8 Mo - La Cosmologie précise, par Philippe Magne

Les trois Omégas de l’Univers
plus ou moins le Quatrième ?
Philippe Magne
2004
1
TABLE DES MATIERES
Introduction
Rappels
Principe cosmologique 5
Loi vitesse distance 6
Géométrie de l’espace 7
Equivalent du plan 9
Dynamique de l’expansion 8
Energies
Facteur d’échelle et
Mécanique classique 11
Support de calcul 12
Convention 13
Calcul de R(t)et a(t) 14
Densité critique 17
Exemple de calcul simple 18
Pression du fluide cosmique
Quand la pression
intervient-elle? 24
Les 3 énergies qui
gouvernent l’expansion 26
Les 3 époques où chaque
énergie fut dominante
Première 28
Deuxième 29
Troisième 30
Le rayonnement
électromagnétique 31
Oméga du rayonnement 34
Quelques chiffres 36
A MEMORISER 38
La matière 39
Conservation de la matière
et nullité de la pression 41
Oméga de la matière 45
L’énergie répulsive du vide
46
Oméga de cette énergie 47
Pression négative 48
Expansion exponentielle 50
Création d’énergie et vide
quantique 51
Synthèse des trois omégas
Synthèse 55
Evolution et dominance 59
Temps cosmique et facteur
d’échelle 60
Le quatrième oméga 61
Formule donnant 1/H0 63
Le quatrième Oméga et la
courbure de l’espace 66
Futur de l’Univers 69
Conclusion 78
2
Introduction
Trois sortes d’énergies occupent l’espace.
Elles gouvernent l’expansion par le
truchement de l’interaction gravitationnelle
du fait de l’équivalence masse /énergie selon
la célèbre formule E=mc²
Ce sont les sources du champ de gravitation
comme classiquement les masses.
Le fluide cosmique possède une pression
exprimable comme une densité d’énergie
qui s’ajoute algébriquement aux autres.3
RAPPELS
4
Principe cosmologique
Homogénéité et Isotropie
Les propriétés géométriques et
physiques de l’Univers sont, à un temps
cosmique donné, les mêmes en tout
point et dans toutes les directions
autour de chaque point.
1)Vraisemblance confortée par le projet
2dFGRS, 200000 galaxies observées.
2)Isotropie constatée parfaite du FDC
par le satellite COBE de la NASA (1989)
5
Loi vitesse / distance
vitesse récession = H x D
H : constante de Hubble
Elle l’emporte sur l’agitation locale des
galaxies à partir d’une distance de
100 millions d’AL
où la vitesse de récession est de l’ordre
de 2000 km / s
Ainsi, la limite inférieure de l’univers
relativiste est elle à
100 millions d’AL ou environ 30 Mpc
6
Géométrie de l’espace
Sa courbure dépend de son contenu
énergétique
Il s’exprime localement par la somme:
Energie cinétique + Energies potentielles =-K
K
Positif
Nul
Négatif
Géométrie
Riemann
Euclide
Lobatchevsky
Bolyai
7
Dynamique de l’Expansion
Facteur d’échelle en fonction du temps
8
Géométrie de l’espace
Equivalents du plan
9
ENERGIES
10
Facteur d’ échelle
et Mécanique classique
En calculant la chute radiale libre d’une
particule d’épreuve dans un champ de
gravitation homogène on obtient l’équation
du Facteur d’échelle en fonction du temps.
Ce calcul mène aux énergies qui
gouvernent l’expansion
Cela revient à prendre en compte un petit
échantillon d’univers,ce qui donne
l’équation différentielle concernant tout
11
l’Univers
Support de calcul
Le champ dû aux couches extérieures au trait gras est
nul, la force d’attraction agissant sur la particule
d’épreuve est due à la masse contenue dans les
couches intérieures
12
Conventions
La petite particule d’épreuve de masse m,
par exemple 1kg, est sur le cercle en trait
gras, la mécanique classique permet de
calculer son mouvement par rapport au
centre de la figure. Par convention nous
adoptons le même symbole pour désigner
la distance de la particule au centre de la
figure et pour désigner le facteur d’échelle
R( t )
m x accélération = Force attractive
13
Calcul de R ( t ) et de a ( t )
14
15
16
17
18
19
20
Pression du fluide cosmique
Précisons que le mot fluide est un générique qui
convient assez bien pour évoquer les
métamorphoses du cosmos lorsque température
et pression ont énormément évolué de concert
avec l’expansion de l’espace
RAPPEL
Classiquement, la pression est une conséquence
de l’impact des molécules sur les les parois d’un
récipient.
Pour chiffrer cet effet la pression est définie
comme la force appliquée par unité de surface
21
Cette force n’existe que si la pression est plus
grande d’un côté que de l’autre de la paroi
Dans l’Univers uniforme tous les endroits
sont pareils et la pression est partout la même, il
n’y a pas de gradient de pression, aucune force
comme celle évoquée ne peut se manifester
Alors, on peut se poser la question:
Comment la pression peut-elle affecter
l’expansion?
La réponse est que la pression est une forme de
l’énergie, et que toute forme d’énergie est une
source de gravitation à cause de l’équivalence
masse énergie exprimée par la formule E = mc²
22
Traduite dans le langage de la Relativité Générale, la
pression contribue à courber l’espace-temps comme le
fait la matière. Elle a aussi un effet exactement opposé
à celui auquel on pourrait s’attendre, la pression si elle
est positive ralentit l’expansion en accroissant la
gravitation.
Lorsqu’elle est négative elle accélère l’expansion.
Un moyen assez simple de mettre en évidence le
caractère énergétique de la pression est de prendre
en compte l’analyse dimensionnelle suivante:
P 
Force
F
F L
Energie



