InitiationMMC.pps

Introduction
Notations tensorielles
Cinématique
Equilibre
Thermodynamique
Lois de bilan
Loi de comportement
Initiation à la
MECANIQUE des MILIEUX CONTINUS
Initiation à la MMC, F. Golay 1/27
Notion de milieu continu
Fluide: « qui n’est ni solide, ni épais, qui coule aisément »
Solide: « qui a de la consistance, qui n’est pas liquide, tout en pouvant être plus ou moins mou »
Liquide: « tout corps qui coule ou tend à couler »
Petit Robert
Milieu continu: « milieu dont le comportement macroscopique peut être schématisé en supposant la matière répartie sur
tout le domaine qu’il occupe »
J. Coirier
Initiation à la MMC, F. Golay 2/27
Notation indicielle
Notations:
V  V1e1  V2 e2  V3 e3  Vi ei
 T11 T12 T13 
T  T21 T22 T23   Tij ei  e j
T31 T32 T33 



Tenseur d’ordre 2 & Produit tensoriel

Produit contracté

Produit doublement contracté
T  V  Tij ei  e j  Vk ek  TijVj ei

Vecteur & convention de sommation
A  B  Aij ei  e j : Bpq ep  eq  AijB ji
,i 

xi
Dérivation
 * *  * *,i  ei
gradient
div (**)   * * : 1
divergence
Initiation à la MMC, F. Golay 3/27
Exemple
Notations:
 V1

 x1
V
 V  Vi ei , j  e j  Vi , j ei  e j   2
 x1
 V
 3
 x1
 


V1
x 2
V2
x 2
V3
x 2
V1 

x 3 
V2 
x 3 
V3 

x 3 

div V   V : 1  Vi , j ei  e j : pq ep  eq  Vi , j ji  Vi ,i 
 
V1 V2 V3


x1 x2 x3
div A V  A ik Vk ,i  A ik ,i Vk  A ik Vk ,i  div A .V  A :  V
T
Initiation à la MMC, F. Golay 4/27
Cinématique:
•Notion de configuration, Euler /Lagrange
•Application linéaire tangente
•Notion de déformation
•Tenseur des déformations
•Hypothèse des petites perturbations
•Dérivation
Initiation à la MMC, F. Golay 5/27
Notion de configuration
Cinématique:
W(t)
e3
M0
e2
X
M x( X, t )
O
e1
W0
Configuration actuelle
à l’instant t
Configuration de référence
à l’instant t0
X ,t: Variables de Lagrange (en général mécanique du solide)
Vitesse V 
x ,t: Variables d’Euler (en général mécanique des fluides)
dOM dx

dt
dt
dA
A
( X, t ) 
( X, t )
dt
t
 
dA
A
A xi
A A
A
A
( x, t ) 
( x, t ) 
( x, t ) 

Vi 
 V . A 
 A.V
dt
t
xi t
t xi
t
t
Application: Accélération

Dérivée particulaire
 
dV
V
( x, t ) 
 V. V
dt
t
Initiation à la MMC, F. Golay 6/27
Application linéaire tangente
Cinématique:
dx  Fd X
e3
e2
O
dx
W0
dX
 x1

 X1
x
F 2
 X1
 x
 3
 X1
W(t)
e1
Configuration de référence
à l’instant t0
Configuration actuelle
à l’instant t
x1
X 2
x 2
X 2
x 3
X 2
x1 

X 3 
x 2 
X 3 
x 3 

X3 
Transport d’un élément de volume
e3

W0
e2
W(t)
O
e1
dV  det F dV0
dV
dV0
Transport d’un élément de surface
e3
e2
O
e1
N
dS0
n
W0
W(t)
dS

ndS  det F F
T
NdS0
Initiation à la MMC, F. Golay 7/27
Cinématique:
Notion de déformation
Initiation à la MMC, F. Golay 8/27
Tenseur des déformations
Cinématique:
F
e3
e2
O
W0
dX
Configuration de référence
à l’instant t0
e2
dl 0
O
dl
dl
dl 0
e3
e2
e1
dx

