Résonance en courant dans un circuit RLC

Résonance en courant dans
un circuit RLC
Soit le circuit RLC avec U, R, L ,C maintenus constants, seul
ω=2πf varie


1
Z

R

j
(
l


)
L’impédance complexe du circuit:
C
On exprime le courant par:
I
U
R²  ( L  1 C )²

On a la résonance en intensité pour I maximal
donc pour L 1 C  0  0  1 C  Z  R
est
minimal et U et I sont en phase ( déphasage f=0)

Imax= U/R

A la valeur I max 2correspondent les valeurs ω¹ et
ω² , solutions de l’équation U
U
R 2

R²  ( L  1 C )²
 RC  R ²C ²  4 RLC
2 LC
RC  R ²C ²  4 RLC
2 
2 LC
On en définit le facteur de qualité du circuit
Q= ωº/ ω² -ω¹ =(L/C)½-1/R
1 

Déphasage en fonction de :

On choisit U comme référence de phase
U  U m e jt


I  I m e jt e jj
Le dephasage fi u  j  arg I m  arctan(
1
L

)
RC  R
Pour ω = ω º = (1/LC)½ j=0 , I et U sont en phase
Fonction de transfert
On peut étudier la résonance en intensité du circuit RLC
grâce au grandeur d’entré et de sortie, reliés par une fonction
de transfert



La fonction de transfert H(j ), appelée aussi
transmittance, est définie par la relation suivante :
H(j ω)= Ue/ Us
Soit la grandeur d’entré U du générateur, celle de
sortie Us mesuré sur la résistance
La fonction de transfert: H(j ω)= U/ Us=| U/ Us| e jfi/u


Le module |H(j ω) |= | U/ Us| , appelé aussi
amplification en tension ou le gain G, permet
l’étude du rapport entre les tensions de sortie et
d’entrée en fonction de 
L’argument arg (H(j ω))= fus/u représente le
déphasage entre les tensions de sortie et d’entré
Pour le circuit RLC suivant
Us
La fonction de transfert s’écrit:
H(j ω)=Au (ω) e jfi/u
Avec Au amplification en tension, maximale pour ω º en
résonance

On en définit une fonction appelé gain:
G(dB)= 20 log Au (ω)
Bande passante et fréquence
de coupure:
Lorsque le circuit comporte des composantes réactifs ( capacité,
bobine), le gain dépend de la pulsation du signal d’entré, il est
nécessaire de définir le domaine des fréquences (pulsations),
tel que le signal d’entré se retrouve en sortie

Bande passante:
C'est le domaine fréquentiel (de pulsation) pour lequel
l’amplification varie au plus d’un facteur de 2, donc G diminue
de moins de 3dB par rapport à sa valeur maximale
Cette définition est très utile pour la détermination graphique
des fréquences (pulsations) de coupure

Pulsation de coupure:
pulsation pour laquelle
 Au=Aumax/2 ½
 G(ω c)=Gmax/2 ½= 20 log (Aumax)-20 log(2 ½ )
 G(ω c)=Gmax-3
Diagramme de Bode
La pulsation pouvant varier dans une très large gamme, pour
représenter les fonctions définissant le circuit G(dB)(ω) et
j(ω) , on utilise l’échelle logarithmique décimal en abscisse
Le diagramme de Bode est composé de deux courbes. L’une
représente le gain en fonction de log (ω) , l’autre le
déphasage j en fonction de log (ω)
G(dB)
log(ω)
j
log(ω)