1) Notion réduite de causalité

1
de la causalité
Sortie les 11-12 mai 2004 au cours du séminaire PT à l’Ensam de Lille
2
Marc Ouziaux
Programme de PT-PT*
I.) ANALYSE ET CONCEPTION DES SYSTÈMES
II.) CONCEPTION ET COMPORTEMENT DES PARTIES
MÉCANIQUES DES SYSTÈMES
III.) CONCEPTION ET COMPORTEMENT DES SYSTÈMES
3
II.) CONCEPTION ET COMPORTEMENT DES PARTIES MÉCANIQUES DES
SYSTÈMES
II.1.) Mécanique des chaînes de solides
II.1.1.) Dynamique des solides à masse conservative
II.1.1.a) Caractéristiques d'inertie des solides
II.1.1.b) Cinétique
II.1.1.c) Principe fondamental de la dynamique
II.1.1.d) Représentation causale
II.1.2.) Analyse des mécanismes
II.1.2.a) Définitions
II.1.2.b) Étude des chaînes de solides indéformables
II.1.2.c) Formules de mobilité
II.1.3.) Résistance des matériaux
II.2.) Fonctions techniques
II.3.) Définition des ensembles mécaniques
II.4.) Approche Produit-Procédé-Matériau
4
Points du programme abordés :
II.1.1.d) Représentation causale
• variable d’état associée à :
- masse conservative,
- une raideur,
- un frottement visqueux ;
• relation de transformation (équations différentielles) ;
• représentations graphiques (graphe informationnel causal ou bond graph).
5
•
1) Notion réduite de causalité
•
2) Étude du processus
•
3) Étude de la commande
•
4) Conception du correcteur
•
5) Application
•
6) État d’un système
•
7) Approche par le graphe Informationnel causal
Variable d’état
6
1) Notion réduite de causalité
1) Notion réduite de causalité
2) Étude du processus
3) Étude de la commande
4) Conception du correcteur
5) Application
6) État d’un système
Variable d’état
7) Approche par le graphe Informationnel causal
Un système asservi possède deux parties essentielles :
- le processus que l'on commande :
une machine à commande numérique
tension
déplacement
un four à traitement thermique
débit de gaz
température
7
1) Notion réduite de causalité
2) Étude du processus
3) Étude de la commande
4) Conception du correcteur
5) Application
6) État d’un système
Variable d’état
7) Approche par le graphe Informationnel causal
- le dispositif de commande. Il a pour objectif d’imposer le
comportement du processus par inversion de causalité, quelle que
soit la nature de ce dispositif.
Il est donc évident que le dispositif de commande ne peut être étudié
sans avoir, au préalable, déterminé les caractéristiques du processus.
8
2) Étude du processus
1) Notion réduite de causalité
2) Étude du processus
3) Étude de la commande
4) Conception du correcteur
5) Application
6) État d’un système
Variable d’état
7) Approche par le graphe Informationnel causal
- Qu'est ce qu'un processus ?
C'est un assemblage d'objets fonctionnant selon la règle
de causalité.
- Règle de causalité
Il existe des grandeurs influentes et d'autres influencées, reliées entre
elles par des relations de transformation à l'intérieur d'un processeur.
La sortie ne dépend que des valeurs présentes et passées de l'entrée.
Ces relations sont explicitées par des équations différentielles
linéaires ou non. Elles présentent naturellement un ordre de
dérivation plus élevé sur les sorties que sur les entrées.
9
- On procède alors à la mise en équations. Étudions quelques exemples :
 u = R.i
relation rigide ou autoduale
indifféremment u ou i en entrée, elle n'est pas causale
d
J
 cm  cr
dt
qui peut encore s'écrire :
t
1
(t)
 (t  0)   (c m  c r )dt
J0
grandeur influencée
Toute équation différentielle impose entrée et sortie. C'est une
relation causale.
Cm : entrée
On ne peut pas indifféremment
choisir l'entrée ou la sortie.
d
J
 cm  cr  f
dt
:
sortie
Cr :
perturbation
10
1) Notion réduite de causalité
2) Étude du processus
3) Étude de la commande
4) Conception du correcteur
5) Application
6) État d’un système
Variable d’état
7) Approche par le graphe Informationnel causal
d
J
 cm  cr  f
dt
- On dit que la vitesse "intègre le couple"
Cm
- Si on a une équation différentielle avec des termes du
même ordre dans les deux membres, on dit que la
relation est semi-rigide.
Cr
-
1
f  J.p
+
Cm
+
-

