les deux droites - PUC-SP

À l’origine de la géométrie
hyperbolique
La construction d’un rectangle par Euclide,
Al-Khayyâm, Saccheri et Lambert
Les découvertes de Gauss, Bolyaï et
Lobatchevski

Deux exercices de constructions
géométriques
1) Un segment [AB] étant donné, construire un triangle équilatéral de côté
[AB]. (Éléments Livre I, Prop 1).
2) Un segment [AB] étant donné, construire un carréde côté[AB]. (Éléments
Livre I, Prop 46).
Question 1 : Quels sont les implicites que vous devez admettre pour
enseigner ces constructions àun élève de collège ?
Question 2 : Quelles sont les définitions que vous devez utiliser ?
Question 3 : De quelles propriétés (propositions et théorèmes) vous êtes-
vous servi ?
Question 4 : Quelles sont les propriétés utilisées qui sont conséquentes ou
équivalentes au 5ème Postulat d’Euclide ?
Pouvez-vous vous en passer ?

Deux exercices de constructions
géométriques
Construire signifie :
1 - Tracer la figure sur une feuille de papier avec comme seuls instruments
une règle bien droite (tiens, tiens ?) non graduée et un compas.
2 - Donner l’algorithme de construction qui vous paraît le plus simple (la
suite des opérations graphiques àréaliser pour obtenir le résultat
demandé),
3 - Justifier par des arguments géométriques et logiques que la
construction proposée conduit effectivement au résultat recherché.
Étudier notamment l’existence et l’unicitéde ce résultat.

Deux exercices de constructions
Réponse d’Euclide.
PREMIÈRE PROPOSITION : Sur une droite donnée
et finie, construire un triangle équilatéral.
EXPOSIT1ON. Soit AB une droite donnée et finie.
DÉTERMINATION. Il faut construire sur la droite
finie AB un triangle équilatéral.
CONSTRUCTION. Du centre A et de l’intervalle AB, décrivons la circonférence
B (dem. 3) ; et de plus, du centre B et de l'intervalle BA, décrivons la
circonférence AE ; et du point , oùles circonférences se coupent mutuellement,
conduisons aux points A, B les droites A, B (dem. 1).
DÉMONSTRATION. Car, puisque le point A est le centre du cercle B, la droite
Aest égale àla droite AB (déf. 15); de plus, puisque le point B est le centre du
cercle AE, la droite Best égale àla droite BA ; mais on a démontréque la
droite A était égale àla droite AB ; donc chacune des droites A, B est égale à
la droite AB; or, les grandeurs qui sont égales àune même grandeur, sont égales
entre elles (not. 1); donc la droite A est égale àla droite B; donc les trois
droites A, AB, B sont égales entre elles.
CONCLUSION. Donc le triangle AB(def. 24) est équilatéral, et il est construit
sur la droite donnée et finie AB. Ce qu'il fallait faire.
AB
E

Deux exercices de constructions
Réponse d’Euclide.
PROPOSITION 46 : Décrire un carréavec une droite donnée.
Soit AB la droite donnée ; il faut décrire un carréavec la droite AB.
Du point A, donnédans cette droite, conduisons Aperpendiculaire
àAB (prop. 11) ; faisons Aégal àAB (prop. 3) ; par le point 
conduisons E parallèle àAB (prop. 31) ; et par le point B
conduisons BE parallèle àA.
La figure AEB est un parallélogramme; donc AB est égal àE, et Aégal àBE.
Mais AB est égal àA; donc les quatre droites BA, A, AE, EB sont égales entre
elles ; donc le parallélogramme AEB est équilatéral.
Je dis aussi qu'il est rectangle. Car puisque la droite Atombe sur les parallèles
AB, E, les angles BA, AE sont égaux àdeux droits (prop. 29) ; mais l'angle
BAest droit ; donc l'angle AE est droit aussi. Mais les côtés et angles opposés
des parallélogrammes sont égaux entre eux (prop. 34) ; donc chacun des angles
opposés ABE, BEest droit ; donc le parallélogramme AEB est rectangle.
Mais nous avons démontréqu'il est équilatéral ; donc le parallélogramme AEB
est un carré, et il est décrit avec la droite AB ; ce qu'il fallait faire.
B
E
A