BO 4
Cela prouve l’unicité du point stationnaire s’il existe, ce qui est le cas en particulier lorsque k≥2, et
montre dans ce cas l’unicité du point où fkatteint son minimum.
•Cas k= 1.
Lorsque k= 1, il reste à voir que lorsqu’il n’existe pas de point stationnaire, alors f1atteint son
minimum en un et un seul des points Ai.
Etudions la restriction de f1à une droite. Soit t7→ M(t)un paramétrage d’une droite de vecteur
directeur −→
U, et posons
h(t) = f1(M(t)) ,
On a donc −−−→
OM′(t) = −→
U ,
d’où
h′(t) = −−−−→
grad f1(M(t))−→
U=
n
X
i=1
−→
U−−−→
AiM(t)
k−−−→
AiM(t)k,
et également
h′′(t) =
n
X
i=1
k−−−→
AiM(t)k2k−→
Uk2−(−→
U−−−→
AiM(t))2
k−−−→
AiM(t)k2.
Donc hest de classe C2en dehors des points Aiqui se trouvent sur cette droite. Comme il existe au
moins un point Aien dehors de cette droite, au moins un des nombres
k−−−→
AiM(t)k2k−→
Uk2−(−→
U−−−→
AiM(t))2
est non nul et h′′ est strictement positive. Donc h′est strictement croissante. Si h′gardait un signe
constant, alors hserait monotone, ce qui n’est pas possible puisque h(t)tend vers l’infini lorsque |t|
tend vers l’infini. Il en résulte que h′(t)change de signe en un point t0et un seul.
Donc hest strictement décroissante sur ]−∞, t0[et strictement croissante sur ]t0,+∞[. Elle admet
un minimum en t0et ce minimum est unique.
En particulier, si l’on prend la droite passant par Aiet Aj, elle ne peut admettre un minimum qu’en
un seul de ces points. Donc si fkatteint son minimum en un point Ai, elle ne peut l’atteindre en un
autre. Le minimum est donc atteint en un point unique également dans ce cas.
Corollaire Si A1...,Ansont les sommets d’un polygone plan convexe, le point Gkappartient
à la surface limitée par ce polygone.
C’est vrai si Gkest un des sommets. Sinon il vérifie la relation (1). Dans ce cas Gkest le barycentre
des sommets affectés de coefficients positifs. C’est donc un point situé dans la surface limitée par le
polygone.