1 Loi de Newton sur l`attraction gravitationnelle

Modèles mathématiques – Notes sur la mécanique
Nous discuterons ici de deux généralisations de la loi de Newton sur l’attraction terrestre, que nous
avons abordée au début de la session.
Dans ces notes, nous supposerons toujours que les déplacements sont en ligne droite. Nous dénoterons
par x(t) la position de l’objet au temps t (les unités sont à préciser, au besoin). Nous devrons au
préalable choisir une origine et une direction pour x > 0 – on choisit ce qui nous convient le
mieux! La vitesse est alors x′ (t), que nous dénoterons aussi v(t), et l’accélération est x′′ (t), que
nous dénoterons a(t).
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Loi de Newton sur l’attraction gravitationnelle
Dans cette section, nous généraliserons le modèle (vu en classe) décrivant la force d’attraction
terrestre. Il s’agira d’un modèle qu’on “prend pour acquis”, plutôt qu’un modèle qu’on déduit,
comme dans les problèmes de réservoirs. L’enjeu sera donc de résoudre l’EDO régissant la situation.
Rappelons qu’en début de session, nous avons vu deux lois énoncées par Newton. La première
(qui, en fait, est appelée la deuxième loi de Newton), affirme que la force agissant sur un objet est
proportionnelle à son accélération:
F = ma
(1)
où m est la masse de l’objet. La seconde loi vue en classe affirme que pour un objet relativement
près du sol, son accélération est constante. Supposant qu’on dirige l’axe positif des x vers le sol:
a(t) = g
Combinant ces deux lois ensemble, nous obtenons l’EDO suivante pour la force d’attraction exercée
par la Terre sur un objet relativement près du sol:
F = mg
(2)
La valeur mg s’appelle le poids de l’objet.
Cette loi est en fait une simplification de la loi de l’attraction universelle, formulée aussi par Newton.
Étant deux objets de masses respectives m et M, de distance r l’un de l’autre (on traite les objets
comme des points):
GMm
(3)
F =
r2
où G est une constante, appelée la constante de gravitation universelle. La loi (2) est en quelque
sorte un cas particulier de (3), où r est le rayon de la Terre.
L’EDO (3) est un modèle pour la force gravitationnelle; il s’agit tout de même d’une nouvelle
simplification de la réalité – notamment, il faudrait aussi tenir compte d’effets relativistes. Mais ça
demeure une simplification utile, à condition de ne pas aller trop vite...
Remarque. Comment Newton a-t-il déduit ce modèle? Selon mes sources (incluant les physiciens
accostés dans les corridors), Newton s’est largement inspiré des données astronomiques sur la Lune;
ces données, fruits de longues nuits d’observation et nombreux calculs faits par ses prédécesseurs
astronomes, permirent à Newton de postuler que la force est proportionnelle à l’inverse du carré de
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la distance. Il y avait aussi les lois de Kepler, elles-même basées sur les observations de Copernic
et de Tycho Brahe. Dans son Principia, Newton démontra que les lois de Kepler se déduisaient de
ses propres lois, grâce au puissant calcul qu’il venait de développer. Par ailleurs, l’Équation (3) se
déduit des lois de Kepler. D’aucuns pourraient penser (je n’ai pas vérifié les sources historiques)
que Newton obtint lui-même cette dérivation, toujours grâce au calcul.
Trêve de considérations historiques, prenons l’EDO (3) comme modèle de la force d’attraction de
la Terre sur un objet se déplaçant verticalement. Nous considérons ici un objet qu’on lance vers
le haut ou alors qu’on laisse tomber, de telle sorte qu’il y a une vitesse et une position initiales à
considérer. Plaçons maintenant l’axe des x de telle sorte que l’origine est au sol (plus précisément,
au niveau de la mer) et que la direction positive pointe vers le haut. Alors la distance au temps t
entre le centre de la Terre et l’objet est r = R + x(t), où R est le rayon de la Terre. L’Équation (3),
combinée à la deuxième loi de Newton (1), nous dit donc que x(t) satisfait l’EDO suivante:
GM
x′′ = −
(R + x)2
où M est la masse de la Terre. En substituant GM = gR2 :
x′′ = −
gR2
(R + x)2
Il s’agit d’une équation du second ordre. Grâce à une astuce, nous pouvons néanmoins trouver une
solution pour la vitesse v, avec les techniques déjà vues. L’astuce est basée sur l’observation que le
membre de droite est en fait une fonction explicite de x(t), pas seulement de t. Écrivons donc la
vitesse en fonction de x:
v = v(x)
dv
dv dx
=
dt
dx dt
dv
v
=
dx
puisque v = x′ . Donc, substituant x′′ (t) = v ′ (t):
gR2
dv
=−
dx
(R + x)2
Résolvant cette équation par séparation de variables:
v
v2
gR2
=
+C
2
R+x
2
− gR en posant x = 0 et donc:
où C est la constante d’intégration. On trouve la valeur C = v(0)
2
s v(0)2
gR2
+
− gR
(4)
v(x) = 2
R+x
2
En jouant avec cette équation, on se rendra compte que l’intégrale nécessaire pour trouver x(t) est
ardue! On se contentera donc de l’expression pour v(x)...
