new_talk_yv - Observatoire de la Côte d`Azur

Ecole thematique CNRS « Reconstruction d ‘Images » Frejus, Juin 2012
Yves Rabbia
école thématique CNRS
« reconstruction d’images »
Nice 18 juin, Fréjus 19-22 juin 2012
formation des images
Yves Rabbia, UMR Lagrange,
[email protected]
1
Ecole thematique CNRS « Reconstruction d ‘Images » Frejus, Juin 2012
Yves Rabbia
formation des images : le plan
préambule
lumière : deux descriptions
images : deux visions (parmi d’autres)
formation : 1.5 approche(s) optique géometrique / optique diffractive
optique géométrique : limites
optique diffractive
phénoménologie
basiques de la théorie
machinerie algébrique
des « outils » : ( jargon : PSF, MTF)
exemples ( presque « au niveau du vécu »)
2
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3
Yves Rabbia
Lumière, une definition, deux modèles
Lumière : phénomène de transport d'énergie
deux descriptions intuitives pour ce transport
rayons
energie portée le long des rayons
issus d’une source
(empirique, pas de physique en soutien)
front d'énergie
l’energie emise par la source
est portée par le front d’energie, elle se dilue
dans l’espace en s’eloignant de la source
modèle physique : onde electromagnetique
expression typique en un point P de l’espace
V (t , P )  A(P ). exp  i .( 2 . t   (P ))
A

modelisation en partie incorrecte mais convenable pour notre propos
V(t)
t

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synthèse des descriptions intuitives
l’énergie est portée par les fronts
Yves Rabbia
rayon
dilution en 1/dist^2
energie collectée
collecteur
collecteur surface S, distance d
W 
S
d2
4
source
front
d’énergie
les rayons sont localement normaux aux fronts d'energie
théorème de Malus
ils illustrent la direction de propagation de l'énergie portée par les fronts
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5
images : deux aspects
optique :
distribution d’intensité lumineuse ou ensemble de « points lumineux »
traitement du signal :
distribution d’intensité lumineuse échantillonnée :
ensemble de « pixels » et/ou tableau de nombres
0000000
1110111
1111111
0011100
0011100
0000000
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approche géométrique de la notion d'image
mot-clef : conjugaison point à point
objet = ensemble de points lumineux (points "objet")
point objet = origine d'un faisceau divergent
situation idéale : stigmatisme, l'image d'un point est un point.
le système transforme le faisceau divergent
en un faisceau qui converge vers UN point appelé image du point objet
image de l'objet :
ensemble des points images
Problème : C’EST QUOI PHYSIQUEMENT UN POINT ?
hors situation idéale : il n'y a plus stigmatisme
les directions des rayons en sortie
ne se rencontrent pas en un seul point
on parle alors d'aberrations
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en passant : resolution and resolution
detector resolution : large number of pixels is not the point
what counts for the astronomer is
the size of pixels over the sky
and this depends
on the instrument
(including observing conditions)
pixel on the sky
jargon : resel,
resolution element
one resel
may cover several pixels
on the detector
7
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optique géométrique : quick-look 01 (souvenirs, souvenirs, .....)
notions et outils basiques
 rayons, dioptre*, indice optique
 lois de Snell-Descartes : reflexion, refraction
i'
i
réfléchi
incident
emploi :
 tracé de rayons
 position et grandeur
des images données par
le système optique
n
r
réfracté
sin i = sin i’
sin i = n sin r
* dioptre ( grec "dioptrion" : voir à travers)
= surface de séparation entre
deux milieux d'indices différents,
s'applique aux miroirs par extension sémantique
dioptre n1
sphérique
n2
dioptre
plan
dioptre
plan
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tracé de rayons : exemples simples, académiques
objet
d
d'
image
usage de rayons remarquables
usage itéré de sini = n sin r
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tracé de rayons : exemples ingénierie optique
de nos jours c'est fait avec des logiciels d'ingénierie
OSLO, ZEEMAX, Code V, ASAP, .......
10
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Yves Rabbia
l’approche geometrique ne parle pas de formation d’image !
le tracé de rayons permet d'avoir une description précise
mais partielle et discrète
diagram)
10000 mm
40 mm
par la distribution des impacts de rayons dans l'image (spot
l’approche geometrique nous parle de position, grandeur et aberrations
mais pas du processus physique qui decrit la formation de l’image
on obtient des details structurels (aberrations), mais on n'a pas accès de
façon fondamentale (physique) à la distribution d'énergie
pourquoi ?
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l'optique géométrique ne restitue pas
la distribution d’energie détaillée dans les images.
Pourquoi ?
parce que !
diffraction ! !
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diffraction_ phenomenologie
pour l'optique géométrique (stigmatique)
l'image d'un point devrait être un point
13
Yves Rabbia
système
optique
S
objet
S'
image
l'experience montre que ce n'est pas le cas
et cela independament des histoires d’aberrations
et même si le stigmatisme est assuré
la distribution obtenue avec un point source à l’infini est
la Fonction d’Etalement du Point (FEP) ou Point Spread Function (PSF)
point source
à l’infini
avec une ouverture circulaire c’est la tâche d’Airy
x
axe
optique
  1.22
0 
x