- La représentation faite est satisfaisante sur le plan
mathématique. Elle aurait pu être mise sous une forme
"plus mécanicienne" :
Cr
1

J.p
f
11
di
 r.i  L  u  e
dt

entrée :
u
sortie :
i
u
+
perturbation : e
1
r  p.L
-
u
+
-
1
r  p.L
i
k
Cm
+
i
e
Cr

1
f  J.p
e
k
Les relations causales orientent le processus.
12
Remarques :
- Le processus décrit comporte une boucle mais n'est pas
pour autant un système asservi, c'est seulement un système
bouclé dû au principe des actions mutuelles, caractéristique
de tous les systèmes mettant en jeu de l’énergie.
- Si on avait dû étudier une dynamo, on aurait eu la même
équation différentielle, donc la même causalité. Il ne faut
donc pas permuter trop rapidement entrée et sortie ! Ce
sont les signes de certaines variables qui auraient été
modifiés, selon la convention que l’on se donne au départ.
13
Si le système est trop compliqué, on procède par identification à
une forme mathématique connue.
E(p)
?
S(p)
14
Conclusions :
On peut toujours, par mise en équation ou par identification,
associer une fonction de transfert au processus.
On est conduit à imaginer que l’entrée et la sortie sont facilement
identifiables.
15
1) Notion réduite de causalité
2) Étude du processus
3) Étude de la commande
4) Conception du correcteur
5) Application
6) État d’un système
Variable d’état
7) Approche par le graphe Informationnel causal
3) Étude de la commande
Le processus présente certaines caractéristiques ne respectant
pas le cahier des charges (précision, stabilité, rapidité).
On imagine d'inverser la causalité créée par le processus.
Si la relation est rigide et biunivoque, aucun problème !
Si la relation est causale, il faut imaginer selon un concept
d’actions mutuelles :
U
Processus



?
U
16

V
V
Capteur
On compare V par rapport à une référence Vréf ou
consigne.
Si l'on a l'information V = Vréf, c'est parfait, c'est ce qui est
souhaité !
par contre si V  Vréf, il faut pouvoir :
comparer  nécessité d'avoir un élément
de type soustracteur...
amplifier  nécessité de placer un élément
donnant un gain important17
Cr

Vréf
+
Ampli.

U
Processus
V
Capteur
Même fonction
que le capteur
Vréf
réf
K(p)
+
Cr

V

U
Ampli.
Processus
Capteur : K(p)
Réelle ou fictive
Pratiquement impossible de réaliser cette
condition, on essaie de réaliser au moins l’égalité
18
des gains statiques
On serait tenté de simplifier, car
réf
Cr
K(p)

Vréf
+
Ampli.
V

U
Processus
Capteur : K(p)
est équivalent à :
réf

+
V
Cr

K(p).Ampli.processus
mais tout sens physique à disparu !
19
Le système possédant deux entrées, on peut en profiter pour repréciser les deux fonctions de
transfert en poursuite et en régulation ainsi que la notion d’écart sur la sortie.
Cr
réf
K(p)

Vréf
+
V

U
Ampli.
Processus
Capteur : K(p)
+
-
Écart "vrai" ou écart sur la sortie

fonction de transfert en poursuite
réf

fonction de transfert en régulation
Cr
20
4) Conception du correcteur
Cr

Correcteur
Ampli.
1) Notion réduite de causalité
2) Étude du processus
3) Étude de la commande
4) Conception du correcteur
5) Application
6) État d’un système
Variable d’état
7) Approche par le graphe Informationnel causal

U
Processus
peu précis
peu stable
2

1
kc
2
p 
. 1 
p

2
2
p  n

(1


.p)
n

pas causal !
1
avec  très petit donc des pôles p = 

très éloignés de l'axe des
imaginaires et qui n'influeront donc
pas sur le système.
k lent
2
p
2
1
p
2
n
n
On gomme les imperfections
du processus
21
exemple
Cr
réf

