Moment cinétique d`un système

Troisième séance de regroupement PHR004
 Rappels de cours (Leçons 6 à 8)
 Commentaires sur les exercices
Questions / Réponses
Dynamique des systèmes
Deux sortes de systèmes en mécanique
 Les systèmes discrets :

un ensemble fini de particules

chaque particule est affectée d'une masse mi et est considérée
comme un point matériel avec les vecteurs associés
ri ; vi ; a i ; Fi etc...
 Les systèmes continus :

la matière est répartie dans un domaine 

la particule est l'élément de masse dm contenu dans l'élément de
volume dV, soumis aux vecteurs
r ; v ; a ; dF etc...
Grandeurs attachées aux systèmes
Complément sur le centre de masse
 R : un repère galiléen O, i ; j ; k 
 R' : le repère lié au centre de masse G
G, i ' ; j ' ; k '
  i ; j ; k  et  i ' ; j ' ; k '
t

sont colinéaires :
i  i ' ; j  j ; k  k'
Pour l’élément de masse dm :
r  R  r' 
 r d m
Par def  mR

 R d m
  r' dm

R  dm  m R

dr'
 mR  m R   r ' dm   r ' dm  0  
dm   v' dm  0


 dt

Quantité de mouvement totale ou impulsion totale du système
 Conséquence de la propriété directionnelle des axes : la stabilité
d
d
d


 dt 
 
  O  dt  G dt
 Pour l’élément de masse dm : r  R  r ' 
L’impulsion totale du système est : P
d r dR d r'


dt
dt
dt
v
C
v'
 v dm

v  C  v' 
 v d m

P
 C d m
C  dm  m C
  v ' d m  P  mC

0

"L'impulsion totale du système est équivalente au produit de la masse totale du système
par la vitesse du centre de masse".
(C’est ce qu’on fait généralement quand on applique le PFD)
Théorème du centre d'inertie (ou de la résultante)
 La résultante des forces appliquées à un système : F
 dF 

d
v dm

dt 
 Pour l’élément de masse dm :


d
d
d
d
F
v dm 
C  v' dm 
C dm 
v' dm




dt 
dt 
dt 
dt 
d
d
 F
C  dm 
v' dm

dt
dt 

 
0
 Fm
dC
mR
dt
"Le mouvement du centre d'inertie d'un système est celui d'un point matériel affecté de la
masse totale du système et soumis à la résultante des forces s'appliquant sur ce système".
(C’est ce qu’on fait généralement quand on applique le PFD)
Moment cinétique d’un système
 Le moment cinétique du système : L
r v
dm

 Dérivation par rapport au temps :
d
d 

L
  r  v dm
dt
dt 


d
d

v dm
   r  v dm   r 
dt
  dt



v


dL
d
dL
  v  v dm   r 
v d m   r d F 
 
dt
dt
dt



0
a
"La dérivée par rapport au temps du moment cinétique total du système est égale à la somme des
moments des forces (ou moment dynamique)".
En cas d’oubli :
dL
d (r  m v) d r
dv
dv
dL


mvrm
vmvrm

rF 
dt
dt
dt
dt
dt
dt
0
F
Premier théorème de KOENIG
 Le moment cinétique du système dans le repère du centre de masse: L'
 Relation entre L et L' ??
L
 r v
dm 

  R  r '   C  v' 
 r '  v'
dm

dm

 L   R C dm 

 R  v' d m   r ' C

dm 

 r'  v' dm


 

 L  R  C  dm  R    v' dm    r' dm  C   r'  v' dm

 




 



m
0
0
L'
 L  R  m C  L'  R  P  L'
Le moment cinétique par rapport aux repère de référence est égal au moment cinétique
calculé dans le repère du centre de masse augmenté de la quantité R  P
Second théorème de KOENIG
 L’énergie cinétique dans le repère du centre de masse: K'
 L’énergie cinétique dans le repère de référence :
K

C  v'
v
 2 dm   2


2

v'2
 2 dm

2
C2
1
v'2
dm  
dm  2  C v' dm  
dm
2
 2

 2
K'
C2
 K  K'  
dm  C  v' dm
 2

0
m C2
 K  K' 
2
L'énergie cinétique par rapport aux repère de référence est égale à l'énergie cinétique
m C2
calculée dans le repère du centre de masse augmentée de la quantité
2
Théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique
 Le moment des forces :

 r  dF 

  R  r  d F   R  d F   r  d F



   R   dF 

'

'
r'  d F  R  F 


r'  dF

 La somme des moments des forces (définies dans le référentiel R) par rapport au barycentre G :
*
 R F 

r '  dF

*
 Premier théorème de KOENIG :
L   R  P  L' 
d L
dL'
Bilan : 
RF
dL'
dt  * 
 dt
dt

*
  R  F  


dL d
d L'
d L'

RP 
RF
dt dt
dt
dt
dR
dP
PR
dt
dt
0
"Le théorème du moment cinétique est applicable en G, dans le
référentiel barycentrique, que celui-ci soit galiléen ou non".
Dynamique des solides
Moment cinétique d’un solide


