Chapitre n°9 : « Nombres relatifs : addition et soustraction»

5ème1
2009-2010
Chapitre n°9 : « Nombres relatifs : addition et
soustraction»
I. Addition de nombres relatifs
1/ Rappels
• L'ensemble des nombres relatifs est constitué des nombres positifs et des nombres
négatifs.
• Comparer deux nombres, c'est chercher à savoir lequel est le plus grand, lequel est le
plus petit ou bien montrer qu'ils sont égaux.
• Ranger par ordre croissant, c'est classer des nombres du plus petit au plus grand.
Par ordre décroissant, c'est du plus grand au plus petit.
Quelques exemples de comparaison
• On rappelle qu'un nombre positif est toujours supérieur à un nombre négatif.
• – 7– 5 car l'ordre est inversé dans les négatifs.
• – 89 ; – 5,1– 5,01 ; – 10 ; 18,012 – 18,012
2/ Activité
• Il fait 5° et la température diminue de 7° ; on obtient -2°. Traduction mathématique :
5– 7= – 2 .
• Je dépense 5 euros puis 7 euros ; j'ai dépensé 12 euros en tout. Traduction :
– 5– 7=– 12
• Je suis au deuxième sous-sol, je monte de 3 étages (ou niveau) ; j'arrive au 1ème étage :
– 23=1
Inversement, on peut traduire les calculs suivants :
• – 62 =– 4 : je suis au 6ème sous-sol, je monte de 2 niveaux ; j'arrive au 4ème
sous-sol.
• 7 – 1=6 ; je descends d'un étage à partir de 7ème ; j'arrive au 6ème.
• 512=17 ; je suis au cinquième étage, je monte de 12 étages ; j'arrive au
dix-septième étage.
5ème1
2009-2010
Exemples
A= – 5 – 11=– 16
B= – 8 – 12= – 20
C=15 – 18= – 3
D=5– 2=3
3/ Méthodes de calculs
Lorsque les deux nombres sont de même signe
– 13 – 19=– 32 ; 1,25,9=7,1
Le résultat est du même signe que les deux termes ; on fait une addition dans sa tête.
Lorsque les deux nombres sont de signes contraires
– 35=2 ; 6 – 11=– 5
Le résultat est du signe du terme « le plus fort » ; on fait une soustraction dans sa tête.
Avec des décimaux (exemples)
A=2,10,8=2,9
B= – 1,51 – 0,14=– 1,65
C=0,3 – 1= – 0,7
D=– 1,171,17=0
E  – 1,1 – 0,4 =– 1,5
F =2,15 – 1,37=0,78
G=– 2,30,5= – 1,8
4/ Avec plus de deux termes
Exemples/Méthodes
X = – 46 – 35
• 1ère méthode : « on calcule progressivement de la gauche vers la droite »
X = – 46 – 35
X =2– 35
X = – 15
X =4
5ème1
2009-2010
• 2ème méthode : « on regroupe les termes de même signe pour simplifier le calcul »
X = – 46 – 35
X =6 5– 4 – 3 (étape qui n'est pas obligatoire)
X =11 – 7
X =4
Y = – 9 137– 11– 3
Y =20 – 23
Y =– 3
Autres exemples
A= – 12– 34 – 5
A=6 – 9
A= – 3
C=3,82,2 – 4,5
C=6– 4,5
C=1,5
B= – 4,5– 2,57
B= – 77
B=0
D=13,7– 3,720– 25
D=33,7 – 28,7
D=5
II. Soustraction de nombres relatifs
1/ Rappel
5 et – 5 sont deux nombres opposés
2/ Activité
L'ascenseur...
• Je suis au 2ème sous-sol, je prends l'ascenseur et je vais au 5ème étage : on est monté de
7 niveaux (ou étages).
Traduction mathématique : 5 – – 2=7
• Je suis au 6ème étage et je vais au 1er sous-sol : on est descendu de 7 niveaux (ou
étages).
Traduction : – 1 – 6 =– 7 .
Inversement :
• 3 – – 2=5
5ème1
2009-2010
Autres exemples
– 3 – 2= – 5 ; – 63 –23=– 86 ; – 3 – – 2= – 1 ; 63 –23=40 ;
– 4 – 4= – 8 ; 63 – – 23=86
Comment se ramener à une addition de nombres relatifs ?
• – 5–  – 3= – 2
−53=– 2
• – 4– 3=– 7
−4−3=– 7
On remarque qu'une soustraction est équivalente à une addition, si on prend l'opposé du
deuxième terme.
3/ A savoir très très bien !
Méthode
– 8 –  – 12= – 812=4
Pour soustraire – 8 et – 12 , j'additionne – 8 avec l'opposé de – 12 , c'est à dire 12 .
Autrement dit, soustraire par – 12 revient à additionner 12 .
Propriété fondamentale
Soustraire par un nombre revient à ajouter son opposé.
Plein d'exemples
– 5–  – 8= – 58=3
5 –  – 11=511=16
– 9 – 3=– 9– 3=– 12
4/ Avec plus de deux termes
Méthode
• A= – 5 – 8 – – 43
• A= – 5 – 843
« On change les signes d'addition en soustraction mais on prend l'opposé du terme qui
suit ».
• A= – 137
« On a calculé des termes de même signe »
• A= – 6
Autres exemples
B= – 4,5 –  – 11,2 – 3
B= – 4,511,2 – 3
B= – 7,511,2
B=3,7
C=375 – 160 –  – 5,87
C=375 – 1605,87 
C=380,87 – 160
C=220,87
5ème1
2009-2010
Un dernier exemple
Z= – 8 – 5 – 34  – – 1
Z= – 8 – 5– 341
Z= – 165
Z= – 11
III. Simplifications d'écritures
Explications
On considère l'expression suivante :
A= – 35 – 8
On peut simplifier cette écriture en n'écrivant que les nombres positifs ou négatifs. Dans
l'expression A je vois le nombre – 3 , le nombre 5 et le nombre – 8 . On peut donc
écrire :
A= – 3 5 – 8
Ensuite, on calcule de la même façon :
A= – 11 5
A= – 6
Méthode sur un exemple
• X = – 817 – 10 – 223
Dans cette expression, je vois trois nombres négatifs – 8 , – 10 et – 22 , et trois
nombres positifs 1 , 7 et 3 . Tous ces nombres sont à additionner.
• X= – 4011
On a calculé les nombres négatifs entre eux et les nombres positifs entre eux.
• X = – 29
Exemple
A=9 – 1 – 4 – 384,5
A=21,5 – 8
A=13,5
Pour mercredi 12
Contrôle+ matériel