+
V

Correcteur.processus
Correcteur PID
1
K c (1 
 K D p)
Ki p

Ki  2
n
Ki K D 
k
2
p2
1
p
n
2n
1

.p
1
2n
k.K c 1

Ki

22
Conclusions :
1) Notion réduite de causalité
2) Étude du processus
3) Étude de la commande
4) Conception du correcteur
5) Application
6) État d’un système
Variable d’état
7) Approche par le graphe Informationnel causal
Mais il ne faut pas croire que le correcteur peut tout corriger.
Meilleure est la conception du processus, moins de corrections,
il doit y avoir, donc mieux c’est !
Il reste donc à nos étudiants à toujours maîtriser les notions de
mécanique.
Il est donc important de distinguer entrée et sortie car pour
concevoir un système asservi, la commande aura pour règle de
création de vouloir inverser la causalité du processus.
23
1) Notion réduite de causalité
2) Étude du processus
3) Étude de la commande
4) Conception du correcteur
5) Application
6) État d’un système
Variable d’état
7) Approche par le graphe Informationnel causal
5) application
x(t)/équilibre
m
f
A priori évident :
k
xe (t)/équilibre
mx"=-k.(x-xe)-f.(x'-x'e)
La sortie se retrouve sur la variable ayant l'ordre de dérivation le
plus élevé, soit x(t).
Mais que choisir comme variable d'entrée ?
Xe(p)
f
1  .p
k
f
m
1  .p  .p 2
k
k
X(p)
24
Xe(p)
f.p
+
+
k
+
1
m.p 2
X(p)
-
Remarque 1 : La représentation est correcte sur le plan mathématique
mais incorrecte sur le plan physique. En effet un problème de
causalité se pose sur le schéma-bloc associé à l'amortisseur
Remarque 2 : Si nous avions choisi comme variables d'entrée et de
sortie x'e(t) et x'(t) (avec conditions initiales nulles), nous aurions eu
la même fonction de transfert globale :
L[x’e(t)]=pXe(p)
f
1  .p
k
f
m
1  .p  .p 2
k
k
L[x’(t)]=pX(p)
25
1) Notion réduite de causalité
2) Étude du processus
3) Étude de la commande
4) Conception du correcteur
5) Application
6) État d’un système
Variable d’état
7) Approche par le graphe Informationnel causal
mais une représentation détaillée conduit à :
L[x'e(t)]
f
+
+
-
k
p
+
1
m.p
L[x'(t)]
pour laquelle tous les schémas blocs respectent la règle de
causalité.
26
Conclusions :
1) Notion réduite de causalité
2) Étude du processus
3) Étude de la commande
4) Conception du correcteur
5) Application
6) État d’un système
Variable d’état
7) Approche par le graphe Informationnel causal
Si la conception du système asservi semble logique, on se rend
compte que le choix de la variable d'entrée n'est pas si évident que
cela.
L'état du système doit être caractérisé par le choix réalisé à travers
les variables retenues pour réaliser son étude.
Ces variables sont appelées variables d'état.
27
6) État d’un système
Variable d’état
1) Notion réduite de causalité
2) Étude du processus
3) Étude de la commande
4) Conception du correcteur
5) Application
6) État d’un système
Variable d’état
7) Approche par le graphe Informationnel causal
Énergie potentielle
État énergétique
du système
Énergie cinétique
caractérisé par un ensemble de variables constituant un
résumé du passé suffisant pour prédire l'évolution future.
Le modèle d'un processus se représente à partir de
variables d’état qui correspondent aux énergies accumulées
à un instant donné. Ce sont donc des variables douées de
mémoire : vitesse, effort....
28
Toute variable d'état est une grandeur continue au sens
mathématique du terme (système linéaire continu et invariant).
L'étude dynamique donne un éclairage sur :
• divers états d'un système et les changements d’états appelés
transitions,
• événements et conditions qui influencent le comportement du
système,
• évolution du système en fonction du temps.
29
Conclusion :
1) Notion réduite de causalité
2) Étude du processus
3) Étude de la commande
4) Conception du correcteur
5) Application
6) État d’un système
Variable d’état
7) Approche par le graphe Informationnel causal
Le choix d'un ensemble de variables d'état est la
première étape de modélisation d'un système.
30
7) Approche par le graphe informationnel causal
Solide S ayant un mouvement de translation
rectiligne suivant l’axe x g
R(S  S).x g  m.(G,S/ R g ).x g
