Algorithme

Lundi 4 octobre 2010
Comparaison de 4 algorithmes pour le problème
du vertex cover
François Delbot
Laboratoire d’Analyse, Topologie, Probabilités (CNRS - UMR 6632)
Université d'Aix-Marseille 1
Post-doctorat financé par l'ANR Boole
Thèse préparée au laboratoire IBISC de l’université d’Évry Val d’Essonne
Journées Graphes et Algorithmes 2010
Travaux réalisés en collaboration avec :
Étienne Birmelé (Laboratoire Statistique & Génome, Université d’Evry)
Christian Laforest (LIMOS, Université Blaise Pascal de Clermont-Ferrand)

Introduction
•Algorithmes exacts
•Théorie de la complexité
–Problèmes polynomiaux (temps raisonnable)
–Problèmes NP-complets (temps déraisonnable)
• Algorithmes d’approximation
–Solutions dégradées
– Rapport d’approximation en pire cas (rapc)
–Objectif : trouver le meilleur rapc
•Rapc ne prend pas en compte toutes les exécutions possibles
[email protected] 2

Présentation du problème
Une couverture Une couverture optimale
Un problème NP-complet
Le problème du Vertex Cover
[email protected] 3
≈log()

Un algorithme online
OLVC [Demange et Paschos, TCS 2005]
•Propriété : le VC construit est minimal pour l’inclusion.
•Rapport d’approximation en pire cas : (atteint)
4 5 3 21 6
12
3456
[email protected]
Modèle on line : Sommets dévoilés un par un. Décision irrévocable pour
chaque sommet révélé.
Algorithme : u est dévoilé. Si u possède un voisin dévoilé qui n’est pas
dans la solution, on sélectionne u.
Le problème du Vertex Cover
4

L’algorithme online et les étoiles
[email protected]
Exécution en pire cas
Le sommet central est dévoilé en premier
cela concerne (n-1)! ordres de révélation Le sommet central n’est pas dévoilé en premier
cela concerne (n-1)(n-1)! ordres de révélation
Dans les autres cas
Considérons le cas des étoiles à n sommets
Sous hypothèse d’équiprobabilité
Probabilité 1/n Probabilité n-1/n
Espérance de la taille de la solution retournée:
Le problème du Vertex Cover
5