Le parallélogramme

Le parallélogramme
Chapitre 08 du livre
I. Définition et construction
1.) Définition
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles.
Si ABCD est un parallélogramme
Alors,
Remarque :
Un parallélogramme est un trapèze particulier.
2.) Construction à l'équerre :
On utilise une règle, une équerre et la propriété suivante :
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles.
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Construire le parallélogramme RSTU à partir de ses deux côtés consécutifs [RU] et [UT]
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II. Propriétés
1.) Propriété concernant ses côtés.
a. Énoncé
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur.
Si ABCD est un parallélogramme
Alors,
b. Construction avec le compas et la règle
Construire le parallélogramme MNPQ à partir de ses deux côtés consécutifs [NM] et [NP]
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2.) Propriétés concernant ses diagonales
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors le point d’intersection de ses diagonales est son
centre de symétrie.
Si ABCD est un parallélogramme
Alors,
Si ABCD est un parallélogramme
Alors, I est le centre de symétrie de ABCD
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3.) Propriétés concernant ses angles
a. Angles opposés
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés sont de même mesure
Si ABCD est un parallélogramme
Alors,
b. Angles consécutifs
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles consécutifs sont supplémentaires.
Si ABCD est un parallélogramme
Alors,
Exemple de démonstration pour 2 angles :
Les angles
sont correspondants donc ils sont égaux
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III. Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
On utilise les réciproques de la définition et des différentes propriétés du parallélogramme.
1.) Avec les côtés
a.
Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors c’est un parallélogramme.
Si
Alors, ABCD est un parallélogramme
b.
Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur alors c’est un
parallélogramme.
Si
Alors, ABCD est un parallélogramme
c.
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors
c’est un parallélogramme.
Si
Et si ABCD est non croisé,
Alors, ABCD est un parallélogramme
2.) Avec les diagonales :
Si un quadrilatère a ses diagonales sécantes en leur milieu alors c’est un parallélogramme.
Si
Alors,
3.) Avec les angles
a.
Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure alors c’est un parallélogramme.
Si
Alors, ABCD est un parallélogramme
b.
Si un quadrilatère a les angles de deux côtés consécutifs supplémentaires alors c’est un
parallélogramme.
Si
Alors, ABCD est un parallélogramme
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