D
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diffraction : basiques de la théorie _ 1
14
Yves Rabbia
modèle ondulatoire  lumière = onde progressive
expression typique V (t )  A. exp  i .( 2 . t   )
V(t)
A

t
modelisation incorrecte mais convenable pour notre propos
A : amplitude, liée à l’energie transportée pendant 
 : frequence de l’oscillation ( couleur)
 : phase de l’onde, c’est quoi physiquement ?

2
E  A .
  c /
phase : elle traduit un decalage temporel versus onde de reference
V (S ,t )  A exp(i 2 . .t ))
r
V (P ,t ) V ( S, t - t0 )
n = indice
refraction
distance
S
c
r
n
t0   r
v
c
V (P ,t )  A . exp(i .2 . .t ).exp(  i .2 .
P
t0
r .n

)
temps
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diffraction_ basiques de la théorie _ 2
la phase decrit les avatars du front d’onde
la traversée d’un milieu materiel d’indice « n » induit
un trajet « n.r » plus grand que « r »
d’où un retard qui se traduit par une deformation du front d’onde
cette deformation est decrite par la phase
e
n1
2 .e
.n1
2 .e
2 
.n 2

2 .e
3 
.n 3
1 
n2
n3


n1< n2< n3
1< 2< 3
x
 (x ) 
2 .e (x )

.n
15
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diffraction_ basiques de la théorie _ 3
Yves Rabbia
amplitude complexe
16
on a vu une expression frequente decrivant l’onde electromagnetique
V (t )  A. exp  i .( 2 . t   )

pour une longueur d’onde donnée, le facteur « exp(i2t) » est commun à
tous les points de l’espace recevant la lumière de la source.
Ce facteur n’intervient pas dans la distribution spatiale de l’energie.
Le facteur qui intervient pour la formation de l’image est celui qui porte la
fonction de phase de l’onde et traduit algébriquement les avatars du front
d’onde en chaque point, on l’appelle amplitude complexe
exemple dans le vide n=1
r
 (x , y , z )  A . exp(  i .2 . )  A . expi . (x , y , z )

illustration
au cours de la propagation
la phase augmente
proportionnellement au trajet parcouru
( le vecteur de Fresnel
qui decrit  dessine une hélice)
Im
Im ()

Re ()
phase
Re

r(x,y,z)
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diffraction_ basiques de la théorie _4
onde sphérique
déjà vu : intuitif
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Yves Rabbia
onde spherique / onde plane
P(x,y,z)
formulation mathematique :
A
2
 (P )  . exp(i
.  (P ) )
r