c’est une force qui crée l’accélération d’une masse.
La grandeur d’entrée, influente, est donc potentielle : la force;
elle CAUSE une variation de la grandeur de sortie, influée, qui
est cinétique : la vitesse.
31
1) Notion réduite de causalité
2) Étude du processus
3) Étude de la commande
4) Conception du correcteur
5) Application
6) État d’un système
Variable d’état
7) Approche par le graphe Informationnel causal
La relation causale met donc en évidence que la dérivée de la
grandeur de sortie : la vitesse, est fonction de la grandeur
d’entrée : la force, ou encore que la grandeur de sortie est
une fonction intégrale de la grandeur d’entrée.
Le processeur associé est donc un accumulateur d’énergie
cinétique avec une relation causale (unilatérale ou orientée).
32
Schéma Bloc causal
(C.I. nulles)
Élément Mécanique processeur (GIC)
f(t)
m
f(t)
Rc
v(t)
v(t)
Loi mécanique associée
dv( t)
f ( t)  m
dt
Relation causale
temporelle : Rc
dv(t) 1
 f (t)
dt
m
T
1
v(T)  v(0)   f (t)dt
m0
Grandeur d’entrée :
Grandeur de sortie :
« potentielle »
« cinétique »
f(t)
v(t)
F(s)
1
m.s
V(s)
Relation causale
complexe (C.I. nulles)
1
V(s) 
F(s)
ms
Énergie Cinétique
accumulée de 0 à T
1
Ecin  m  v2  T   v2  0 
2
33
Et pour un volant d’inertie J en rotation autour d’un axe fixe ?
34
Schéma Bloc causal
(C.I. nulles)
Élément Mécanique processeur (GIC)
C(t)
J
c(t)
(t)
Rc
(t)
Loi mécanique associée
d(t)
c(t )  J
dt
Relation causale
temporelle : Rc
1
J.s
(s)
Relation causale
complexe (C.I. nulles)
d(t) 1
 c(t)
dt
J
(T)  (0) 
C(s)
T
1
c(t)dt
J 0
Grandeur d’entrée :
Grandeur de sortie :
« potentielle »
« cinétique »
c(t)
(t)
1
(s)  C(s)
Js
Énergie Cinétique
accumulée de 0 à T
1
E cin  J 2  T   2  0 
2
35
Étudions les composants « classiques » : ressorts et amortisseurs
ressort
k
f(t)
f(t)
v1(t)
Ressort isolé d’où :
f (t)  k  x1 (t)  x 2 (t)
v2(t)
df ( t)
 k  v1 (t)  v 2 (t) 
dt
T
f (T)  f (0)  k   v1 (t)  v2 ( t ) dt
0
C’est une variation de longueur qui crée une variation d’effort.
La grandeur d’entrée, influente, est donc cinétique : la vitesse;
elle CAUSE une variation de la grandeur de sortie, influée, qui
est potentielle : la force.
36
La relation causale met donc en évidence que la dérivée de la
grandeur de sortie : la force, est fonction de la grandeur
d’entrée : la vitesse, ou encore que la grandeur de sortie est
une fonction intégrale de la grandeur d’entrée.
Le processeur associé est donc un accumulateur d’énergie
potentielle avec une relation causale (unilatérale ou orientée).
D’ou problème lors de son inversion !
37
Élément Mécanique
k
f(t)
v1(t)
Schéma Bloc causal (C.I.
nulles)
processeur (GIC)
f(t) v (t)
1
v2(t)
Rc
f(t) V1(s)
v2(t)
Loi mécanique associée
f (t)  k  x1 (t)  x 2 (t)
k
s
F(s)
V2(s)
Relation causale
temporelle : Rc
df ( t)
 k  v1 (t)  v 2 (t) 
dt
T
Relation causale
complexe (C.I. nulles)
F(s) 
f (T)  f (0)  k   v1 (t)  v2 ( t ) dt
k
 V1 (s)  V2 (s)
s
0
Grandeur d’entrée :
Grandeur de sortie :
« cinétique »
« potentielle »
v1(t)-v2(t)
f(t)
Énergie potentielle
accumulée de 0 à T
2
1
k  x1  T   x 2  T  
2
2
1
 k  x1  0   x 2  0  
2
E pot 
38
amortisseur
Les grandeurs d’entrée et de sortie peuvent être inversées,
il n’y a pas de causalité.
Le processeur associé est donc un dissipateur d’énergie
avec une relation rigide (bilatérale ou non orientée).
f
f(t)
v1(t)
Amortisseur isolé :
f(t)
v2(t)
f (t)  f  v1 (t)  v2 (t)
39
Élément Mécanique
f
f(t)
Schéma Bloc causal (C.I.
nulles)
processeur (GIC)
f(t) v (t)
1
v2(t)
v2(t)
f(t) V1(s)
R
v1(t)
Loi mécanique associée
f (t)  f  v1 (t)  v2 (t)
Grandeur « potentielle »
f(t)
F(s)
V2(s)
Relation rigide : R
Relation causale
complexe (C.I. nulles)
f (t)  f  v1 (t)  v2 (t)
 v1 (t)  v2 (t ) 
f
1
f (t)
f
Grandeur « cinétique »
 v1 (t)  v2 (t)
F(s)  f V1 (s)  V2 (s)
 V1 (s)  V2 (s) 
1
F(s)
f
Énergie dissipée de 0 à T
T
E dis 
 f (t) v(t) dt
0
40
Modulateurs
Un modulateur est constitué de deux processeurs dipôles duaux
dont les entrées et les sorties sont de même nature énergétique. On
trouvera donc comme modulateur parmi les éléments
mécaniques :

