Activité – Etude d`un défibrillateur – 2015

Activité – Etude d’un défibrillateur
1. Le défibrillateur
Le défibrillateur cardiaque est un appareil utilisé en médecine d’urgence. Il permet d’appliquer
un choc électrique sur le thorax d’un patient, dont les fibres musculaires du cœur se contractent
de façon désordonnée (fibrillation). Le défibrillateur cardiaque peut être représenté de façon
simplifiée par le schéma électrique suivant :
Le générateur délivre une tension de 1500 𝑉 et la capacité du condensateur 𝐶 est de 470 µ𝐹.
Le thorax du patient sera assimilé à un conducteur ohmique de résistance 𝑅’ = 50 Ω .
L’objectif de ce chapitre est d’étudier les deux phases d’utilisation du défibrillateur : la charge
et la décharge du condensateur.
2. Observations expérimentales
On étudie le circuit ci-contre. Le circuit est alimenté par un
générateur de tension continue de fem 𝐸 = 5 𝑉 et de résistance
interne 𝑅𝑔 = 50 Ω. On a les composants suivants : 𝑅 = 1 𝑘Ω et
𝐶 = 100 𝑛𝐹. On observe la tension délivrée par le générateur et
la tension aux bornes de 𝐶 à l’aide d’un oscilloscope
(branchements ci-contre). Le générateur délivre un échelon de
tension : la tension passe de 0 pour 𝑡 < 0 à 𝐸 pour les 𝑡 > 0.

Qu’observe-t-on expérimentalement ? Distinguer deux régimes de fonctionnement du
condensateur.
PCSI – Lycée Brizeux
Sébastien Gruat
Activité
3. Charge du condensateur
Cela correspond à la première phase d’utilisation du défibrillateur. Lors de la mise en fonction
du défibrillateur, le manipulateur obtient la charge du condensateur 𝐶 (initialement déchargé) à
travers la résistance de charge 𝑅 en fermant l’interrupteur 𝐾1 (𝐾2 étant ouvert).
a. Equation différentielle

Faire un schéma du circuit. Ecrire la loi des mailles. Retrouver l’équation différentielle
𝐸
𝑑𝑢
𝑢
vérifiée par la tension 𝑢𝑐 aux bornes du condensateur pour 𝑡 > 0 : 𝑅𝐶 = 𝑑𝑡𝑐 + 𝑅𝐶𝑐 .
b. Constante de temps

Quelle est la dimension de 𝑅𝐶 ?
c. Résolution de l’équation différentielle

Résoudre l’équation différentielle.

Que peut-on dire de la tension aux bornes d’un condensateur ? Retrouver alors la
condition initiale de 𝑢𝑐 (0). Donner alors la solution 𝑢𝑐 (𝑡).
Remarque : On trouve 𝑖(𝑡) =
PCSI – Lycée Brizeux
𝐸𝐶
𝜏
𝑡
𝑒𝑥𝑝 (− 𝜏)
Sébastien Gruat
Activité
d. Evolution de la tension

Tracer le graphe de 𝑢𝑐 (𝑡). Donner l’équation de la pente à l’origine. En quel temps
croise-t-elle l’asymptote de la valeur finale.
La constante de temps 𝜏 = 𝑅𝐶 donne l’ordre de grandeur du temps de charge du condensateur,
au bout duquel le régime permanent est atteint. On note qu’a l’instant 𝜏, 𝑢𝑐 (𝑡) vaut 63 % de la
valeur finale.
Pour le défibrillateur, une étude expérimentale fournit le graphe ci-contre.

Déterminer le temps caractéristique 𝜏. En déduire la valeur de la résistance 𝑅 utilisée
pour la charge.
e. Aspect énergétique de la charge
Pour effectuer un bilan de puissance, il faut écrire la loi des mailles et la multiplier par l’intensité
𝑞 𝑑𝑞
𝑖 dans le circuit. On a 𝑒(𝑡) = 𝑅𝑖 + 𝑢 donc 𝑒(𝑡)𝑖(𝑡) = 𝑅𝑖² + 𝐶 𝑑𝑡 . Soit 𝑃𝑓𝑜𝑢𝑟𝑛𝑖𝑒 = 𝑅𝑖 2 +
𝑑
1
𝑑
1
( 𝑞 2 ) = 𝑅𝑖 2 + 𝑑𝑡 (2 𝐶𝑢2 ).
Donc 𝑃𝑓𝑜𝑢𝑟𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑒 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 = 𝑃𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝é𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 + 𝑃𝑠𝑡𝑜𝑐𝑘é𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟
𝑑𝑡 2𝐶

∞
Calculer l’énergie fournie par le générateur 𝐸𝐺 = ∫0 𝑃𝑓𝑜𝑢𝑟𝑛𝑖𝑒 𝑑𝑡 , l’énergie
∞
emmagasinée dans le condensateur 𝐸𝑐 = ∫0
Joule dans la résistance 𝐸𝐽 =
PCSI – Lycée Brizeux
𝑃𝐶𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑡
et l’énergie dissipée par effet
∞
∫0 𝑃𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑑𝑡.
Sébastien Gruat
Activité

Calculer l’énergie stockée dans le défibrillateur.
4. Décharge du condensateur
Dès que le condensateur C est chargé le manipulateur peut envoyer le choc électrique en
connectant le condensateur aux électrodes posées sur le thorax du patient. Il choisit alors le
niveau d’énergie du choc électrique qui sera administré au patient, par exemple 𝑊 = 400 𝐽. À
la date initiale 𝑡0 , le manipulateur ferme l’interrupteur 𝐾2 (𝐾1 ouvert) ce qui provoque la
décharge partielle du condensateur. La décharge est automatiquement arrêtée dès que l’énergie
choisie a été délivrée.

Faire un schéma du circuit. Tracer l’allure de la tension aux bornes du condensateur.
La décharge s’arrête dès que l’énergie électrique 𝑊 de 400 𝐽 , initialement choisie, a été
délivrée.

Déterminer graphiquement la date 𝑡1 à laquelle la décharge partielle du condensateur
est arrêtée et la valeur de la tension 𝑢𝑐 (𝑡1 ) à cette date.

En vous appuyant sur la variation de l’énergie du condensateur entre les dates 𝑡0 (début
de la décharge) et 𝑡1 retrouvez la valeur de la tension 𝑢𝑐 (𝑡1 ).
PCSI – Lycée Brizeux
Sébastien Gruat
Activité