 (P ) 
2

. r (P ) et
S
r
r (P )  x 2  y 2  z 2
facteur 1/r sur l’amplitude pour exprimer la dilution de l’energie en 1/r2
onde plane evolution de l’onde sphérique quand r devient très grand
la dilution n’apparait plus sur un trajet local dr (r+dr  r)
la phase est constante dans un plan transversal en z
x,y
front
d'onde
 (x , y , z )   (z )
 (z  Z )   (z )  2
z
 (x , y , z )  A . exp(i
2

Z

.  (z ) )
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 01
Yves Rabbia
c’est l’optique de Fourier
18
point–clef 1 : amplitude complexe :
OK on a vu
point-clef 2 : principe de Huyghens Fresnel :
Qk
rk
P
rn
chaque point Qn d'une distribution d'amplitude
Qn
émet une onde sphérique
Ces ondes sphériques sont toutes synchrones (Huyghens)
leurs différences de phase se conservent au cours du temps (Fresnel).
L'onde reçue en un point P distant est la somme (pondérée)
de ces ondes sphériques (principe de superposition)
addition des amplitudes complexes, dont la phase porte le trajet
parcouru de Qn à P
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 02
espace de travail
standard
h
x
y
z
regles du jeu fondatrices
x
z
0. lumiere = onde electromagnetique (vecteur champ electrique)
1. approximation scalaire : polarisation ignorée (aspect vectoriel ignoré)
2.
3.
19
approximations de Fresnel :
dimensions transversales >> 
D,Dh,Dx,Dy >> 
distances axiales >> distances transversales Z >> x,y,x,h
conditions paraxiales (Gauss)
faisceaux peu ouverts et peu inclinés sur l’axe
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 03
exploitation des points-clef
si je connais la distribution d'amplitude dans le plan x,h situé à la côte « z »
je peux calculer la distribution d'amplitude
en chaque point du plan x,y, situé à la côte (z+Z)
h
x
et comment je fais ça ?
par une somme pondérée
des amplitudes reçues en P
chacune exprimant une onde sphérique
V(Qn) issue de Qn
et portant le chemin r qui dépend
des Qn (d'où x et h) et de P (d'où x et y)
attention : pour un seul point P,
on a besoin des amplitudes de tous les Qn

Qn
x
z
[ poids ] . V (Qn ) . exp ( i .
x,y
r(x,h , x,y )
Qn
z
2

z
P
x,h
naïvement on arrive alors à :
 (P ) 
y
z
P
. chemin ) Dx .Dh
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 04
 (P ) 
on part de l’expression

Qn
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Yves Rabbia
ça se complique (pas longtemps)
[ poids ] . V (Qn ) . exp ( i .
2

. chemin ) Dx .Dh
on peut étendre à une somme continue
 (x , y ) 

[ poids ] . V (x ,h ) . exp ( i .
pupille (x ,h )
2

. r (x ,h, x , y ) ) dx .dh
h
x
V(x,h) c’est l’amplitude qui sort en (x,h)
y
et qu’est ce qu’on fait avec le poids ??
z
le travail a été fait par Fresnel, Kirchhoff et Helmoltz :
x
P
considérations mathématiques et physiques et nos approximations
avec une amplitude incidente (x,h) et une transmission pupillaire T(x,h) ça donne
 z (x , y ) 
1
i . .Z


T (x ,h ) . (x ,h ) .

exp ( i .
2

. r (x , h, x , y ) ) . dx .dh
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 05
on explicite r(x, h,x,y) (Pythagore)
r (x , h , x , y ) ) 
(x  x ) 2  ( y  h ) 2  Z 2
onde
incidente
22
Yves Rabbia
ça redevient presque humain
pupille diffractante
transmission
écran
T(x,h)
d'observation
h

x
y
x
et avec x,y,x,h << Z
r Z 
on a :
(x  x )  ( y  h )
2.Z
2
i
 z (x , y ) 
2
e 
.Z
i . .Z

2
z
par suite :
T (x ,h ) . (x ,h ) . exp ( i . .
2
2
(x  x )  ( y  h )
 .Z
x,y
z
Z(x,y)
) . dx .dh
pas belle la vie ?? et c’est pas fini le bonheur
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 06
i
2
.Z
e 
 z (x , y ) 
i . .Z