Surface
Volume
L2
L2  L
23
Quand la pression intervient-elle dans
la gouvernance de l’expansion ?
Au temps présent nous avons signalé que la vitesse
de récession relativiste l’emporte largement sur les
vitesses d’agitation aléatoires des galaxies lorsque
la distance dépasse 100 millions d’AL.
Cela veut dire que d’un point de vue cosmologique,
où les distances se chiffrent par dizaines de
milliards d’AL, on peut considérer que la pression
est quasi nulle
24
Il en allait tout autrement dans un passé lointain
où l’Univers était très chaud et peuplé de
particules ultra-relativistes et de photons comme
nous le verrons.
En ce qui concerne le futur, la découverte de
l’accélération de l’expansion attribuée à l’énergie
répulsive du vide donne à penser que la pression
du fluide est de ce fait obligatoirement négative ce
qui sera démontré
25
Les 3 énergies qui gouvernent
l’expansion
Ce sont les 3 ingrédients du fluide cosmique :
le rayonnement électromagnétique, la matière
sous toutes ses formes,baryonique chaude et
froide, noire, l’énergie répulsive du vide. Leurs
vestiges actuels et les lois de la physiques
permettent de reconstituer leurs influences
respectives, leurs dominances. On les exprime
par les ”3 omégas”rapports de leurs équivalents
massiques à la densité critique.
Un quatrième oméga est la différence entre 1 et
la somme des 3 autres omégas
26
Les résultats d’observations les plus récents et
les plus précis ont été publiés par la mission
Wilkinson Microwave Anisotropy Probe WMAP
http://map.gsfc.nasa.gov/m_mm.html
parmi ceux-ci deux omégas et la température du
bruit cosmique ( Cosmic Microwave Background )
Cette mission est très audacieuse, le satellite
d’observation a été placé au point L2 de Lagrange
du système Terre Soleil
27
Rappel succinct des 3 époques où
chaque énergie fut dominante
Première époque ( tout de suite après le Big Bang )
Le milieu est assimilable à un nuage de photons et
de particules ultra – relativistes en équilibre
thermique. On l’appelle Corps Noir Cosmologique
Il est à très haute température, sa pression est
extrêmement élevée sans commune mesure avec
les pressions auxquelles nous sommes habitués
Il est opaque car le libre parcours des photons est
très petit, en fait, c’est un plasma ultra – dense.
Ce corps noir se refroidit tandis que l’espace se
28
dilate comme le facteur d’échelle
Deuxième époque
Il s’agit du temps présent où l’Univers est devenu
transparent. Elle commence lorsque les électrons
sont capturés par les protons pour former
l’hydrogène primitif, la température ayant
suffisamment baissée pour que la désionisation se
produise. Il s’ensuit la fragmentation du milieu pour
aboutir aux grandes structures et amas de
galaxies que nous observons aujourd’hui
29
Troisième époque
Elle concerne le futur l’Univers.
La découverte de l’accélération de l’expansion
par les groupements : Supernova Cosmology
Project et High z Supernova Team conduit à
penser que l’expansion pourrait être gouvernée
par une énergie répulsive du vide ( quantique?)
dont la pression serait négative . Il pourrait
s’ensuivre une croissance exponentielle de
l’espace dont une conséquence surprenante est
la création concomitante d’énergie.
Rappelons que densité d’énergie et pression sont
des paramètres qui entrent dans une équation
d’état thermodynamique faisant intervenir 30
température et volume
Le rayonnement électromagnétique
Une de ses caractéristique, outre son énorme
température ( peu après le Big Bang ),c’est sa
pression qui est égale au tiers de sa densité, alors
que pour les gaz, dans notre environnement
terrestre, elle est plutôt de l’ordre de 10 –12
Cela résulte de l’isotropie du milieu cosmique et
des propriétés du photon. La figure de la page
suivante montre, à partir d’un volume virtuel
unitaire et cubique comment il se peut que la
pression soit le tiers de densité d’énergie, on se
souviendra aussi que la quantité de mouvement
transportée par le photon est égale à son énergie
divisée par la vitesse de la lumière
31
32
Nous allons maintenant calculer la densité et la
pression avec, comme donnée de départ, la
température T du CMB au temps présent
mesurée par WMAP 2.725K
33
34
35
Quelques chiffres concernant le rayonnement
A ne pas confondre avec la contribution au potentiel gravitationnel
Pression
J / m3
Epoque
Température
Red Shift
z
a
Densité
J / m3
0
1
4.17x10-14
1.39x10-14
1089
0.92x10-3
5.89x10-2
1.96x10-2
378000
ans
2971
3276
R=M
3.05x10-4
4.81
1.6
55000
ans
8934
4.87x109
2.05x10-10
2.36x1025
7.87x1024
1
seconde
1.3x1010
°K
Présent
2.725
36
Pression du rayonnement en fonction de a
37
A MEMORISER
En gros la température du corps noir
cosmologique décroît comme l’inverse du
facteur d’échelle
2.725
T
a
Ou comme l’inverse de la racine carré du
temps cosmique exprimé en secondes
1.3 10
T
ts
10
38
La matière
39
40
41
42
43
44
45
L’énergie répulsive du vide
La nature de cette énergie est encore inconnue,
c’est un grand chantier pour la physique
On peut néanmoins modéliser sa contribution au
potentiel gravitationnel par la constante
cosmologique 
Einstein l’avait introduit dans l’intention d’annuler
la gravitation par une force répulsive qui devait
être proportionnelle à la distance pour établir
un équilibre
46
Cet équilibre est instable !
En ajustant  on peut obtenir exactement l’effet
répulsif qui accélère l’expansion en
conformité avec les observations.
Constatons que si cette force est
proportionnelle à la distance, elle l’est aussi
au facteur d’échelle a
2
Le potentiel dont elle dérive est en a
Par une méthode de concordance WMAP a
trouvé l’oméga de cette énergie : 0.73
La contribution au potentiel gravitationnel est
2
2
donc :
  a  0.73  a
47
2
2
48
49
50
51
52
Transition de la dominance
MatièreEnergie répulsive du vide
53
Somme
m
0.27
2
  a 
 0.73a 2
a
a
54
Synthèse des trois omégas
C’est la somme S des trois contributions au
potentiel gravitationnel.
Elles sont exprimées par un oméga (nombre pur) et
par le facteur d’échelle normalisé à l’unité
m
 r 0.27
0.000082392
2
2
S
  a  2 
 0.73a 
a
a
a
a2
55
Cette somme S est minimum lorsque sa
dérivée par rapport à a est nulle
0.27
0.000164784
 2  1.46a 
0
3
a
a
a  0.569769
Il est possible de situer ce minimum dans le
temps cosmique, la façon de mener le calcul
sera montrée un peu plus loin. Cela s’est produit
il y a 6.593 x 10 9 ans, c’est à dire à peu près à la
moitié de l’âge de l’Univers
56
Il est également possible de connaitre le red shift
de la lumiére qui fut émise à cette époque
sachant que :
1
1
a
 z   1  z  0.755
1 z
a
L’égalité Rayonnement = Matière s’obtient en
résolvant l’équation :
0.000082392 0.27