Solide = un corps dans lequel les distances entre les particules qui le composent
restent fixes lorsqu'on lui applique une force ou un moment  Il conserve sa forme
durant son mouvement.
Rappels:

Le vecteur vitesse angulaire :    k

La vitesse de la masse élémentaire dm dans le système  : vi    ri

Le moment cinétique d’une particule Ai par rapport à l’origine O : Li  mi ri  vi
bi

* Sa direction est perpendiculaire au plan déterminé par les vecteurs r i et v i
* Il fait un angle de    i  avec l'axe de rotation Z
2

* La grandeur de Li est : mi ri vi
* Sa composante parallèle à l’axe des Z est :
LiZ  mi ri vi cos   2  i   mi ri  bi  sin i  mi  ri sin i  bi   mi bi2 
 La composante selon l’axe des Z du moment cinétique total du solide en rotation
suivant l'axe Z est :
 in

LZ  m1 b   m 2 b   ....mi b   ....m n b   Lz    mi bi2    I 
 i 1

L1z
L2 z
Liz
Lnz
2
1
2
2
2
i
2
n
Moment d'inertie d’un solide en rotation (1/2)
 Il s'obtient en additionnant, pour chaque particule, le produit de sa masse par le carré
de sa distance à l'axe de rotation : I 
in
m
i 1
i
bi2
 Le moment cinétique total du système est : L  L1  L2  ...Li  ....  Ln
 En général L n'est pas parallèle à l'axe de rotation puisque les moments cinétiques
individuels qui figurent dans la somme ne sont pas parallèles à cet axe.
 On peut montrer que pour chaque corps, quelle que soit sa forme, il y a au moins
trois directions orthogonales pour lesquelles le moment cinétique est parallèle à l'axe
de rotation. Elles sont appelées axes principaux d'inertie, et les moments d'inertie
correspondants sont appelés les moments principaux d'inertie, notés I1, I2, et I3.
 Lorsque le solide a une certaine symétrie, les axes principaux coïncident avec les
axes de symétrie .
Moment d'inertie d’un solide en rotation (2/2)
 Lorsque le corps tourne autour d'un axe principal d'inertie, le moment
cinétique total L est parallèle à la vitesse angulaire  , qui est toujours dirigée
suivant l'axe de rotation
 A la place de l’équation scalaire : Lz = I , qui est valable pour les composantes Z
suivant l'axe de rotation, nous pouvons écrire la relation vectorielle :


Pour un solide homogène de densité r constante : I 

Formule des plaques minces
I Z   R 2 dm 

2
b
 dm 
 x

2
 y 2  dm 
2
x
 dm 

Iy
LI
2
b
 r dV

2
y
 dm  Iz  I x  I y

Ix
Formule d’Huygens (ou théorème de Steiner)
 I0 = Le moment d'inertie d'un corps tournant autour d'un axe
IO 
(O) passant par le point O 
b
2
dm

 IG = Le moment d'inertie du corps par rapport à un axe (G)
2
parallèle à (O) et passant par le centre d'inertie G  IG   b ' d m

 Relation entre I0 et IG ?
  OG


b  OP

b'  GP
  b'  b
I0 
b
2
dm 

 
2

 2  b ' 2  2  b'  b 2

 b ' 2  2  b' d m 

 I0   2  d m 

m

b' 2 dm  2 




b'd m

IG
2
dm 

b' 2 dm 

2  b'd m

Faites attention lors du calcul des
distances par rapport aux axes.
Les distances font toujours intervenir
Des projections orthogonale
D'autre part : r '  z k  b'   r '   z k   b'   b'   r '  
0 car   z k

 b'd m    r'd m


0
D'où le théorème de Huygens :
I0  IG  m  2
Energétique des solides en rotation
Energie cinétique de rotation
1 in
K  :E c   mi vi2
L’énergie cinétique d'un système de particules
2 i 1
Dans le cas d'un solide tournant autour d’un axe avec une vitesse
angulaire , la vitesse de chaque particule est : vi =  bi
1
 K  Ec 
2
 2
1  in
1
2
2
m
v

m
b


K

I




 i i
i
2  i 1
2
i 1

in
2
i
I
Cette expression est valable pour tout axe, même s'il n'est pas un
axe principal, car la grandeur de la vitesse est toujours vi =  bi
1 I2 2 L2
E c :

 Lorsque la rotation se fait autour d'un axe principal
2 I
2I
 Cas général : le solide tourne autour d'un axe passant par son centre de
gravité + en même temps a un mouvement de translation  L’énergie
cinétique « totale » est telle que :
1
1
2
Ec  m v CG  I 2
2
2
Comparaison entre les dynamiques de
Rotation et de translation
Translation
Rotation
Quantité de mouvement : p = m v
Moment cinétique (axe principal) : L = I 
Force : F = m a
Moment des forces (axe principal) :  = I 
Energie cinétique : Ec 
Puissance :
PF v
1
M v2
2
1
2
Energie cinétique : Ec  I 2
Puissance : P   
Exercices
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