23
Yves Rabbia
quelques manipulations
T (x ,h ) . (x ,h ) . exp ( i . .
2
2
(x  x )  ( y  h )
.Z
) . dx .dh
cette formulation est horrible, et fait mal à la tête (même pour des matheux ??)
pour plus de convivialité il est interessant d’exhiber son architecture
 z (x , y )   coeff  .
ce qui s’ecrit aussi

Machin (x ,h ) . Truc (x  x , y h ) . dx .dh
 z (x , y )   coeff  .  Machin(x , y )
   Truc (x , y )
explicitons :
Machin = amplitude complexe sortant de l’ecran diffractant
Truc = exponentielle complexe quadratique exprimant un effet de phase au point (x,y)
induit par l’addition des ondes issues de l’ecran diffractant.
C’est une sorte d’operateur, transformateur de phase (voir manips claude)
on note DZ(x,y) et on appelle operateur propagation de Fresnel le produit coeff x truc,
et on a
 z (x , y )   Machin(x , y )
   DZ (x , y )
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 07
i
2
.Z
e 
 z (x , y ) 
i . .Z

T (x ,h ) . (x ,h ) . exp ( i . .
24
Yves Rabbia
autre approche pour Z(x,y)
2
2
(x  x )  ( y  h )
 .Z
) . dx .dh
(x,y) = amplitude arrivant sur l’ecran diffractant
avec source ponctuelle à l’infini et sur l’axe on a (x,h) = A
(onde plane)
maintenant on developpe l’integrand
i
 z (x , y ) 
2
A .e 
.Z
. exp ( i . .
i . .Z
x
2
y
 .Z
2
)

T (x ,h ) . exp ( i . .
(x
2
h
 .Z
2
) . exp ( i .2 .
horrible, mais là encore on reconnait une architecture familiere
2
2

(x h )

 z (x , y )  coeff . TransFouriée de T (x ,h ) . exp ( i . .
)

.
Z


y
x
avec les variables conjuguées
et
 .Z
 .Z
c’est la Transformée de Fresnel de T(x,h)





( x .x  y .h )
 .Z
) . dx .dh
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Yves Rabbia
diffraction_ la machinerie algébrique _08
on peut reconnaitre la physique qui est derriere la formule
z ( x , y ) 
A .e
.
i.

2

.z
i.


. x2 y2
 .z
.e
i . .z
T ( x , h ) .e
i.




2.
. x 2 h2
i .
. x .x  y .h 
 .z

.
z
.e
. dx .dh
ici on voit que la phase évolue avec la distance entre
la pupille diffractante et le plan d'observation
l'integrale, c'est la TF de cette fonction
là c'est la dilution de l'énergie avec la propagation des ondes spheriques
et les facteurs exponentiels à phase quadratique ??
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Yves Rabbia
facteurs de phase quadratique ?
diffraction_ la machinerie algébrique _ 09
il s'agit de voir la physique portée par les facteurs
e
i.
  2
. x  y 2 
 .z 

et
e
i.
  2
. x h 2 
 .z 

la clef est : écart entre sphère et plan tangent
à deux dim ça fait h ( x , y ) 
x,h
x
2
y
2.R
x2
h( x ) 
2.R
2
h(x)
x
x,y
z
z
z
r =z+h, le "h" se manifeste (pour les deux plans)
dans la phase 2.chemin/ d'où
2  x 2  y 2 
e
i.
.
 
2.z


e
i.


