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Laboratoire
Energétique
Explosions
Structures
GDR IFS 1er colloque
Nice 26-27 septembre 2005
Sur la réponse d ’une plaque couplée à un liquide et
soumise à une pression mobile.
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
André LANGLET (Mc), Jérôme RENARD (Pr)
Laboratoire Energétique, Explosions,
Structures
UPRES EA 1205
Université d’Orléans - IUT de Bourges
63, av. de Lattre de Tassigny
18020 Bourges cedex
liquide
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
p Déflagration
Champs d’application
Maîtrise des risques liés aux explosions
Particularités de l’étude
temps
• Chargement mobile  réponse calculée et mesurée pendant le temps
d’application de la pression de l’explosion
• Grandes vitesses du front de chargement
• Interaction fluide structure
p Détonation
Onde de choc
Déterministe
Reproductible
temps
p Chargement uniforme
détonation
temps
Objectif global
Réponse des structures aux explosions
2
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Chargement d’une plaque par une détonation (Brossard et al.)
E0
Déterministe & Reproductible
Création d’une onde de choc sphérique

Développement sur la structure d’un
chargement axisymétrique
A
Réflection de l’onde de choc sur la plaque
Pression réfléchie sur la plaque :
sin[ (t  t A  t  ) t  ]

Pext  Dp
exp[

k
(
t

t
)
t
]
A
 
sin[  t t ]

Distribution spatiale de la pression
Dp  , t  , t  , k , t A

• l’énergie : E0
• la distance :
fonctions de :
Pression en A
Paramètres
Dp+
k
tA
tt+
temps
3
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Similitude
en détonique : La loi de Hopkinson
Pour des
détonations
« homothétiques »,
les valeurs de
pression sont
identiques, et les
temps
d’applications sont
multipliés par
l’échelle des
longueurs.
Dp
Rbulle

I
dN
Dp

I
-
t+

t-
Dp+
kI
k Rbulle

kI
k dN
Dp-
kt

kt


Echelle :
Structure plane de 30 m de côté
épaisseur : 10 cm
(100 kg eq. TNT)
 100
3
Structure plane de 30 cm de côté
épaisseur : 1 mm
(10-4 kg eq. TNT)
en des points homologues, s et e
ont des valeurs identiques
4
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
PROBLEME
TRAITÉ
Pext
P
ext
t0 =P0ext
(Pression) t > 0
t00 > 0
(Force)
plaque
fluide
Pint
plate
fluide
Partie Vibratoire
Partie transitoire
Chargement p-V constant (“uniforme”)
détonation
P0 = 16 bar v = 5300 m/s t1 = 150 µs
q
R
pression
Z
structure
P0 = 8 bar
v = 930 m/s t3 = 250 µs
P0 = 4 bar
v = 720 m/s t5 = 350 µs
(valeurs typiques d’une détonation expérimentale)
fluide
structure
Chargement par une détonation
5
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
EQUATIONS DYNAMIQUES DE LA PLAQUE
EQUATIONS DU MOUVEMENT DU FLUIDE
z

Hypothèses : théorie des plaques
Hypothèses :
• Hypothèses de Mindlin – Reissner
• Non linéarités géométriques
z
Q1irrotationnels
p• théorie linéaire, mouvements
v
e
Variables cinématiques :
w
u
Ψ
Eq.dynamiques :
Cas « linéaire »
2w
h 2  div Q  N   w  pint  pext
t
6
e1
M
w2
M 2  dM
N 2  dN 2
12
M
2
Dynamique du fluide:
Plate M12  dM12
N
2
Equations
d’Euler linéarisées:
Conservation quantité de mouvement+
Q2  dQ2
conservation de la masse+loi de comportement
N1  dN1
M1  dM1
Q1  dQ1
pint
 2u
h 2  div N 
t
 2Ψ
I 2  div M 
t
M1
N1
• fluide compressible parfait
2
Q2
• déplacement dans le plan :
• rotation de la section droite :
• déplacement hors plan :
e
u
x
Fluid
 2
2 2
 : Potentiel des vitesses

