1 Loi de Newton sur l`attraction gravitationnelle

Mod` eles math´ ematiques – Notes sur la m´ ecanique
Nous discuterons ici de deux g´en´eralisations de la loi de Newton sur l’attraction terrestre, que nous
avons abord´ee au d´ebut de la session.
Dans ces notes, nous supposerons toujours que les d´eplacements sont en ligne droite. Nous d´enoterons
par x(t) la position de l’objet au temps t(les unit´es sont `a pr´eciser, au besoin). Nous devrons au
pr´ealable choisir une origine et une direction pour x > 0 – on choisit ce qui nous convient le
mieux! La vitesse est alors x′(t), que nous d´enoterons aussi v(t), et l’acc´el´eration est x′′ (t), que
nous d´enoterons a(t).
1 Loi de Newton sur l’attraction gravitationnelle
Dans cette section, nous g´en´eraliserons le mod`ele (vu en classe) d´ecrivant la force d’attraction
terrestre. Il s’agira d’un mod`ele qu’on “prend pour acquis”, plutˆot qu’un mod`ele qu’on d´eduit,
comme dans les probl`emes de r´eservoirs. L’enjeu sera donc de r´esoudre l’EDO r´egissant la situation.
Rappelons qu’en d´ebut de session, nous avons vu deux lois ´enonc´ees par Newton. La premi`ere
(qui, en fait, est appel´ee la deuxi`eme loi de Newton), affirme que la force agissant sur un objet est
proportionnelle `a son acc´el´eration:
F=ma (1)
o`u mest la masse de l’objet. La seconde loi vue en classe affirme que pour un objet relativement
pr`es du sol, son acc´el´eration est constante. Supposant qu’on dirige l’axe positif des xvers le sol:
a(t) = g
Combinant ces deux lois ensemble, nous obtenons l’EDO suivante pour la force d’attraction exerc´ee
par la Terre sur un objet relativement pr`es du sol:
F=mg (2)
La valeur mg s’appelle le poids de l’objet.
Cette loi est en fait une simplification de la loi de l’attraction universelle, formul´ee aussi par Newton.
´
Etant deux objets de masses respectives met M, de distance rl’un de l’autre (on traite les objets
comme des points):
F=GMm
r2(3)
o`u Gest une constante, appel´ee la constante de gravitation universelle. La loi (2) est en quelque
sorte un cas particulier de (3), o`u rest le rayon de la Terre.
L’EDO (3) est un mod`ele pour la force gravitationnelle; il s’agit tout de mˆeme d’une nouvelle
simplification de la r´ealit´e – notamment, il faudrait aussi tenir compte d’effets relativistes. Mais ¸ca
demeure une simplification utile, `a condition de ne pas aller trop vite...
Remarque. Comment Newton a-t-il d´eduit ce mod`ele? Selon mes sources (incluant les physiciens
accost´es dans les corridors), Newton s’est largement inspir´e des donn´ees astronomiques sur la Lune;
ces donn´ees, fruits de longues nuits d’observation et nombreux calculs faits par ses pr´ed´ecesseurs
astronomes, permirent `a Newton de postuler que la force est proportionnelle `a l’inverse du carr´e de
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la distance. Il y avait aussi les lois de Kepler, elles-mˆeme bas´ees sur les observations de Copernic
et de Tycho Brahe. Dans son Principia, Newton d´emontra que les lois de Kepler se d´eduisaient de
ses propres lois, grˆace au puissant calcul qu’il venait de d´evelopper. Par ailleurs, l’ ´ Equation (3) se
d´eduit des lois de Kepler. D’aucuns pourraient penser (je n’ai pas v´erifi´e les sources historiques)
que Newton obtint lui-mˆeme cette d´erivation, toujours grˆace au calcul.
Trˆeve de consid´erations historiques, prenons l’EDO (3) comme mod`ele de la force d’attraction de
la Terre sur un objet se d´epla¸cant verticalement. Nous consid´erons ici un objet qu’on lance vers
le haut ou alors qu’on laisse tomber, de telle sorte qu’il y a une vitesse et une position initiales `a
consid´erer. Pla¸cons maintenant l’axe des xde telle sorte que l’origine est au sol (plus pr´ecis´ement,
au niveau de la mer) et que la direction positive pointe vers le haut. Alors la distance au temps t
entre le centre de la Terre et l’objet est r=R+x(t), o`u Rest le rayon de la Terre. L’´ Equation (3),
combin´ee `a la deuxi`eme loi de Newton (1), nous dit donc que x(t) satisfait l’EDO suivante:
x′′ =−GM
(R+x)2
o`u Mest la masse de la Terre. En substituant GM =gR2:
x′′ =−gR2
(R+x)2
Il s’agit d’une ´equation du second ordre. Grˆace `a une astuce, nous pouvons n´eanmoins trouver une
solution pour la vitesse v, avec les techniques d´ej`a vues. L’astuce est bas´ee sur l’observation que le
membre de droite est en fait une fonction explicite de x(t), pas seulement de t.´ Ecrivons donc la
vitesse en fonction de x:
v=v(x)
dv
dt =dv dx
dx
dt
=dv
dxv
puisque v=x′. Donc, substituant x′′ (t) = v′(t):
vdv
dx =−gR2 (R+x)2
R´esolvant cette ´equation par s´eparation de variables:
v2
2=gR2 R+x+C
o`u Cest la constante d’int´egration. On trouve la valeur C=v(0)2
2−gR en posant x= 0 et donc:
v(x) = s2gR2
R+x+v(0)2 2−gR(4)
En jouant avec cette ´equation, on se rendra compte que l’int´egrale n´ecessaire pour trouver x(t) est
ardue! On se contentera donc de l’expression pour v(x)...
