Artru-15av2010 - CEA-Irfu

LAL&Saclay Avril 2010
Introduction du degré de liberté de spin
dans la fragmentation d'un quark.
Application à la polarimétrie des
quarks.
Xavier ARTRU
IPNL, Lyon
(Réf : arXiv 1001.1152)
Sommaire
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Rappel sur les modèles actuels (sans spin) de fragmentation
Utilité d’un « polarimètre à quark »
Rappel sur les asymétries Collins et ‘‘jet handedness’’
Mécanisme 3P0 + cordes pour l’effet Collins
Le modèle multipériphérique avec échanges de quarks
1ère source d’asymétries Collins et jet-handedness : mquark complexe
Traitement Monte-Carlo
Décroissance de l’information de spin
2ème source d’asymétries : production via mésons vecteurs
3ème source : interférences entre diagrammes permutés
Pourquoi s’occuper du spin du quark dans la fragmentation ?
La diffusion inélastique semi-inclusive (SIDIS)
e + N  q  jet de hadrons
e
peut mesurer q(x) (hélicité du quark dans le nucléon)
et q(x) (transversité, ou spin transverse),
à condition de disposer d’un polarimètre à quark
Polarimètres possibles :
 q  +X
simple, mais peu efficace.
 q + X, avec l’effet Collins
= asymétrie en 1+ AT ST sin[ () - Spin ]
y
ST

x
z
- L’effet Collins mesure la transversité ST
- il ressemble à l’effet Magnus sur une balle
Polarimètres possibles (suite)
 q 2 + X, avec jet handedness (ou ‘‘chiralité du jet’’)
= asymétrie en 1+ AL SL sin[ (1)  (2) ]
 mesure l’hélicité SL
y
SL

x
z
Les pouvoirs d’analyse AT et AL sont des fonctions non-perturbatives
(donc incalculables) des z et pT des hadrons détectés.
Cela fait beaucoup de variables…
On aimerait être guidé par un modèle !
Modèles actuels de jet (sans spin).
1) le modèle récursif
h4
Krzywicki, Field & Feynman, Peterson, …
q3
q0  h1 + q1,
q1  h2 + q2, etc.
h3
q2
h2
h1
q1
Conservation de la quadri-impulsion:
q0
kn = pn+1 + kn+1
Fonction de splitting du quark qn :
dW = fn(n, knT) dn d2knT
; n = kn,z / kn-1,z
Note : il faut faire la distinction entre
- la fonction de splitting du nème quark, fn(n, knT)
- le spectre du nème meson, Fn(zn, pnT)
- la fonction de fragmentation complète, F(z,pT) = n Fn(z,pT)
On a une relation simple seulement pour le 1er méson :
h4
h3 h
F1(z1, p1T) = f1(1, k1T)
2
avec z1 = 1- 1 ,
k1T = - p1T
q3
q2
q1
Plus généralement, zn = (1- n) n-1 n-2 … 1
knT = - pnT - pn-1,T … - p1T
h1
q0
2) le modèle des cordes
Corde massive
q0
k2T
+k1T
q2
q1
q1
q2
+k2T
q0
k1T
h2
h1
vue dans l’espace-temps
h1
hN
h2
qN
q1
q2
t
z
q0
L’EFFET COLLINS
1) effet Collins simple = à une particule
Fonction de fragmentation d’un quark polarisé transversalement
F(z,pT;ST) = F0(z,pT) [ 1+ AT (pTST)z /pT ]
sin(S - h)
S
hadron
pT
quark
z
X
AT = pouvoir d’analyse Collins
1 < AT < +1
Défaut de l’effet Collins simple
- on a une incertitude q (expérimentale ou théorique) sur la
direction du jet  erreur |p| q sur pT
Dans le DIS, q est due au moment transverse intrinsèque du quark
- à grand Q2, l’émission de gluons dégrade l’asymétrie :
pT
q
= moment du jet
q’
p’T
L’effet Collins “natif” est en p’T , relatif à q’ (voir ellipse).
L’effet Collins “dégradé” est en pT , relatif à q.