c
f 
2
ttensions de membrane
h2 :
N  N ije j avec
 N ij   sij dz i, j  1,2
p  f
h 2
Pression
fluide
moments
tde flexionh :2
M  M ije j with M ij   zsij dz i, j  1,2
h 2
Efforts tranchants :
Q  Qi ei with Qi 
h2
s
iz
dz
i  1,2
h 2
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Système couplé
Equations de la plaque
 2u
• Modèle linéaire et
h 2  div N 
• Modèle avec grandes rotations
t
• Hypothèses de Mindlin
3 2
h  Ψ

 div M 
2
12 t2



h  w

div
Q

N

grad
w


 Pext
2
f t
t
interface
w
  
  
t
 z interface

Pint   f  
 t interface
 2
2

c
f Δ
2
t
7
Conditions d’interface
• Continuité des vitesses normales
• Continuité des efforts normaux
Equation du fluide
• Modèle linéaire (« acoustique »)
• Fluide parfait compressible
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Shéma de résolution :
Schéma aux différences finies
• Différences finies centrées
• Intégration explicite
• 2nd ordre
Calcul des incréments plastiques
notation :
(à chaque pas de temps & pour chaque noeud)
f f  f (t  Dt )
f  f(t)
f p  f (t  Dt )
‘’following value’’
‘’actual value’’
‘’previous value’’
Calcul de
e klE
Calcul de
s kl
Calcul de
s eq
interface ( Z = 0 ) :
wf 
 wp 
w
F 
 
 

G 
 f
 
 p
 
2







2
M

N

D
t
M
 
 
 
 
u
u
u
 f
 
 p
H 
 f 
 
p 
 I 
Dans le liquide ( Z < 0 ) :
 f  2   p  Dt 2 J
Fonctions spatiales discrétisées :
F  div Q  N  grad w  pext
G  c 2f Δ
node( i , 0 )
I  div M node(i ,0)
8
node( i , 0)
H  div N node(i ,0)
J
 c 2f Δ node(i , j )
Oui
Test :s eq
 s0 ?
Non
e eq 0
Calcul de
1  
0
0 
 0
1   0
0 
1 
M  
1  
1    0
P 0
  n e kl

Calcul de
0
 1 
 0
0
0
0 
1  
 0 P1  
0
0 
1 de e
Calcul
kl
N  
0
1    2 
1    0


0
 2 1  
 0
s  seq
Mise à jour
f : 0

Dt
2h
Dt
  c 2f
Dz
Calcul de
e kl  e klE  e klP
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Chargement par une détonation : influence de la charge
e rr (× 10-6 m/m)
Plaque circulaire :
-8 1
h=
× 10-3 m
e rr (×10
m/m)
rgauge = 0.3 m
20
E0 = 13 KJ
0
 = 0.3 m
-20
3
0
L = 0.5 m
0.6
Eau:
f = 1000
m.s-1
0.7
1.8
2.2
t (× 10-4 s)
rgauge = 0.3 m
50
kg.m-3
H -7 m/m)
0.33 m
e rr (×10
0
0.6
Dt = 1.2 × 10-7 s
1.0
1.4
1.8
e rr (× 10-6 m/m)
Dr = 1 × 10-4 m
× 10-4 m
0.5Dz = 10.6
0.7
E0 = 103 KJ
 = 0.3 m
-50
5 Paramètres numériques :
0
-5
1.4
e rr (× 10-6 m/m)
-2
0.5cf = 1500
0.6
1.0
2.2
t (× 10-4 s)
rgauge = 0.3 m
200
0
E0 = 820 KJ
 = 0.3 m
-200
0.6
9
1.0
1.4
1.8
2.2
t (× 10-4 s)
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Dispositif expérimental
Jauge
de déformations
10
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Corrélation essais – modèle : réponse linéaire
Paramètres : rB = 0,05 m ; dN = 0,283 m ; rjauge = 0,28 m
e (µm/m)
Épaisseur : h = 0,5 mm
MESURE
40
50
-40
MESURE
-50
530
590
650
710
t (µs)
e (µm/m)
40
Épaisseur : h = 5 mm
e (µm/m)
300
400
500
600
700 t (µs
430
530
630
730 t (µs
e (µm/m)
CALCUL
50
-40
CALCUL
-50
540
11
600
660
720
t (µs)
330
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Réponse linéaire
~ 1,5 bar
Dt = 35 µs
pext
r
dN = 0,283 m
rB = 0,05 m
~ 0,8 g eq. TNT
Solution obtenue avant
Réflexion sur un bord
t=0
e
r
h = 0,5 mm
e
t = 350 µs
t=0
t
e
r
r
12
40 µm/m
h = 5 mm
t = 350 µs
27 cm
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
255 µs
15 µs
temps
e
R
13
Rj
500 mm
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
14
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Résultats de simulations dans le domaine linéaire :
P0
V
plaque
fluide
Flexural stresses Σ(X)
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Présentation du cas stationnaire :
Z
Z
P0
Changement de variable : Y  X  V  T
V
Plaque : hypothèses
de Mindlin-Reissner
X
Y
Fluide : parfait &
compressible
2
d 
  
