Analyse d`algorithmes Notation O( )

Les algorithmes: complexité
et notation asymptotique
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Analyse d'algorithmes
Notation O( )
Comparer deux algorithmes
 Soient deux algorithmes A1 et A2
 Base de comparaison
 Mesure indépendante de l'implémentation : TAILLE
D'UN PROBLÈME (n)
 Temps d'exécution d'un algorithme = fonction(taille du
problème) i.e. f(n)
 Exemples :
 Taille d'une liste (recherche d'un élément dans une liste)
 Nombre de nœuds d'un arbre (impression d'un arbre)
 Taille d'un tableau (tri)
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Analyse d'algorithmes
Notation O( )
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Analyse d'algorithmes
Notation O( )
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Analyse d'algorithmes
Notation O( )
 Exemple: évaluer le temps d’ exécution d’algorithme
suivant:
Boucle externe
void TriSelection(int tab[MAXTAB], int n)
{
int PositionMin, temp,i,j;
for (i = n-1; i > 0; i--)
{
Boucle interne
PositionMin = i;
for (j = 0; j < i; j++)
{
if (tab[j] < tab[PositionMin])
{
PositionMin = j;
}
}
temp = tab[i];
tab[i] = tab[PositionMin];
tab[PositionMin] = temp;
}
}
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Analyse d'algorithmes
Notation O( )
 Exemple (suite)
Boucle externe
for (i = n-1; i>0; i--)
{
Coût b1
Coût i*a;
Coût b2;
}
/* PositionMin = i */
/* pour exécuter la boucle interne*/
/* pour l'échange de tab[i] et tab[PositionMin] */
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Analyse d'algorithmes
Notation O( )
 Exemple (suite)
b=b1 +b2
n-1
S = ∑ (ai + b)
i=1
(n-1)n
S=a
+ (n-1)b
2
a
a
S=
n2 + (b
)n - b
2
2
Le programme est O(n2)
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Analyse d'algorithmes
Notation O( )
Définition du O( )
 Nous dirons que f(n) est O(g(n)) s'il existe deux constantes
positives K et n0 tel que |f(n)| <= K |g(n)| pour tout n>n0
 Conclusion :
 Évaluer le coût d'un algorithme = Rechercher la fonction
g(n) qui est la plus proche au dessus ou égale a f(n)
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Analyse d'algorithmes
La recherche séquentielle
A.
Données pas triées




recherche(3) = 1 comparaison
recherche(10) = 11 comparaisons
recherche(12) = 7 comparaisons
recherche(13) = 11 comparaisons




meilleur cas = O(1)
pire cas = O(n)
en moyenne = O(n/2)
absences = O(n)
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Analyse d'algorithmes
La recherche séquentielle
B.
Données triées




recherche(1) = 1 comparaison
recherche(14) = 11 comparaisons
recherche(8) = 6 comparaisons
recherche(13) = 11 comparaisons




meilleur cas = O(1)
pire cas = O(n)
en moyenne = O(n/2)
absences = O(n/2)
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11
12
Analyse d'algorithmes
La recherche binaire

implantation en tableau = accès direct à n’importe quel
élément

en regardant tout de suite au milieu, on peut éliminer la
moitié des données
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Analyse d'algorithmes
La recherche binaire: 10?
1
2
3
4
6
8
9
10 11 12 14
11
n
9
10
5
n/2
9
10
2
n/4
10
1
n/8
11 12 14
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Analyse d'algorithmes
Algorithme récursif
1



2
3
4
6
8
9
10 11 12 14
récursion ?
conditions d’arrêt ?
convergence ?
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Analyse d'algorithmes
Algorithme récursif - récursion
1
2
3
4
6
8
9
10 11 12 14
X Є tab[debut..fin]




si x = tab[milieu] (condition d’arrêt)
si x < tab[milieu] et x Є tab[debut..milieu-1]
si x > tab[milieu] et x Є tab[milieu+1..fin]
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Analyse d'algorithmes
Algorithme récursif - conditions d’arrêt
1


2
3
4
6
8
9
10 11 12 14
X € tab[debut..fin] si debut > fin
X Є tab[debut..fin] si x = tab[milieu]
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Analyse d'algorithmes
Algorithme récursif - convergence
1
2
3
4
6
8
9
10 11 12 14
9
10
9
10
11 12 14
10
18
Analyse d'algorithmes
Algorithme récursif
1
2
3
4
6
8
9
10 11 12 14
int rechercheBinRec(int tab[ ], int val, int debut, int fin)
{
int milieu;
if (debut > fin) return -1;
else
{ milieu= (debut + fin)/2;
if( val == tab[milieu]) return milieu;
else
{
if( val < tab[milieu])
return(rechercheBinRec(tab,val,debut, milieu-1));
else
return(rechercheBinRec(tab,val,milieu+1,fin));
}
}
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}
Analyse d'algorithmes
Algorithme récursif
Recherche séquentielle (données triées)




Données présentes: O(n/2)
Données absentes: O(n/2)
Recherche binaire (données triées)
 Données présentes: O(log n)
 Données absentes: O(log n)
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Analyse d'algorithmes
Algorithme récursif


Il vaut bien mieux implanter cet algorithme de
manière itérative, car
la fonction se rappelle jusqu'à trouver la position désirée,
puis seulement on effectue les dépilages, alors que l'on
n'a plus besoin des états intermédiaires qui ont été
mémorisés par la récursivité puisque le problème est
résolu.
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