bo - somme des distances d`un point a un ensemble fini de

BO - SOMME DES DISTANCES D’UN POINT
A UN ENSEMBLE FINI DE POINTS
Soit n3. On se donne npoints distincts A1,...And’un espace affine euclidien Epde dimension p.
La norme d’un vecteur
Vdans l’espace vectoriel associé est notée k
Vk.
Pour tout nombre entier k1, on définit une application fkde Epdans Rpar
fk(M) =
n
X
i=1
k
AiMkk.
Proposition 1 Pour tout entier k2, la fonction fkest de classe C1sur Ep, et f1est de classe
C1sur Ep\{A1,...,Ap}.
Si l’on pose
g(M) = k
AMkk= ((
AM)2)k/2,
on a
grad g(M) = k
2((
AM)2)k/212
AM =kk
AMkk2
AM ,
et donc
grad fk(M) = k
n
X
k=1
k
AiMkk2
AiM .
La fonction
grad fkest donc continue si k2. En particulier
grad f2(M) = 2
n
X
k=1
AiM .
Par contre
grad f1(M) =
n
X
k=1
AiM
k
AiMk,
et la fonction
grad f1est continue sauf aux points Ai.
Proposition 2 On suppose que les points Aine sont pas alignés. La fonction fkadmet un
minimum absolu sur Epqui est atteint en un unique point Gk.
Si k2, alors Gkest l’unique point stationnaire de fk.
Si k= 1, ou bien G1est l’unique point stationnaire de f1, ou bien G1est un des points Ai.
BO 2
Existence d’un minimum absolu.
La fonction fkest positive et possède donc une borne inférieure dans Ep. Posons
ak= inf
MEp
fk(M).
Notons également
r= max
1ink
OAik.
Si l’on prend un point Mtel que
k
MOk> r ,
on a alors
k
MAik ≥ k
MOk − k
OAik ≥ k
MOk r > 0,
et
fk(M)n(k
MOk r)k,
ce qui prouve que fk(M)tend vers l’infini lorsque k
OMktend vers l’infini. Il existe donc Rtel que
k
MOk> R
implique
n(k
MOk r)kak+ 1 .
Alors, dans le complémentaire de la boule ouverte B(O, R)de centre Oet de rayon R, on a
fk(M)ak+ 1 .
Il en résulte que
inf
MB(0,R)fk(M) = inf
MB(0,R)
fk(M) = ak.
La fonction fkatteint alors son minimum sur la boule fermée qui est compacte. Donc il existe un point
Gkdans la boule fermée telle que
fk(Gk) = ak.
Ce point ne peut se trouver au bord de B(O, R). Il est donc dans la boule ouverte et, si p2, c’est
un point stationnaire de fk. C’est encore le cas lorsque p= 1, si le point stationnaire n’est pas un des
points Ai.
Unicité du point stationnaire
Soit Gun point stationnaire de fk, c’est-à-dire un point tel que
grad fk(G) =
0,
BO 3
On a donc
(1)
n
X
i=1
k
AiGkk2
AiG=
0.
Si Mest dans Ep, on a
k
AiGk2=
AiG(
AiM+
MG) =
AiG
AiM+
AiG
MG ,
et, en utilisant l’inégalité de Schwarz,
k
AiGk2≤ k
AiGkk
AiMk+
AiG
MG ,
Multiplions par kAiGkk2et sommons sur i. On obtient
fk(G)
n
X
i=1
k
AiGkk1k
AiMk+ n
X
i=1
k
AiGkk2
AiG!
MG .
Comme la parenthèse est nulle d’après (1), il vient
fk(G)
n
X
i=1
k
AiGkk1k
AiMk.
Lorsque k= 1, cela donne
f1(G)f1(M).
Lorsque k2, on utilise l’inégalité de Minkowski avec r=ket s=k/(k1) qui sont deux nombres
plus grands que 1tels que 1
r+1
s= 1 .
Alors
fk(G) n
X
i=1 k
AiGkk1k/(k1)!(k1)/k n
X
i=1
k
AiMkk!1/k
.