1 T
   F F  1
2

Configuration actuelle
à l’instant t
Si d X  d X  dl 0 e1
e3
e1
dx
W(t)
dX
e1
T T
T

dx  dx  d X  d X  d X  F F  1 d X  2d X  d X


O
dl
dl 2  dl 02  2dl 0211 soit 11 
dl  dl 0
dl 0
Si d X  dl 0 e1 et d X  dl 0 e 2
dld l cos  2dl 0212 soit 212  cos 1  11 1   22
dl 0
Initiation à la MMC, F. Golay 9/27
Hypothèse des petites perturbations
Cinématique:
x Xu
F  1  u
1
   T u   u   T u. u
2

HPP

HPP
 HPP 
 u  1

u1

X 1


1  u
u 
  1  2
 2  X 2 X 1 

 1  u1 u 3 


 
2

X
  3 X1 
..
u 2
X 2
1  u 3 u 2 



2  X 2 X 3 

1 T
 u  u
2


.. 


.. 


u 3 

X 3 
Initiation à la MMC, F. Golay 10/27
Cinématique:
Dérivées
d
 dk

 k

 kdiv v dV  W( t ) 
 div (k v ) dV
W( t ) k ( x, t )dV  W( t ) 
dt
 dt

 t

 A

d

dV
A
(
x
,
t
)
dV


div
(
A

v
)

W ( t ) 

dt W ( t )

t


 dA

d
 Adivv  v.A  .n dS
(t) A(x, t).n dS  (t) 

dt
 dt

Application: Conservation de la masse !!
 d
 dt  div v  0
d

M  W(t ) (x, t )dV or M  cste donc W(t ) (x, t )dV  0 soit 
ou
dt


 
 t div( v )  0

d
d(**)
dV
W ( t ) (**)dV  W ( t )
dt
dt
Initiation à la MMC, F. Golay 11/27
Cinématique:
Exemple
Initiation à la MMC, F. Golay 12/27
Équilibre:
•Notion Contrainte
•Principe fondamental
Initiation à la MMC, F. Golay 13/27
Équilibre:
Notion de contrainte
Efforts
extérieurs
dF
Efforts
intérieurs
n
M
Photo extraite
de Le Rugby
P. VILLEPREUX
Cours de J.Salençon
Polytechnique
ds

Effort de "cohésion" dF x, t , n, ds

 


dF x, t , n, ds  T x, t , n ds
T : Vecteur contrainte

  
T x, t , n   x, t n
 
 x, t Tenseur des contraintes de Cauchy
Initiation à la MMC, F. Golay 14/27
Principe Fondamental
Équilibre:
F
e3
n
e2
W(t )
Principe Fondamental de la dynamique
( t )
O
Torseur dynamique
=
Torseur des action extérieures
f
e1

d
  vdV   fdV   Tds

dt 

 d  OM  vdV   OM  fdV   OM  Tds


 dt 
  v

 div( v  v)  dV   fdV   nds
 

Forme locale de l’équation d’équilibre
 t


  v

 
  div   f  0 dans W
   fdV   div dV
  v.v   v   div( v)   dV
   

  t


t
sur W

 
 n  F




Symétrique

   f  div dV  0
Initiation à la MMC, F. Golay 15/27
Thermodynamique:
•Premier principe
•Équation de la chaleur
Initiation à la MMC, F. Golay 16/27
Thermodynamique:
Premier principe
Premier principe: conservation de l’énergie
d
 E  K   Pext  Q
dt
Énergie interne
Énergie cinétique
Puissance des efforts extérieurs
Taux de chaleur reçu
E  W e dv
1
K  W  v.v dv
2
Pext  W f .v dv  W F.v ds
Q  W r dv  W q.n ds
Forme locale du premier principe
e   :   r  divq
Initiation à la MMC, F. Golay 17/27
Thermodynamique:
Équation de la chaleur
e    Ts

 Hypothèse énergie libre   ( , T)