. x2 y2
 .z

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diffraction_ la machinerie algébrique _ 10
la transformée de Fresnel c'est bien, mais ce n'est pas très gracieux.
Heureusement il y a un coup magique parachuté :
la transmission complexe d'une lentille de focale F s'exprime par :

i .
. x 2 h2
 .F
LF ( x , h )  e


si l'écran d'observation est à la distance F de l'écran diffractant
et si derrière l'écran diffractant (pupille) on place une lentille mince de focale F,
la transmission résultante sera G(x,h ) = T(x,h).LF(x,h)
Ainsi dans le plan à la distance F on aura l'amplitude complexe
 F (x , y ) 

T (x , h ) . e
i .




y
 x



 i .2. . 
.x 
.h 
. x 2 h 2
i.
. x 2 h 2
 .F  . dx .dh
  .F
 .F
. e  .F
.e
ce qui se réduit à la TF de T(x,h) aux points (x/z, y/z)
En définitive , on a :
i.
2
A .e 
F ( x , y ) 
i . .F
.F
.e
i.



. x2 y2
ˆ(
 .F
.T
x , y )
.F .F
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diffraction_ la machinerie algébrique _11
Yves Rabbia
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résumé
connaissant l'amplitude complexe sortant d'une ouverture diffractante,
placée en « z »
je sais calculer l'amplitude complexe en tout point d'un plan
situé en « z+ Z » sur l'axe de propagation
pour cela deux approches possibles
1. convolution avec l'opérateur propagation
2. transformée de Fresnel
si j'ajoute une lentille de focale F et que j'observe à la distance F
la transformée de Fresnel se réduit à une transformée de Fourier
(avec les variables conjuguées qui vont bien)
et si l'onde incidente n'est pas plane ?
la forme du front d'onde se traduit par une fonction de phase
qu'on inclut dans la transmission de l'écran diffractant
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diffraction_ la machinerie algébrique _12
Fresnel pur jus (juste la pupille)
résumé pictorial
h
 0 (x ,h )
2
.Z
e 
 Z (x , y )  [ 0 (x , y ).T (x , y )]  [
iZ
.e
i.
 Z (x , y )

(x 2  y 2 )
Z
]
2
.Z

i.
(x 2  y 2 )
e

Z
 Z (x , y ) 
.e
iZ

TF [ 0 (x ,h ).T (x ,h ) . e
Fourier (foyer lentille)
 0 (x ,h )
i.
h
T (x ,h )
ou aussi
i
.Z
x
i.
(x 2  y 2 )
e 
 F (x , y ) 
. e Z
iZ
TF [ 0 (x ,h ).T (x ,h ) ] uv  yx//FF
y
 F (x , y )
F

z

( x 2  h 2 ) u  x / F
Z
] v  y / F
 F (x , y )  [ 0 (x , y ).T (x , y ) . LF (x , y )]  [DZ (x , y )]
2
x
Z
ou aussi
i
y
T (x ,h )
x
 Z (x , y )  [ 0 (x , y ).T (x , y )]  [DZ (x , y )]
i
29
Yves Rabbia
x
z
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 12
source ponctuelle sur l’axe et à l’infini :
l’intensité observée au plan focal est la réponse à un Dirac
autrement dit la réponse impulsionnelle pour la pupille considérée
pupille
infini
reponse impulsionnelle
onde
incidente
lentille
focale F
note : la pupille n’est pas forcément connexe
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illustration : observables
on va en calculer deux
Yves Rabbia
exemples de reponses impulsionnelles
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illustration : le montage utilisé pour voir des reponses impulsionnelles
pupille
diffractante
pupille
d’entrée
d’un instrument
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33
Yves Rabbia
pupille circulaire, diamètre D, longueur d’onde 
x

h
y
h
x
(  / 2R)

1
T (x ,h )  ( ) ;   x 2 h 2
D
q
I (q )  Tˆ(
)
F

2.J1(
x
x
q
2
y
 .D .q
)
 .F
h

x
R
2

2.J1( Z )
(Z )
2
 .D .q
(
)
 .F
le premier zero de J1 est à Z= 3.83 (c'est comme ça , c'est les maths)
distance à l'origine du premier zero : q0
3.83  .F
F
q0 
.
 1.22

D
D
0 q0
x
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deux ouvertures circulaires, diamètre D, separation B

B
B
T (x ,h )  ( )  [  (x  )   (x  )]
D
2
2
B .x
B .x

i
2

.

i
2

.
ˆ ( q ) . e
2F  e
2F
 (x )  

F

x
y
h
x




B .x 

I (x , y )  2 .Airy (D, , F ) . 1  cos( 2 .
)
F 

/B
/D
x
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Yves Rabbia
source ponctuelle , à l’infini, hors d’axe
phase en x = phase liée à l'inclinaison
de la surf d'onde (plane)
 (x )  
2.