2) l’effet Collins “relatif” (avec 2 particules)
(appelé aussi interference fragmentation)
On sélectionne 2 particules du jet et on mesure l’asymétrie azimuthale
du moment transverse relatif,
rT = ( z2 p1T – z1 p2T ) /(z1+z2) = Pjet q12 z1z2/(z1+z2)
q12
q
q’
p1 rT
p2
Avantages:
-rT est insensible aux erreurs sur l’axe du jet et à l’émission de gluons.
-Effet est renforcé par la compensation locale des pT (Krzywicki)
Pouvoir d’analyse : A(z1,z2, |rT|)
Jet handedness
Nachtman 1977 ; Efremov, Mankiewicz and Tornqvist 1992
1) version minimale, avec 2 particules
fonction de fragmentation d’un quark polarisé
longitudinalement :
F( z, pT ; z’, p’T ; SL ) =
F0( z, pT ; z’, p’T )  [ 1+ AL S.(pTp’T) / |pTp’T| ]
1 < AL < +1
sin( ’h - h )
Même défaut que l’effet Collins simple : sensible aux erreurs
sur l’axe du jet, dégradé par l’émission de gluons
2) Version robuste : avec 3 particles
Recette : on prend une troisième particule du jet and on remplace
l’axe du jet par la direction de P123 = p1 + p2 + p3 .
Un estimateur de l’hélicité du quark est
E =  (p1 × p2) . p3  / | P123 |
- E est proportionnel à l’hélicité moyenne du quark, avec
coefficient à déterminer (calibrage)
- insensible à une erreur sur l’axe du jet et à l’émission de gluons
(c’est en gros l’estimateur proposé par Efremov)
Le mécanisme ‘‘semi-classique’’ corde + 3P0
A chaque rupture de la corde, une paire quark-antiquark est
crée dans l’état 3P0 [Le Yaouang et al ]
(3P0 = 0++ = nombre quantique du vide)
kT
S
corde
quark
+kT
S
L
corde
antiquark
r
L = - rkT
 corrélation entre kT and Squark
(mécanisme de Lund pour la polarisation des hyperons inclusifs)
Application à l’effet Collins
méson
pseudo-scalaire
(XA, Czyzewski, Yabuki)
méson
scalaire
1S
0
3P
Désintégration de la corde en mésons pseudoscalaires:
k1T
k3T +k2T
q3
q1
q2
L3
L2
L1
q3
q1
q2
k2T +k
+k3T
1T
h3
h2
h1
0
q0
Prédictions du mécanisme corde + 3P0
- Collins alternés (pour les mésons pseudo-scalaires)
- Collins fort pour la particule de rang 1 ( leading ou ‘‘favored’’),
et également pour la particule subleading ou ‘‘unfavored’’
(en accord avec l’expérience).
De plus, l’effet Collins ‘‘subleading’’ est moins dégradé par l’incertitude q
sur l’axe du jet (l’erreur |p| q est proportionelle à z)
- le méson  a un effet Collins opposé à celui du pion [Czyzewski]
- le pT2 d’un méson  longitudinal est plus petit que celui des pions
(cet effet ne dépend pas de la polarisation du quark)
• Le mécanisme de Schwinger pour la création de quarks ne donne
aucun effet Collins [X.A. & Czyzewski]. Il est donc différent du 3P0
Un candidat vraiment ‘‘quantique’’ :
le modèle multipériphérique avec chaine de quarks
hN
h3
hN-1
qN-1
q3
q2
qN
h2
q1
q0
, Z0, W±
h1
Lois d’invariance
hN
h3
hN-1
qN-1
q3
q2
qN
h2
h1
q1
q0
Le modèle doit être invariant par :
• boost de Lorentz le long de l’axe q0 - qN ,
• rotation autour de cet axe
• parité
• retournement de la chaine (conjugaison de charge)
On abandonne l’invariance par boost et rotation tranverse
Nécessité d’amplitudes complexes
On recherche une asymétrie à 1 spin (celui du quark initial)
Le modèle doit donc posséder au moins deux amplitudes
complexes, associées à deux couplages différents au spin,
et de phase relative non nulle.
