Théorème de Thales. Relations métriques dans les triangles.

Triangles semblables.
• 1er cas. Deux triangles sont semblables
lorsqu’ils ont deux angles respectivement
égaux.
• Corollaire. Deux triangles rectangles sont
semblables lorsqu’ils ont un angle aigu
égal.
• 2e cas. Deux triangles sont semblables
lorsqu’ils ont un angle égal compris entre
des côtés proportionnels.
• Corollaire. Deux triangles rectangles sont
semblables lorsque les côtés de l’angle droit
sont proportionnels.
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Triangles semblables.
• Théorème. Deux
triangles qui ont
les côtés
respectivement
parallèles ou
respectivement
perpendiculaires
sont semblables.
A
C
A’
C’
B
B’
C’
A
B
A’
C
B’
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Polygones homothétiques.
•
Polygones
homothétiques. Si on
joint un point O aux
sommets du polygone
ABCDE et on porte sur
les droites OA, OB,…
des longueurs OA’,
OB’,… telles que
OA’/OA =
OB’/OB=…=OE/OE’=k,
k étant un nombre
positif, on obtient un
polygone P’ dit
homothétique du
polygone P.
B
B’
O
P’
C’
P
A’
E’
D’
A
E
C
D
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Polygones semblables.
• Deux polygones P et P’ sont semblables si
le polygone P1 est égal à un polygone
homothétique de P.
• Les sommets correspondants des polygones
semblables ou homothétiques sont appelés
sommets homologues; les angles
correspondants sont appelés angles
homologues; les droites qui joignent deux
points homologues de deux polygones
homothétiques sont appelés droites
homologues.
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Polygones semblables.
• Les angles homologues sont égaux. Les
côtés homologues sont proportionnels.
• Théorème. Deux polygones qui ont
leurs angles respectivement égaux et
leurs côtés homologues proportionnels
sont semblables
• Corollaire. Deux polygones réguliers
d’un même nombre de côtés sont
égaux.
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Relations métriques dans le
triangle.
• On appelle projection orthogonale
d’un point sur une droite, le pied de la
perpendiculaire abaissée du point sur la
droite.
• Le projection d’un segment sur une
droite est le segment dont les
extrémités sont les projections des
extrémités du segment donné.
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Relations métriques dans le triangle
rectangle.
• Théorème. Dans un
triangle rectangle,
les deux triangles
partiels déterminés
par la hauteur sont
semblables entre
eux et chacun d’eux
est semblable au
triangle total.
A
b
C
c
m
a
H
n
B
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Relations métriques dans le triangle
rectangle.
• Théorème de
Pythagore. Dans un
triangle rectangle, le
carré de
l’hypoténuse égale la
somme des carrés
des deux autres
côtés.
A
b
C
c
h
m
a
H
n
B
a/b = b/n, donc b2 = an
a/c = c/m, donc c2 = am
b2+c2 = an+am =
= a(n+m) = a*a= a2
a2=b2+c2
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Relations métriques dans un
triangle quelconque.
• Théorème. Dans un triangle quelconque le
carré d’un côté opposé à un angle aigu égale
la somme des carrés des deux côtés moins
deux fois le produit de l’un d’eux par la
projection de l’autre sur lui.
a2 = b2 + c2 – 2bn
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Relations métriques dans un
triangle quelconque.
a2 = m 2 + h 2
Dans le Cas 1: m = b – n
Dans le Cas 2: m = n – b
Alors toujours
m2 = b2 + n2 – 2bn
Mais h2 = c2 – n2, alors
a2 = (b2 + n2 – 2bn)
+ (c2 – n2)
a2
=
b2
+
c2
– 2bn
B
Cas 1
a
h
m
C
H
b
c
n
A
Cas 2
B
h
c
a
m
C
n
A
b
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Relations métriques dans un
triangle quelconque.
• Théorème. Dans un triangle quelconque le
carré d’un côté opposé à un angle obtus
égale la somme des carrés des deux côtés
plus deux fois le produit de l’un d’eux par la
projection de l’autre sur lui.
a2 = b2 + c2 – 2bn
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Relations métriques dans un
triangle quelconque.
a2 = m 2 + h 2
m=b–n
Alors on a
m2 = b2 + n2 + 2bn
Mais h2 = c2 – n2, alors
a2 = (b2 + n2 + 2bn)
+ (c2 – n2)
B
h
a
c
n
A
b
m
C
a2 = b2 + c2 + 2bn
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