Second principe =
et s= 
T



Chaleur spécifique C=T s
T


 Loi de Fourier q   kT

Premier Principe

 
r  div kT  C
dT
 
T
:
dt
T  t
Initiation à la MMC, F. Golay 18/27
Lois de bilan:
Lois de Bilan en M.M.C.
d
 divv  0
dt
Conservation de la masse
div  f  
Conservation de la quantité de mouvement

Conservation du moment cinétique
Conservation de l’énergie
T
e   :   r  divq
+
Lois de Comportement


 
  T, , ,
, , ....   0


t t


Initiation à la MMC, F. Golay 19/27
Élasticité:
•Essai de traction
•Expérience
•Loi de comportement élastique linéaire
•Le problème d’élasticité
Initiation à la MMC, F. Golay 20/27
Essai de traction
Élasticité:
Essai de traction
Initiation à la MMC, F. Golay 21/27
Expérience
Élasticité:
Plasticité
irréversible
F
11 F
S
e
Élasticité
réversible
S
L
DL
DL
11  DL
L
Déformation
permanente
Initiation à la MMC, F. Golay 22/27
Élasticité linéaire
Élasticité:
Loi générale
Élasticité isotrope
Thermoélasticité isotrope
  C:


1 
   tr   1 

E
E
  tr  1  2
, coefficients de Lamé
 coefficients de Poisson, E module d’Young

  tr  1  2   3  2  T1
 1
Application à l’essai de traction
 11  

  E1

  
  22    21

  E2

  
31
  0 0  F / S 0 033   
    E3

 
Élasticité
   0 orthotrope
0 0   0
0 0   


 0 0 0  0
0 0212   0


 
 2   0
 13  

 
 2   0
 23 


12
E1
1
E2

 32
E3
0
0
0
12
E1
 coefficients de dilatation thermique

0   11 






 23
0
0
0    22 
E2


  

0
0  
1 E
0
0
 0    33 
E3




 0  
0  
1E




0
0
0  12

G12
  
0
0
 



1 E   
0
0
0  13 

G13



1 
0
0
0
   23 
G 23 

0
0
Initiation à la MMC, F. Golay 23/27
Le problème d’élasticité
Élasticité:
F
e2
e1
O
W(t )
f


1
T
u   u
2
u  U imp sur W U
e3

W F
Equation de compatibilité
W U
Ui m p
div   f   dans W
 F sur W F
n  
 R sur W U

  tr  1  2
Formulation en déplacement: Équation de Navier
     divu  div u  f  0
Formulation en contrainte: Équation de Michel
1    div   1 1    tr  1   divf1  f  T f  0
Initiation à la MMC, F. Golay 24/27
Élasticité:
Exemple
Te
Pe
Ti
Pi
Initiation à la MMC, F. Golay 25/27
Exemple: résolution
Élasticité:
Te
e
Problème thermique
er
 
dT
  
T
:
 DT  0
dt
 T t
T  T(r)  T  T(r)  T0  a lnr  b
r  div kT  C
Ti
avec T(ri )  Ti et T(re )  Te
Problème mécanique
Hypothèse u  u(r)er
u

rr    u    2u   3  2  T(r)
 u 0 0 
r



donc    0 u / r 0  et
u
u

 0
0 0 
    u    2   3  2  T(r)
r
r

div   f   
u(r) 
rr 1
u u  3  2  a
  rr      0  u   2 
r
r
r r
   2  r
 3  2  a rLn(r)  Ar  B
r
   2 
avec rr (re )   Pe et rr (ri )   Pi
Initiation à la MMC, F. Golay 26/27
Mécanique des fluides: Fluide newtonien
Fluide viscoplastique
Fluide newtonien
Fluide à seuil
t
Fluide
fluidifiant
Newton

   p1  tr  1  2
  div   f

dv

 div  p1 div  divv1  div   v   v 
dt

Fluide
épaississant
dv
 div   p1  tr  1  2 
dt


T
 
 v


  v.v   p   divv  div  v  div  T v
 t




dU
dy



 

 
v
  v.v  p        divv  div  v
t
Si le fluide est incompressible alors divv  0
v
1
  v.v   p  D v
t

Initiation à la MMC, F. Golay 27/27