Le dipôle LC: chapitre 3 i(t) k u(t) C L.di/dt R.i Oscillations libres Les conditions initiales à l'instant t=0 le condensateur est chargé u(0)=U0. et i(0)=0 Déphasage: i est en retard de/2 par rapport u u (t ) A.cos( t ) i(t) = C du/dt = + CA sin (t + ) pour t=0 i(0)=0 donc sin() = 0 donc = 0 (+ k) u(t) u (t ) A.cos( t ) i(t) à l'instant t = 0 u(0) = U0 u (t ) U 0.cos( t ) C i(t ) U 0.sin(t ) L t 25 chapitre 3 3- Le dipôle LC: Oscillations libres T U0 u (t ) U 0.cos( t ) temps est la pulsation propre du circuit, (par la suite nous l'écrirons 0) L’amplitude U0 (en volt) La période T (en seconde) période T La fréquence f = 1/T (en Hertz Hz = s1) La pulsation = 2f (en radian par seconde = rad.s1 ) t u (t ) U 0.cos(ωt ) U 0.cos(2πf.t ) U 0.cos(2π ) T26 = 2f = 2/T chapitre 3 3- Le dipôle LC: aspect énergétique Energie contenue dans le condensateur à l'instant t : u (t ) U 0.cos( t ) 1 2 1 WC C.u C.U 20 .cos 2 (ωt) 2 2 Energie contenue dans l'inductance à l'instant t : Analogie électrique-mécanique C i(t ) U 0.sin(t ) l'énergie s'échange constamment entre L 1 2 1 W L.i C.U 20 .sin 2 (ωt) L et C 2 2 WC analogue électrique de l'énergie Energie totale: potentielle (U=diff.de potentiel) WL analogue électrique de l'énergie sin 2 (t ) cos 2 (t ) 1 cinétique (i=N.q.v analogue à vitesse) 1 2 W WL WC C.U 0 2 analogue à (1/2)mv2 (1/2)Li 2 Un circuit oscillant LC et l'analogue ne dépend pas de t électrique d'un pendule mécanique L 27 4- Le dipôle RLC 28 4- Le dipôle RLC: chapitre 3 Analyse du circuit i(t) uLL di dt Oscillations amorties uRRi i(t)C duC dt uRuLuC0 uC(t) d 2uC uCLC 2 RC duC 0 mise en équation dt dt d 2uC 2 1 on a vu que LC =1 2 2 RC duC uC0 dt dt d 2uC RC 2duC 2uC0 2 dt dt on pose RC2 = 2 d 2uC 2 duC 2uC0 2 dt dt forme "canonique" 29 chapitre 3 4- Le dipôle RLC: Oscillations amorties 2 d u du 2 2 ω . u ( t ) 0 0 dt dt 2 Solutions de cette équation r2 équation caractéristique r 1 r 2 2 r ω 02 0 4 2 02 >0 =0 régime apériodique régime critique <0 régime pseudo-périodique = oscillations amorties 30 chapitre 3 4- Le dipôle RLC: ( 2 0 ).t >0 Régime apériodique ue =0 Régime critique u et ( At B ) <0 Régime pseudo-périodique = oscillations amorties t Oscillations amorties 2 ( Ae Be ( 2 0 ).t 2 ) u et [ A cos( 02 2 .t ) B sin( 02 2 .t )] ou u e t .C cos( 0 2 2 .t ) 31 4- Le dipôle RLC: chapitre 3 ue t 2 C cos[( 0 2 ) t ] U U0e-t 0 2 3 4 Oscillations amorties Les conditions initiales permettent de déterminer les constantes C et . Par exemple: à l'instant t=0, C est chargé u(0) =U0. on ferme k et le courant commence à passer. t Donc C=U et =0 0 u(t)=U0et cos ( 022 t ) -U0e-t pseudo-période 202 est la pseudo-pulsation. est le coefficient d'amortissement. 32