L’asymétrie résulte de l’interférence entre ces 2 amplitudes
Simplifications drastiques
hN
h3
hN-1
qN-1
qN
q3
q2
h2
q1
q0
Pour une approche préliminaire :
 spineurs de Pauli
 on découple kL / kT , en oubliant la contrainte p2=m2
 propagateurs Gaussien
h1
L’ amplitude multipériphérique « interrompue »
p3
p2
k3
k2
On se focalise sur les kT
p1
k1
k0
M3 (k1T, k2T, k3T) = M(k3T) M(k2T) M(k1T)
k
analogue de m+.k
M(kT) = exp{(kT )2 /2} ( + z .kT) z
propagateur
 = ‘‘masse’’ complexe
vertex
pseudoscalaire
(analogue de 5 )
distributions en pT à n mésons
Distribution jointe en pT des n particules leading :
Jn (k1T, k2T ,… knT, ) = trace Rn (k1T, k2T,… knT ; S)
(rappel: knT =  pnT  pn-1,T …  p1T )
Rn = matrice intensité des n premières émissions
= M(knT) … M(k1T) 0 M†(k1T) … M†(knT)
amplitude
interrompue
matrice densité
du quark initial = (1+ .S0)/2
Effet Collins du1er rang
J1(k1T) = exp{ k1T 2 } 
trace { ( + z .k1T) z 0 z (* + z .k1T) }
= exp(p1T2 )  { ||2 + p1T2 + 2 Im() S.(zp1T) }
z = vecteur unitaire
de l’axe des z
Pouvoir d’analyse :
effet Collins
AT = 2 Im() |z  p1T| / (||2 + p1T2)
Pour Im() > 0, l’effet Collins est du côté prédit par le modèle
corde + 3P0
Distribution double en pT pour les rangs 1 et 2
J2 (k1T,k2T) = exp{k1T2  k2T2 }  {
(||2 + k1T 2) (||2 + k2T2)  4 k1T . k2T Im2()
 non polarisé
+ 2 Im() ST . (z  k1T) (2 k1T . k2T  ||2  k2T2)  Collins
+ 2 Im() ST . (z  k2T) (||2  k1T2)
- 2 Im(2) SL . (k1T  k2T) }
 Collins
 handedness
Les effets Collins en k1T and k2T peuvent être regroupés en
- un effet Collins global, en p1T + p2T
- un effet Collins relatif, en rT = (z2 p1T  z1 p2T) / (z1+z2)
Propriétés du modèle ‘‘multipériphérique’’ simplifié
- Dépend essentiellement d’un paramètre complexe, 
- Reproduit qualitativement les résultats du mécanisme
corde + 3P0 , pour ce qui concerne les effets de spin tranverse :
* effets Collins alternés,
* effet Collins fort pour la fragmentation dite ‘‘défavorisée’’
* pT2 d’un méson vecteur longitudinal inférieur à celui des pions
- De plus, il génère l’effet jet handedness, associé au spin
longitudinal
Peut donc servir de guide préliminaire pour la ‘‘calibration’’
d’un polarimètre à quark
Traitement Monte-Carlo
Pour les mésons de rang n > 2 , le calcul anaytique
devient fastidieux ; il est plus simple de calculer le
spectre par la méthode Monte-Carlo.
2 méthodes équivalentes :
• avec la matrice d’intensité Rn (matrice 22)
• avec le vecteur polarisation Sn du quark
(plus intuitive)
1) avec la matrice intensité Rn
0 = (1+ .S0)/2
M(kT) = exp{ - kT2 /2 } ( + z .kT) z
Rappel
Jn (k1T, k2T ,… knT, ) = trace Rn ( k1T, k2T,… knT ; S0)
Rn = M(knT) … M(k1T) 0 M†(k1T) … M†(knT)
d’où la relation de récurrence Rn = M(knT) Rn-1 M†(knT)
• Supposons qu’on connaisse déjà k1T, k2T,… kn-1,T , et Rn-1
- On tire knT au hasard selon la distribution
Jn = trace { M(knT) Rn-1 M†(knT) }
- Ceci fixe Rn
Et on recommence …
2) avec le vecteur polarisation Sn du quark
Supposons qu’on connaisse déjà k1T, k2T,… kn-1,T , et Sn-1
- On tire knT au hasard selon la distribution
J(knT) = trace{ M(knT) (1+.Sn)/2 M†(knT) }
= exp(- knT2 )  { ||2 + knT2  2 Im() S.(zknT) }
- On calcule Sn en fonction de knT et Sn-1
(voir 2 transparents suivants)
Et on recommence …
Calcul de Sn en fonction de knT et de Sn-1
• à chaque pas, on fait un changement d’axes pour