. ( che min_ opt )  
2.

x,h
a0
. ( x .a 0 )
amplitude sortant de la pupille
T (x ,h ) .e
i .
2

.x .a 0
x
x0
avec a 0 
F
a
amplitude au foyer
x  x0
x  x0 y
x y
ˆ
ˆ
T(
,
) (
) T (
,
)
F F
F
F F
intensité observée
x  x0 y
ˆ
I (x , y )  T (
,
)
F F
x,h
2
a0
simple translation selon x
la PSF (reponse impulsionnelle) n’est pas modifiée
F
x,y
z
I(x,y)
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 13
on a vu :
relation objet-image_ 01
reponse impulsionnelle (PSF) invariante par
on pense à filtrage linéaire et relation entrée sortie
r(t) = s(t)
avec h = reponse impulsionnelle
et ici relation objet-image
* h(t)
I(x,y) = O(x,y) * R(x,y)
illustration au niveau du vecu sur le ciel :
image
objet
PSF : R
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 14
derivation (une variable):
relation objet-image_ 02
objet = collection de diracs ponderes par la brillance locale
O (a ) 
 O (ak ) .  (a  ak )
k
image = collection de reponses aux diracs ponderes
 (a  ak )  R (a  ak )
I (a ) 
 O (ak ) . R (a  ak )  convol
k
ak
discrete
R(x,y) =
et on peut la jouer en somme continue
 O (a') .  (a  a').da'
I (a )   O (a') . R (a  a').da'  O (a ) R (a )
O (a ) 
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 15
relation objet-image
I(x,y) = O(x,y)
*
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fonction de transfert_ 01
R(x,y)
c’est la description de l'image dans l'espace des coordonnées
en optique R(x,y) = Point Spread Function (fonction d'étalement du point)
fonction de transfert
c’est la description dans l'espace des frequences spatiales : un coup de TF
Iˆ(u ,v )  Oˆ(u ,v ). Rˆ(u ,v )
Rˆ(u ,v )
= fonction de transfert = TF de la réponse impulsionnelle
elle quantifie comment sont transmises les frequences spatiales
presentes dans l’objet ( spectre spatial Ô(u,v) )
spectre objet (source)
fonction de transfert
spectre image (transmis)
freq spat
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 16
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Yves Rabbia
fonction de transfert_ 02
optique de Fourier : PSF = TF(pupille) 2
fonct. de transfert = TF(PSF) = TF(TF(pupille) 2)
ce qui nous ramène (en gros) à :
fonct. de transfert = pupille  pupille
(Parseval-Rayleigh)
exemple : lunette ou telescope sans obstruction centrale
transmission = fonction camembert
PSF : Airy pattern
0 q0
x
1
-D/
1
h

Rˆ(u )  (  .u / D )
à une dimension Rˆ(u )  fonction 
(  / 2R)
u
+D/
R
x
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 17
fonction de transfert_ 03
exemple à 1 variable :
x
P (x )  ( )
D
ˆ ( D.a )
PSF  
2