2
a
a
a  3.05 104  z  3276
Cela s’est produit 55000 ans après le Big Bang
57
L’égalité Matière = Energie répulsive du vide
s’obtient en résolvant l’équation :
0.27
 0.73a 2
a
a  0.7178  z  0.393
Cela s’est produit il ya 4 x 10 9 années
Voir, page suivante l’évolution des trois contributions au
potentiel gravitationnel et leur somme S.
Dominance dans l’ordre, après le Big Bang,le
rayonnement, la matière, l’énergie répulsive du vide
58
59
Temps cosmique et Facteur d’échelle
Pour obtenir le temps cosmique compte tenu des trois
omégas, il suffit de compléter l’équation ( 6 )
60
61
62
63
L’ordinateur calcule facilement l’intégrale ( 30 )
64
65
Rappel
k
Le quatrième Oméga
 k  1   m      r  1  t (33)
WMAP donne pour  t
1  t  1.04
Donc le quatrième Oméga est négatif
66
Quelle en est la conséquence ?
Si ce résultat est confirmé, il se
pourrait alors que la géométrie de
l’univers soit courbe et fermée, bien
que l’expansion soit prévisiblement
éternelle !
La courbure est cependant très faible
comme nous allons le montrer
67
Au temps présent la courbure est
donnée par l’expression :
2
0
2
H
 k
c
Pour H 0  71km / s  Mpc
et
54
 k  0.02
2
on trouve: 10 m
soit un rayon de courbure de l’ordre de :
100milliards d ' AL
68
FUTUR DE L’UNIVERS ?
a va devenir > 1, vraisemblablement très supérieur à 1
CONSEQUENCE POUR LA CONSTANTE DE HUBBLE
da
dt
1 da
H 
a dt
est donnée par l’équation ( 29 )
r 
 k m
H  H 0  2  3    4 
a
a 
a
1
2
69
SI
a  1
alors
H  H 0   (34)
Rappelons que, dans le passé, cette constante dans
tout l’espace décroissait en fonction du temps.
C’est ce qui permit à la lumière de gagner sa course
avec l’expansion et de nous atteindre bien que les
astres qui l’avaient émise aient pu avoir une vitesse de
récession supérieure à celle de la lumière.
Dans le futur, elle pourrait devenir à la fois constante
dans l’espace et dans le temps, cela en concordance
avec l’expansion exponentielle ( voir 26 ).
La conséquence en est assez surprenante.
70
CONSEQUENCE POUR LA SPHERE DE HUBBLE
La sphère de Hubble détermine deux régions de
l’espace, à l’intérieure la vitesse de récession est
inférieure à la vitesse de la lumière, à l’extérieure elle
est supérieure. Au centre de cette sphère se trouve
l’observateur comobile.
Son rayon Rs est tel que sur cette sphère la vitesse
de récession est exactement égale à c.
Il s’ensuit que H  Rs  cd’où sa limite:
c
c
Rs  
H H 0 
H 0  71km / s  Mpc
  0.73
16GigaAL
Voir p63 et p72
71
RAYON DE LA SPHERE DE HUBBLE EN FONCTION DE
Rs
0.7  a  10
a
Pr ésent a  1
72
a
TEMPS MIS PAR LA LUMIERE POUR ATTEINDRE
L’OBSERVATEUR SITUE AU CENTRE DE LA SPHERE
DE HUBBLE DANS LA CONDITION OU LA CONSTANTE
DE HUBBLE EST EFFECTIVEMENT CONSTANTE DANS
L’ESPACE ET DANS LE TEMPS
Il s’agit d’un futur très lointain!
Soit la distance métrique séparant une source de
lumière de l’observateur.
La loi de Hubble implique que la vitesse de récession
est proportionnelle à
x
x
c
vr  Hx  x
Rs
La vitesse de la lumière par rapport à l’observateur
est
73
r
cv
On obtient l’équation différentielle du mouvement du front
de l’onde lumineuse en exprimant le temps
mis pour
parcourir la distance
dx
dt
Soit :
dx
dx
dt 