2 d W
2 d W


V

q



V

  PEXT Y 
2
2


Y
dY 
 Y  Z 0
 dY
2
Équations
de plaque
V2
d  d 

2  dW


q




dY 2 dY 2
dY


V2

 
2  





2
2
2 

Y
Z 
 Y
2
2
Équation
du fluide
Continuité
des vitesses
V
2
2
dW   


dY  Z  Z 0
2
1
cP
cP
q
cS
cP
cf


cP
f
 12
cp : vitesse des ondes de plaque - cs : vitesse des ondes de cisaillement - cf : vitesse des ondes acoustiques
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
V
2

 q 2 d ,YY W  q 2 d ,Y   V  ,Y  Z 0  P0 H (Y )
P0 H (Y ) 
1  V 2 d ,YY Ψ  θ 2 d ,Y W  Ψ   0
P0
2
 P0 ( H (Y )  12 )  Ps  Pa
(δ 2  V 2 )  ,YY Φ  δ 2  , ZZΦ  0


Vd ,Y W   , Z Φ Z0
Recherche de la solution par transformées de Fourier
Cas supersonique : V>
Ω  V 2  2 /
Système hyperbolique
Φ(Y,Z)=f(Y-Ω.Z)+g(Y+Ω.Z)
Équation caractéristique :
Cas subsonique : V<
 ( , Z )  C ( ) e

V 2 2 2
3
2
2
2
2 2

P( )    (q  V )(V  1)  q V  i
 (V  1)  q 2




Ω   2 V 2 / 





Système en partie elliptique
 Z
Équation caractéristique :
 3 2 2 2

V2 2 2
2 2
F     q V V 1 q V Sgn   
 V  1 q 2 
Ω





 
 
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
La solution transitoire converge vers la solution stationnaire au voisinage
du front de chargement
Cas d ’une force se déplaçant à la vitesse V=0.2
Cross-section angular rotation Ψ
Potential ΦZ=0 in the liquid at the interface
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Pression dans le liquide et son atténuation avec la profondeur
Cas d ’une force se déplaçant à la vitesse V=0.2
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Comparaison avec la simulation numérique :
0
X = 2000
X = 2000
0
DT = 400
V = 0.2
T = 5000
S(X,T)
2 analytique
T = 5000
-100
W(X,T)
analytique
0
-300
-2
2 numérique
numérique
-100
0
-300
-2
-80
-40
0
40
80
-80
-40
0
40
80
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Évolution de la forme de la réponse en fonction de la vitesse de chargement
Cas où  < q <1
Exemple : contrainte de flexion :
S(Y ) 
1 d
2 dY
V = 0.2
(V<)
V = 0.4
(<V<q)
V = 0.8
(q<V<1)
V = 1.2
(1<V)
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Université d’Orléans – EA 1205
Laboratoire
Energétique
Explosions
Structures
Risque
d'explosion
Réponse
dynamique des structures et des matériaux
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
MESURES DES DÉFORMATIONS
Problème :
Mesures dynamiques à hautes fréquences
Jauge VISHAY :
• Longueur de grille : LG = 0,8 mm
• Fréquence théorique : fmax = 675 KHz
Conditionneur SEDEME TS205 :
bande passante à -3 dB : [1,6 - 105] Hz
retard Dt (µs)
2
1
60
100
140
fréquence f (KHz)
180
atténuation DG (dB)
0
Erreur sur l’amplitude des déformations :
f (KHz) 40
80
120
160
200
e (%)
2,7
8,0 15,0
23,3
0
-2
-4
40
4 Etude expérimentale
80
200
fréquence f (KHz)
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Non linéarité géométrique et comportement
s eq
Tenseur des déformations élastiques :