1
D
( x/D)
l^
(u) l2
^

x
a
a
/D
/D
Rˆ(u )  (  .u / D )
Rˆ(u )  TF de la PSF
 .u
Rˆ(u )   (
)
D
frequence de coupure D/
1
-D/
u
+D/
il y a reduction du contenu en frequences du spectre spatial de l’objet
les hautes frequences (fins details ) sont perdues :
le systeme est un filtre passe-bas
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 18
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Yves Rabbia
fonction de transfert_ 04
Rˆ(u )  (  .u / D )
comment on s’en sert ???
1
exo : quelle fréquence spatiale de l'objet
sera transmise avec un gain 0.5
pour un télescope de 10 m, utilisé à 5 µm ?
-D/
1
réponse : D/2  1million.
Un million de quoi ? patate !
D/
u
D/2
de cycles / radian , on dit aussi rad-1
c'est quoi cette histoire de radian-1 ?
et quel rapport avec la pupille ?
pupille diamètre D,
lobe : /D angle en radian,
frequence u = 1/lobe en rad-1 = D/
ca indique combien de /D dans un radian
u
+D/
1 rad
/D
D
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Yves Rabbia
deux remarques importantes
h
x
remarque 1 :
la relation objet-image ne suppose rien
sur la forme de la pupille
celle-ci peut être diluée (domaine non connexe)
remarque 2 :
la convolution dans la relation objet-image implique
que la reponse impulsionnelle (reponse à un dirac)
est invariante par translation (décalage hors d'axe)
si tel n'est pas le cas, la relation de convolution
n'est pas valide
on ne devrait pas parler de fonction de transfert
en optique cette contrainte fixe le domaine d’isoplanetisme
domaine angulaire, dans lequel la fonction de transfert
ne depend pas de la direction de pointage
y
x
z
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 19
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fonction de transfert_ 05
autre exemple de fonction de transfert
pupille à deux ouvertures circulaires (derivation à une variable)
D’abord la PSF
x
B
B
x

x

P(x)
2 )  (
2)
P (x )  (
D
D
D
D
x
a 
F
a
PSF  Pˆ( )

2
2
i.
D
.
a

ˆ(
PSF  
) 1  1  2 Re ( e 



x
F
x
B
y
h
2
.a .(
ˆ (D .a ) . e


B B
 )
2 2
2
i.
2 B
.a .

2
e
i.
2 B 2
.a .

2

2
2 .B

i.
.a 
D
.
a


ˆ
)  2 . (
)  1  Re ( e
)





ˆ (D .a )  1  cos( 2 .B .a )
PSF  2 . 




2
/B
/D
a
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illustrations réalisées pendant l’école_01
source = bille chromée
éclairée par le soleil
instrument = telescope,
masque à deux ouvertures,
systéme dispersif (réseau)
webcam, ordinateur
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illustrations réalisées pendant l’école_02
à compléter par images de PSF avec manip d’Eric
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diffraction_ la machinerie algébrique _ 20
ˆ (D .a )  1  cos( 2 .B .a )
PSF  2 . 




2
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Yves Rabbia
fonction de transfert_ 06
/B
/D
a
fonction de transfert = TF de la PSF
encore un peu d’algebre
.u 
1
1
Rˆ(u )  PSˆF (u )  2.(
)    (u )   (u  B )   (u  B )
D
2
2


.u
.(u  B )
.(u  B )
Rˆ(u )  PSˆF (u )  2.(
)  (
)  (
)
D
D
D
illustration :
avec ce montage on peut sonder
Rˆ(u ) / Rˆ(0)
1
1/2
D/
des frequences spatiales gouvernées par la separation B des ouvertures
bien superieures à la frequence de coupure D/ liée à une ouverture.
B/
u
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résumé / conclusion
l’approche « optique géométrique » est très utile en ingénierie optique
mais elle ne donne qu’une information discrete et partielle
sur l’image formée et sur ses aberrations s’il y a lieu
l’approche « diffractive » permet d’avoir une description analytique
plus détaillée et plus complète, produisant une fonction continue
pour décrire la distribution d’intensité lumineuse qui forme l’image
elle utilise le formalisme de la Transformée de Fourier
très connu et très commode et qui permet de rattacher l’analyse
la formation de l’image à des outils courants dans le domaine
du traitement du signal
(en particulier la notion de Fonction de Transfert)
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une pause
qqs secondes pour récupérer
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une pause
qqs secondes pour récupérer
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une pause
qqs secondes pour récupérer
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