c  vr

x 
c 1  
 Rs 
(35)
74
Pour une distance
0  X  Rs
le temps de
propagation est donné par l’intégrale :
t
X
0
dx

x 
c 1  
 Rs 

X
0
dx
x

c 1  
 16 
Gigaans
75
RESULTATS DE L’INTEGRALE
X en GigaAL t en Gigaans
X
8
10
12
14
15
15.9999
16
t
11.09
15.69
22.18
33.27
44.36
191.72

76
COMMENTAIRES
L’expansion accélérée et éternelle débouche sur de
bien curieuses constatations qui rappellent l’inflation
d’Allan Guth ( MIT 1979 ).
Le calcul montre que dans le futur la lumière ne
pourra pas se propager au delà de 16 milliards d’AL (
ou 4.9 Gigaparsecs ou 1.5x1026 mètres ), le temps de
propagation devenant infini à cause de l’expansion de
l’espace!
Cette distance est à considérer comme un horizon
des interactions, une frontière de la causalité.
L’ Univers deviendrait ainsi parcellisé, rempli peut
être de nouveaux univers en gestation, point de vue
partagé par A.Albrecht, A. Linde, P.Steinhart.
77
CONCLUSION
Nous empruntons à A.Guth quelques idées qu’il a
déduites du comportement que pourrait avoir un
biologiste après la découverte d’une bactérie encore
inconnue.
Celui-ci la classerait dans une espèce baptisée d’un
nouveau nom, ne douterait pas qu’elle est la
progéniture d’une bactérie parente descendante
d’une lignée, il ne pourrait admettre qu’elle soit le
résultat d’une improbable occurrence au sein de la
matière non vivante.
De là A.Guth propose d’admettre que le Big Bang
n’est pas un événement singulier, mais résulte d’un
processus qui ressemble à la division cellulaire.
L’Univers serait ainsi autoreproducteur.
78