amener x le long de knT
- Composante selon y :
Syn = J-1  [ 2 Im() |knT|  (||2 + knT2) Syn-1 ]
avec
J = ||2 + knT2  2 Im() |knT| Syn-1
• le 1er terme, inhomogène, ‘‘crée’’ de la polarisation,
s’il n’y en avait pas pour le quark initial
• le 2ème terme traduit un ‘‘héritage’’ de polarisation
- Composantes dans le plan (x,z) :
knT2  ||2
Sxn
= J-1
Szn
 2|knT| Re()
Sxn-1
||2  knT2
Szn-1
 2|knT| Re()
L’hélicité est partiellement convertie en transversité et vice-versa
Dans ce modèle, l’effet jet handedness apparaît comme le
résultat de deux effets successifs :
• conversion partielle de Sz(q0) en ST(q1) le long de k1T ,
• effet Collins dans q1  h2 + q2,
Perte de l’information de spin le long de la chaine
Si nous intégrons sur les impulsions transverses,
la polarisation des quarks successifs décroit géometriquent :
Szn = DL Szn-1 ;
STn = DT STn-1
DL , DT : coefficients de dépolarisation, compris entre -1 et +1
Di = wi / w0 , avec
w0 =  d(kT2) exp{kT2 } (||2 + kT2)
wL =  d(kT2) exp{kT2 } (||2  kT2)
wT =   d(kT2) exp{kT2 } ||2 < 0
• l’information portée par le spin longitudinal et le spin
transverse décroit à des vitesses différentes
• l’inégalité de Soffer 2|DT|  1+DL est respectée.
Inclusion des mésons de spin 1
On peut introduire les mésons vecteurs, en remplaçant le vertex
d’émision du pion z par
 = GLVz + GT .VT z
V
V = vecteur décrivant l’état de spin du méson spin
(réel si la polarisation est linéaire)
GL , GT = constantes de couplage longitudinales et transverses,
que nous supposons a priori différentes et complexes
Rappel sur les polarisations d’un méson de spin 1
La polarisation d’un spin 1 peut être décrite par la matrice
densité cartésienne 33, ij = Tij + ij
ij antisymétrique imaginaire pure décrit la polarisation
vectorielle S
- Pour les mésons  et K*, elle est non détectable
dans la distribution angulaire des produits de désintégration.
- Elle est détectable pour le méson a1
Tij symétrique réelle décrit la polarisation tensorielle ou linéaire
trace unité : Txx + Tyy + Tzz = 1
polarisations d’un méson de spin 1 (suite)
Pour V  2 mésons, la polarisation tensorielle se manifeste par
une distribution angulaire de désintégration
dN/dk  Tij ki kj
Exemples :
y
y
x
x
z
z
alignement ‘rugby’ le long de z
Tzz = 1/3 + 2a
Txx=Tyy = 1/3  a
(si a négatif : ‘aplatissement’)
‘cisaillement’ dans le plan(y,z)
Txx = 1/3
Tyy = 1/3 + a
Tzz = 1/3  a
Spectre en pT d’un méson  linéairement polarisé
J1(kT,V) = |GT|2 exp(-kT2)  {
(||2 Vz2 + VT2) (||2+kT2) - 4 Im() Im() Vz VT.kT
(a)
+ 2 Im() ||2 Vz2 ST.(zkT)
(b)
+ 2 Im() (||2+kT2) Vz VT.(zST)
(c)
+ 2 Im() [ VT.(zkT) VT.ST + VT.kT VT.(zST) ]
+ 4 Re() Im() Vz Sz VT.(zkT) }
avec  = GL/GT (complexe différent de 1)
(d)
(e)
Spectre et polarisation linéaire (a)
Ligne (a) (partie indépendante du spin du quark)
(||2 Vz2 + VT2) (||2+kT2) - 4 Im() Im() Vz VT.kT
alignement en z
(ou applatissement)
cisaillement
dans le plan (z,k)
kT
z
Spectre et polarisation linéaire (b)
Ligne (b) : + 2 Im() ||2 Vz2 ST.(zkT)
Effet Collins global
pour un méson  aligné en z
Cet effet Collins est en sens inverse de celui d’un pion
[Czyzewski]
Spectre et polarisation linéaire (c)
Ligne (c) :
+ 2 Im() (||2+kT2) Vz VT.(zST)
cisaillement du  dans le plan
perpendiculaire à ST
 effet Collins relatif pour les pions de désintégration.