1
e  uk ,l  ul ,k  z k ,l  l ,k   wk2,l
2
E
kl

Tenseur des contraintes élastiques
s kl 

E
E
E


1


e

e
kl
mm  kl
2
1 
Ep
s0
E

s0  90106 Pa
E  72109 Pa
E p  1.5 109 Pa
e eq
Matériau : approximation “bilinéaire”
partition des déformations :
e kl  e klE  e klP
(E : elastic - P : plastic)
Eq. de Prandtl – Reuss
Plastic strain increment :
Total plastic strain :
3 S kl
P
e 
 n e eq
2 seq
e klP 
P
n kl
N END
P

e
 n kl
S:
Deviatoric stress tensor
s eq :calculée avec le
Critère de Von – Mises
n 1
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Développement des ondes
sous un chargement uniforme en vitesse et en pression
Evolution spatio-temporelle des contraintes de flexion
2000
0
1 
2 X
X
DT = 400
7
5000
T
X = 0.2 T
5 les ondes se développent au voisinage du front…
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
plaque (1)
U1  u1  z1
U2  u2  z2
U3  w
U3 U3 (Hypothèses « grandes rotations »)
U1 U1 U2 U2
,

xk xl xk xl
xk xl
eij  nij  zmij
 Uk Ul Um Um 
1
ekl  


2  xl
xk
xk xl 
Avec :


eiz  1 qi
2

nij  1 ui / x j  u j / xi  w / xi w / xi Déformations de tractions
2
mij  1 i / x j  j / xi Déformations associées aux moments de flexion
2
Déformations associées aux efforts tranchants
qi  w / xi  i

Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
plaque (2)
 Uk Ul Um Um  1  
1
ekl  



s kl  smmkl (Loi de Hooke)
2  xl
xk
xk xl 
E

E (1  )e  e 
2
ij
kk ij
1 
s iz  E eiz
1 
s ij 
M ij 
Nij 
Qi 


h / 2

h / 2

h / 2
h / 2
h / 2
s ijdz
s izdz


EI (1  )m  m 
2
ij
kk ij
1 
 Eh 2 (1  )nij  nkkij
1 
  Eh qi
2(1  )
 zs ijdz 
h / 2



M  Mijeiej
N  Nijeiej
Q  Qi ei
Coefficient correcteur de cisaillement
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Equations du fluide

V
1 

p
t
F
Euler linéarisé


V   Petitsmouvements irrotationnels à potentiels des vitesses
p    F cF2 div U Loi de comportement (« Lamé » sans termes de cisaillement)
 
2
2


2 



 2  2
2  cF

t

x

z


2
« Eq. D’Helmoltz »
 
p fluide   f 


t


Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Chargement p et V constantes : influence de p
pext  35 bar z
Plaque circulaire :
pext
h500
= 1µs× 10-3 m
pext  50 bar
v
L = 0.5 m
e rr
Fluide (eau) :
cf = 1500 m.s-1
f = 1000 kg.m-3
L
r
t
r
H  0.33 m
H
Chargement extérieur :
v = 500 m.s-1
P0ext = 35 bar 0.20 m
Pext e=rr50 bar
(×
10-3
0.20 m
0.50 m
m/m)
pext  50 bar
4 numériques
Paramètres
pext  35 bar
6
Dr =2 1 × 10-4 m
Dz =01 × 10-4 m
Dt =-21.2 × 10-7 s
0
30
2
4
time t (× 10-4 s)
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique
Résolution numérique explicite par différences finies. Axisymétrique
Schéma aux différences finies :
Notations :
f p  f (t  Dt ) précédent
f  f(t) actuel
f f  f (t  Dt ) suivant
• Second ordre
• Intégration temporelle
 f  2   p  Dt 2 H
u f  2u  u p  Dt 2 I
w f  c11w  c12w p  c13  c14 p  c15F  c16G
 f  c21  c22 p  c23w  c24w p  c25F  c26G
Interface ( Z = 0 ) :
Domaine liquide ( Z < 0 ) :
 f  2   p  Dt 2 J
Fonctions « spatiales »discrétisées :
F  div Q  N  grad w   pext
H  div M 
node (i)
,
node (i)
, I  div N 
node (i)
,
G  c 2f Δ
node(i )
J  c 2f Δ
node(i , j )
Aspects théoriques et expérimentaux en détonique