Remarque. En ´ecrivant v=v(x), nous supposons implictement que xest une fonction inversible
de t. Ce n’est pas le cas, par exemple, d’un objet qu’on lance dans les airs et qui retombe ensuite
au sol; il faudrait dans ce cas-l`a pr´evoir deux ´equations ou alors utiliser d’autres techniques de
r´esolution.
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1.1 Application de l’´ Equation (4).
La vitesse d’´evasion est la valeur minimale pour la vitesse initiale d’un projectile qui est n´ecessaire
pour s’´echapper de l’attraction terrestre. Il n’est pas question ici d’une fus´ee, puisque le carburant
procurera une acc´el´eration suppl´ementaire durant le vol. On pense plutˆot `a un canon.
Si le projectile s’´echappe de l’attraction terrestre, c’est que sa vitesse est toujours non-nulle. Ainsi,
pour tout tou pour tout x:
gR2
R+x+v(0)2 2−gR > 0 (5)
Le terme gR2
R+xest positif, mais devient de plus en plus petit lorsque xcroˆıt. Pour que le membre de
gauche de l’´ Equation (5) reste positif pour tout x, il faut et il suffit que:
v(0)2
2≥gR
La vitesse d’´evasion est donc √2gR.
2 R´esistance de l’air
Une autre fa¸con de g´en´eraliser le mod`ele (2) consiste `a tenir compte d’une force additionnelle, celle
de la r´esistance du m´edium environnant l’objet en question. Par exemple, on peut consid´erer l’effet
de la r´esistance de l’air sur un projectile tombant vers le sol. On doit prendre en compte la r´esistance
de l’air quand la vitesse est tr`es ´elev´ee. L’expression de cette r´esistance d´epend elle-mˆeme de la
grandeur relative de la vitesse, ainsi que de la forme de l’objet. Dans les probl`emes, une expression
pour la r´esistance sera donn´ee et l’enjeu sera double, un peu comme les probl`emes de r´eservoirs:
•combiner cette force de mani`ere correcte avec les autres forces en jeu;
•r´esoudre l’EDO r´esultante.
(Dans la vraie vie, une difficult´e s’ajoute: trouver une expression plausible pour la r´esistance!)
Les mod`eles tenant compte d’une multitude de forces, telles que la r´esistance, sont ´elabor´es selon
le principe important suivant:
Les forces s’additionnent
Attention! les forces s’additionnent “vectoriellement”. Dans le cas d’un mouvement rectiligne, il
faut tenir compte de la direction des forces.
Exemple. Premi`ere partie. On suppose qu’un objet `a une certaine hauteur est lanc´e vers le sol,
de telle sorte que la r´esistance de l’air est proportionnelle `a la vitesse de l’objet, avec facteur de
proportionnalit´e k. Donnez l’EDO r´egissant x(t), en supposant que la force d’attraction terrestre
est constante.
Solution. Pla¸cons l’axe des xde telle sorte que la direction positive pointe vers le bas. La force
totale agissant sur l’objet est donc la somme de la force d’attraction et de la r´esistance:
F=mg −kv
3

Donc:
mx′′ =mg −kx′(6)
Exemple. Deuxi`eme partie. R´esolvez l’EDO, en supposant que la vitesse initiale est v0et la
position initiale est x0.
Solution. Posons y=x′. Il s’agit donc d’une ´equation lin´eaire du premier ordre:
y′+k
my=g
Puisque λ′=k
m,λ=kt met donc:
y=e−kt
mmg
kekt
m+C
o`u C=v0−mg
k. Donc:
x′(t) = mg
k+v0−mg ke−kt
m(7)
En int´egrant `a nouveau, on obtient l’expression suivante pour x(t):
x(t) = mgt
k−m kv0−mg ke−kt
m+C
On trouve C=x0+m
kv0−mg ket donc:
x(t) = mgt
k+m kv0−mg k1−e−kt
m+x0(8)
2.1 Application: vitesse limite
L’´ Equation (7) montre qu’il y a une borne sup´erieure `a la vitesse, appel´ee la vitesse limite ou vitesse
limite de chute, lorsqu’on tient compte de la r´esistance de l’air. En effet, si on pose v0= 0:
v(t)<mg
k
De plus, quelle que soit la vitesse initiale:
lim
t→∞
v(t) = mg
k
On observe que la vitesse limite est aussi la vitesse `a laquelle l’acc´el´eration est nulle.
Exercices.
1. La vitesse d’´evasion d’un objet changera si sa position initiale est en altitude, au lieu d’ˆetre
au sol, puisque la nouvelle donn´ee initiale affectera l’expression trouv´ee en (4).
a) Trouvez la vitesse d’´evasion d’un objet s’il est lanc´e `a partir d’un point `a distance kR de
la Terre.
b) Trouvez une valeur ktelle que la vitesse d’´evasion sera 10% moins ´elev´ee que la valeur
trouv´ee dans le texte.
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2. Supposez que la r´esistance de l’air est proportionnelle au carr´e de la vitesse, o`u kest la
constante de proportionnalit´e.
a) Trouvez l’EDO r´egissant cette situation, en supposant que la force d’attraction terrestre
est constante.
b) R´esolvez cette EDO.
3. ` A partir de l’´ Equation (6), montrez que la vitesse limite est la vitesse `a laquelle l’acc´el´eration
est nulle.
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