Spectre et polarisation linéaire (d)
Ligne (d) :
+ 2 Im() [ VT.(zkT) VT.ST + VT.kT VT.(zST) ]
= asymétrie en sin( p + S  2 V )
cisaillement du  dans le plan (x,y),
le long de la bissectrice de ST et pT
Spectre et polarisation linéaire (e)
Ligne (e) :
+ 4 Re() Im() Sz Vz VT.(zkT)
cisaillement du  dans le plan
perpendiculaire à pT
 jet handedness pour les pions de désintégration.
Conclusion pour les pions issus d’un  :
on obtient qualitativement les mêmes effets
qu’avec deux pions émis directement
par la chaine de quarks (dualité ?)
Autres mécanismes d’effet Collins
• Interférence entre résonances de spin zero et 1
• entre résonance et amplitude non résonante
• diagramme de Qiu-Sterman (QCD perturbatif)
ou
• (notre 3ème mécanisme) : Interférence entre diagrammes
permutés (transparents suivants)
Interférence entre diagrammes permutés
Dans le modèle multipériphérique, l’ordre d’émission des particules ne
coïncide pas forcément avec l’ordre en rapidité.
 Plusieurs diagrammes ordonnés différemment (‘‘permutés’’) peuvent
interférer :
hN
h3
hN-1
qN-1
qN
q3
q2
h2
q1
q0
On a la même type de permutation dans le modèle des cordes.
La permutation de deux particules identiques donne les corrélations de
Bose-Einstein [Andersson & Hofmann ; Bowler & XA]
- Qu’en est-il pour le spin ? Il faut une différence de phase !
h1
Diagrammes de cordes permutés
p’
p’
ordre
normal
p
p
A2
A1
ordre
inversé
A1 et A2 = aires balayées par les cordes. L’amplitude de corde est
proportionnelle à exp(iA)
(= tension de la corde).
On a A2 > A1 d’où une différence de phase
 = (p0 p’z - pz p’0 ) / = ET E’T sh(Y-Y’) /
qui permet non seulement les corrélations de Bose-Einstein, mais aussi les asymétries
Collins et jet handedness (en gardant nos couplages de spin du modèle multipériphérique)
Principaux résultats
• Un modèle très simple, inspiré du vénérable
modèle multipériphérique de Amati, Fubini et
Stanghelini, peut inclure le degré de liberté du
spin dans la fragmentation récursive d’un quark
en hadrons
• Il réalise de manière purement quantique les
effets de spin prédits par le mécanisme semiclassique corde +3P0 . En cela, il semble en
accord avec l’expérience
• L’effet jet handedness apparaît comme une
retombée de l’effet Collins.
Principaux résultats (2)
• Les émissions successives effacent progressivement la
mémoire de la polarisation du quark initial, ce avec une
vitesse différente pour les polarisations longitudinale et
transverse.
• Le modèle semble facile à implémenter dans un MonteCarlo
• Les effets Collins and handedness peuvent également
être générés par les émissions via résonance, en
introduisant des constantes de couplage complexes.
• Ils sont associés, dans ce cas, à des alignements ou
cisaillements du méson vecteur dans des directions
obliques.
Principaux résultats (3)
• Un 3ème mécanisme est basé sur les permutations du rang
d’émission des particules. Il combine
- pour le couplage au spin, la structure en matrice de Pauli
de notre modèle multipériphérique
- pour les phases, celles du modèle des cordes.
Ce 3ème mécanisme ne fait pas intervenir de masse ni de
constante de couplage complexe.
Il est plus compliqué à implémenter dans un Monte-Carlo,
mais pas impossible (voir l’exemple des correlations de
Bose-Einstein)
Discussion
• Le modèle est outrageusement simplifié.
L’approximation la plus critiquable est d’ignorer la
contrainte de couche de masse. Mais en tenir
compte ne doit probablement pas changer
qualitativement les prédictions.
• Une justification de
- l’emploi des spineurs de Pauli et non pas de Dirac
- l’introduction d’une masse de quark complexe
ou de constantes de couplage complexes
serait bienvenue.
Merci de votre patience !