Les leviers

Les systèmes poulie(s) / courroie

Les engrenages

Les systèmes pignon / crémaillère

Les systèmes roue vis, vis écrou…
e1(t)
R
R
s1(t)
m
s2(t)
R
R
e2(t)
41
Exemples de modulateurs Modulateur en translation : levier
Élément
Mécanique
v2(t)
d2
f1(t)
d1
processeur (GIC)
f1(t)
R
R
Relations causales
temporelles : Rc
f2(t)
m
f2(t)
f1 (t)
v (t)
d
 2
 2 m
f2 (t)
v1 (t)
d1
v1(t)
v1(t)
f1 (t) v1 (t)  f 2 (t) v 2 (t)
R
R
v2(t)
42
Exemples de modulateurs Modulateur en translation :
engrenage, poulies et courroie
Élément
processeur (GIC)
Relations causales
Mécanique
temporelles : Rc
ω2(t)
d2
c1(t)
R
R
c2(t)
c1 (t )1 (t)  c 2 (t)2 ( t )
C2(t)
C1(t)
d1
m
ω1(t)
1(t)
R
R
2(t)
c1 (t)
2 (t)
d

 1 m
c 2 (t )
1 (t )
d2
43
Exemples de modulateurs Modulateur en translation/rotation :
pignon/crémaillère, roue/vis
Élément
processeur (GIC)
Relations causales
Mécanique
temporelles : Rc
f1(t)
C2(t)
ω2(t)
v1(t)
r
c2(t)
f1 (t) v1 (t)  c 2 (t)2 (t)
m
v1(t)
f1(t)
R
R
R
R
2(t)
f1 ( t)
2 (t)
1


m
c2 (t )
v1 ( t)
r
44
Exemple traité
f
ve(t)
m
k
vs(t)
45
f(t)
f(t)
f(t)
f1(t)
vs(t)
vs(t)
ve(t)
f1(t) f (t)
1
vs(t)
ve(t)
R
vs(t)
Rc1
f(t)
f(t)
vs(t)
Rc2
f1(t)
f1(t)
46
Bonjour GIC
ve(t)
R
Rc1
vs(t)
Rc2
47
Ve(s)
f
1
m.s
F(s)
F1(s)
Vs(s)
k
s
48
Ve(s)
f
F1(s)
ve(t)
R
Vs(s)
1
m.s
F(s)
Rc1
k
s
Rc2
Même sur un exemple aussi simple, bien que les
démarches soient proches, les représentations obtenues
diffèrent fortement. Difficile de passer de l’une à l’autre
49
directement !
Exercice à préparer
f3
k3
k2
m1
f1
- 1) Déterminer les variables d’état
- 2) Établir la représentation sous
F2(t) forme de blocs fonctionnels
m2
f2
X2(t)
Les paramètres sont définis à
partir des positions d’équilibre
k1
- 3) Écrire le processeur (G.I.C) des
composants créant le couplage entre
F1(t) les deux masses.
X1(t)
- 4) Compléter le G.I.C fourni
50
Rf2
Rf1
F1
Rm1
Rk1
Rf3
F2
Rm2
Rk3
Rk2
51
Éléments de réponse
F1
f1
L(x1' )
1
m1.s
k1
s
f2
k2
s
f3
F2
1
m 2 .s
k3
s
L(x '2 )
52
f3
k3
m2
F2(t)
f2
k2
v2
X2(t)
v1
X1(t)
m1
Relation causale
F1(t)
f1
Fk2
Rk2
k1
v2
v1
Rf2
Ff2
Relation rigide
53
Rf2
Rf1
F1
x’1
Rm1
Rk1
Rk2
Rf3
F2
x’2
Rm2
Rk3
54
C’était
de la causalité
Sortie les 11-12 mai 2004 au cours du séminaire PT à l’Ensam de Lille
55
Marc Ouziaux