D’où
fk(G)(fk(G))(k1)/k (fk(M))1/k ,
et finalement
fk(G)fk(M).
Si Mest distinct de G, les vecteurs
AiGne sont pas tous colinéaires au vecteur
MG, sinon les points
Aiseraient alignés, donc, au moins une des inégalités
AiG
MG ≤ k
AiGk k
MGk
est stricte et l’on a
fk(G)< fk(M).
BO 4
Cela prouve l’unicité du point stationnaire s’il existe, ce qui est le cas en particulier lorsque k2, et
montre dans ce cas l’unicité du point où fkatteint son minimum.
Cas k= 1.
Lorsque k= 1, il reste à voir que lorsqu’il n’existe pas de point stationnaire, alors f1atteint son
minimum en un et un seul des points Ai.
Etudions la restriction de f1à une droite. Soit t7→ M(t)un paramétrage d’une droite de vecteur
directeur
U, et posons
h(t) = f1(M(t)) ,
On a donc
OM(t) =
U ,
d’où
h(t) =
grad f1(M(t))
U=
n
X
i=1
U
AiM(t)
k
AiM(t)k,
et également
h′′(t) =
n
X
i=1
k
AiM(t)k2k
Uk2(
U
AiM(t))2
k
AiM(t)k2.
Donc hest de classe C2en dehors des points Aiqui se trouvent sur cette droite. Comme il existe au
moins un point Aien dehors de cette droite, au moins un des nombres
k
AiM(t)k2k
Uk2(
U
AiM(t))2
est non nul et h′′ est strictement positive. Donc hest strictement croissante. Si hgardait un signe
constant, alors hserait monotone, ce qui n’est pas possible puisque h(t)tend vers l’infini lorsque |t|
tend vers l’infini. Il en résulte que h(t)change de signe en un point t0et un seul.
Donc hest strictement décroissante sur ]−∞, t0[et strictement croissante sur ]t0,+[. Elle admet
un minimum en t0et ce minimum est unique.
En particulier, si l’on prend la droite passant par Aiet Aj, elle ne peut admettre un minimum qu’en
un seul de ces points. Donc si fkatteint son minimum en un point Ai, elle ne peut l’atteindre en un
autre. Le minimum est donc atteint en un point unique également dans ce cas.
Corollaire Si A1...,Ansont les sommets d’un polygone plan convexe, le point Gkappartient
à la surface limitée par ce polygone.
C’est vrai si Gkest un des sommets. Sinon il vérifie la relation (1). Dans ce cas Gkest le barycentre
des sommets affectés de coefficients positifs. C’est donc un point situé dans la surface limitée par le
polygone.
BO 5
Proposition 3 Si l’ensemble {A1,...,An}est invariant par une isométrie Φ, alors Gkest un point
fixe de l’isométrie. En particulier, si Φest une rotation, alors Gkest le centre de cette rotation.
On a pour tout point M
fk(Φ(M)) = fk(M).
Donc
fk(Φ(Gk)) = fk(Gk)
réalise le minimum de fk, et par unicité de Gk, on en déduit que
Φ(Gk) = Gk.
Remarque : d’après la relation (1), le point G2n’est autre que l’isobarycentre des points Ai.
Etude du cas k= 1
La relation (1) s’écrit
n
X
i=1
AiG
k
AiGk=
0,
et en posant
Ui=
AiG
k
AiGk
cela s’écrit n
X
i=1
Ui=
0.
Le problème revient donc à la recherche de nvecteurs unitaires de somme nulle.
Cas d’un triangle
Théorème de Schruttka Dans tout triangle ABC dont les angles sont inférieurs à 2π/3, il
existe un point Geu un seul, appelé point de Torricelli du triangle, dont la somme des distances
aux sommets soit minimale. Ce point Gest tel que les angles \
AGB,\
BGC et [
CGA soient égaux à
2π/3.
Si un des angles du triangle est supérieur à 2π/3, le minimum est atteint au sommet correspondant.
La relation (1) revient donc à trouver trois vecteurs unitaires
U,
V,
Wtels que
U+
V+
W=
0,
ou encore
U+
V=
W .
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