Remarque. En écrivant v = v(x), nous supposons implictement que x est une fonction inversible
de t. Ce n’est pas le cas, par exemple, d’un objet qu’on lance dans les airs et qui retombe ensuite
au sol; il faudrait dans ce cas-là prévoir deux équations ou alors utiliser d’autres techniques de
résolution.
2
1.1
Application de l’Équation (4).
La vitesse d’évasion est la valeur minimale pour la vitesse initiale d’un projectile qui est nécessaire
pour s’échapper de l’attraction terrestre. Il n’est pas question ici d’une fusée, puisque le carburant
procurera une accélération supplémentaire durant le vol. On pense plutôt à un canon.
Si le projectile s’échappe de l’attraction terrestre, c’est que sa vitesse est toujours non-nulle. Ainsi,
pour tout t ou pour tout x:
gR2
v(0)2
+
− gR > 0
(5)
R+x
2
2
gR
est positif, mais devient de plus en plus petit lorsque x croı̂t. Pour que le membre de
Le terme R+x
gauche de l’Équation (5) reste positif pour tout x, il faut et il suffit que:
v(0)2
≥ gR
2
La vitesse d’évasion est donc
2
√
2gR.
Résistance de l’air
Une autre façon de généraliser le modèle (2) consiste à tenir compte d’une force additionnelle, celle
de la résistance du médium environnant l’objet en question. Par exemple, on peut considérer l’effet
de la résistance de l’air sur un projectile tombant vers le sol. On doit prendre en compte la résistance
de l’air quand la vitesse est très élevée. L’expression de cette résistance dépend elle-même de la
grandeur relative de la vitesse, ainsi que de la forme de l’objet. Dans les problèmes, une expression
pour la résistance sera donnée et l’enjeu sera double, un peu comme les problèmes de réservoirs:
• combiner cette force de manière correcte avec les autres forces en jeu;
• résoudre l’EDO résultante.
(Dans la vraie vie, une difficulté s’ajoute: trouver une expression plausible pour la résistance!)
Les modèles tenant compte d’une multitude de forces, telles que la résistance, sont élaborés selon
le principe important suivant:
Les forces s’additionnent
Attention! les forces s’additionnent “vectoriellement”. Dans le cas d’un mouvement rectiligne, il
faut tenir compte de la direction des forces.
Exemple. Première partie. On suppose qu’un objet à une certaine hauteur est lancé vers le sol,
de telle sorte que la résistance de l’air est proportionnelle à la vitesse de l’objet, avec facteur de
proportionnalité k. Donnez l’EDO régissant x(t), en supposant que la force d’attraction terrestre
est constante.
Solution. Plaçons l’axe des x de telle sorte que la direction positive pointe vers le bas. La force
totale agissant sur l’objet est donc la somme de la force d’attraction et de la résistance:
F = mg − kv
3
Donc:
mx′′ = mg − kx′
(6)
Exemple. Deuxième partie. Résolvez l’EDO, en supposant que la vitesse initiale est v0 et la
position initiale est x0 .
Solution. Posons y = x′ . Il s’agit donc d’une équation linéaire du premier ordre:
y′ +
Puisque λ′ =
k
,
m
λ=
kt
m
et donc:
kt
y = e− m
où C = v0 −
mg
.
k
Donc:
k
y=g
m
mg
k
kt
em + C
mg mg − kt
x (t) =
e m
+ v0 −
k
k
En intégrant à nouveau, on obtient l’expression suivante pour x(t):
On trouve C = x0 +
′
m
k
mgt m mg − kt
x(t) =
v0 −
e m +C
−
k
k
k
v0 − mg
et donc:
k
mg mgt m − kt
m
+ x0
v0 −
1−e
x(t) =
+
k
k
k
2.1
(7)
(8)
Application: vitesse limite
L’Équation (7) montre qu’il y a une borne supérieure à la vitesse, appelée la vitesse limite ou vitesse
limite de chute, lorsqu’on tient compte de la résistance de l’air. En effet, si on pose v0 = 0:
v(t) <
mg
k
De plus, quelle que soit la vitesse initiale:
lim v(t) =
t→∞
mg
k
On observe que la vitesse limite est aussi la vitesse à laquelle l’accélération est nulle.
Exercices.
1. La vitesse d’évasion d’un objet changera si sa position initiale est en altitude, au lieu d’être
au sol, puisque la nouvelle donnée initiale affectera l’expression trouvée en (4).
a) Trouvez la vitesse d’évasion d’un objet s’il est lancé à partir d’un point à distance kR de
la Terre.
b) Trouvez une valeur k telle que la vitesse d’évasion sera 10% moins élevée que la valeur
trouvée dans le texte.
4
2. Supposez que la résistance de l’air est proportionnelle au carré de la vitesse, où k est la
constante de proportionnalité.
a) Trouvez l’EDO régissant cette situation, en supposant que la force d’attraction terrestre
est constante.
b) Résolvez cette EDO.
3. À partir de l’Équation (6), montrez que la vitesse limite est la vitesse à laquelle l’accélération
est nulle.
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