COURS 7,8. DYNAMIQUE RELATIVISTE. 14. Impulsion, masse

COURS 7,8.
DYNAMIQUE RELATIVISTE.
14. Impulsion, masse, ´energie.
Dans la physique non-relativiste, l’impulsion d’un objet mat´eriel ponctuel est d´efinie
comme:
~pn.r. =m0~v =m0
d~x
dt (1)
o`u m0est la masse de cet objet, ~v est sa vitesse. En absence d’une force appliqu´ee,
l’impulsion est conserv´ee, c’est un vecteur constant, ind´ependant du temps. Si on a
un ensemble d’objets ponctuels, des particules par exemple, ou d’objets materiels tout
simplement, en interaction entre eux, alors leur impulsion totale sera conserv´ee, au cours
du temps.
Dans la physique relativiste, on suppose que les lois de la physique sont les mˆemes
dans des r´ef´erentiels diff´erents, qui sont en mouvement relatif uniforme (vitesses relatives
constantes). Alors, les quantit´es conserv´ees (comme l’impulsion, l’´energie etc.) doivent,
en toute g´en´eralit´e, ˆetre soit des quadri-vecteurs, soit, plus g´en´eralement, des quadri-
tenseurs; tout simplement, pour qu’on puisse faire des produits scalaires de ces quantit´es
et obtenir des invariants. L’amplitude de diffusion de particules, par exemple, s’exprime
en fonction des invariants, faits avec les impulsions des particules qui rentrent dans la
collision,
– une autre fa¸con de dire est que les lois de la physique, des interactions, sont les
mˆemes dans tous les r´ef´erentiels. Les invariants ont des valeurs ind´ependantes des change-
ments des r´ef´erentiels.
En conclusion, l’impulsion ~p dans (1), qui est un vecteur dans l’espace tridimensionel
ordinaire, doit ˆetre remplac´ee par une quadri-impulsion pµ, qui doit se transformer comme
un quadrivecteur. En plus, dans la limite non-relativiste, v
c1, la partie spatiale de pµ
doit devenir ´egale `a ~pn.r. dans (1).
La seule quantit´e qui v´erifie ces propri´et´es est la quadrivitesse de l’objet mat´eriel
1

ponctuel, multipliee par sa masse:
pµ=m0uµ(2)
La quadrivitesse a ´et´e d´efinie dans le cours 3, ´eq.(84). On trouve alors:
pµ=m0γ(v)
c
~v 
(3)
Dans la limite v
c1, γ= 1/q1−v2 c2'1, la partie spatiale de pµdevient ´egale `a
l’impulsion non-relativiste dans (1).
La composante spatiale de pµ, ´eq.(3), est l’impulsion, proprement dite, de l’objet:
~p =m0γ(v)~v (4)
– maintenant une impulsion relativiste. La diff´erence avec ~pn.r., ´eq.(1), est dans le facteur
γ(v).
Souvent l’expression (4) de l’impulsion s’´ecrit sous la forme:
~p =m~v (5)
avec
m=m(v) = m0γ=m0
q1−v2
c2
(6)
– c.`a.d. le facteur devant la vitesse est interpret´e comme la masse de l’objet, tout comme
dans le cas non-relativiste, ´eq.(1). Dans le cas relativiste, si l’impulsion s’´ecrit comme
dans (5), alors la masse de l’objet d´epend de sa vitesse, ´eq.(6). Dans ce cas m0est
appel´ee la masse au repos de l’objet, qui coincide avec la masse non-relativiste. D’autre
part, quand v→c, la masse relativiste m(v), ´eq.(6), grandit et tend vers l’infini.
Il nous faut encore interpr´eter la composante temporelle de la quadri-impulsion pµ,
´eq.(3) :
p0=m0γ(v)c=m(v)c(7)
Nous allons donner des arguments pour conclure que
cp0=m(v)c2(8)
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est l’´energie de l’objet, ε(v), dans la physique relativiste.
Retournons vers l’impulsion ~p dans l’´eq.(4) ou (5). Tout comme dans la physique
non-relativiste, sa variation avec le temps, la d´eriv´ee:
d~p
dt (9)
doit ˆetre associ´ee avec la force ext´erieure appliqu´ee `a l’objet. Parce qu’en absence
d’influence exterieure (qui est appel´ee “la force”), ~p est conserv´ee, la d´eriv´ee dans (9)
sera ´egale `a z´ero. Alors on peut ´ecrire, comme dans le cas non-relativiste, que:
d~p
dt =~
F(10)
La diff´erence avec le cas non-relativiste se trouve uniquement dans la forme de ~p, ´eq.(4),(5).
L’´eq.(10) est l’´equation du mouvement de l’objet, dans la physique relativiste, tou-
jours `a condition que ~p soit d´efinie comme dans (4),(5).
Ensuite, on se rappelle que
~
F d~x (11)
est le travail ´el´ementaire effectu´e par la force ~ F, quand l’objet, sous l’influence de la force
~
F, est d´eplac´e sur un vecteur d~x dans l’espace. Ce travail s’ajoute `a l’´enegie de l’objet.
Donc:
dε =~ F d~x (12)
En exprimant ~ Fen fonction de l’impulsion de l’objet, par l’´eq.(10), on trouve:
dε =d~p
dt d~x =d~pd~x dt =d~p~v (13)
Mettons maintenant ~p, comme exprim´ee par l’´eq.(4), dans l’´equation (13) ci-dessus. On
trouve:
dε =m0dγ~v2+m0γd~v~v
=m0[1
(1 −v2
c2)3/2
1
c2~vd~v~v2+1
(1 −v2
c2)1/2~vd~v]
=m0
+v2
c2+ (1 −v2 c2)
(1 −v2
c2)3/2~vd~v =m0
(1 −v2
c2)3/2~vd~v
=m0c2
(1 −v2
c2)3/2
~vd~v
c2=d[m0c2
(1 −v2
c2)1/2] (14)
3

En r´esum´e, on trouve:
dε =d[m0c2
(1 −v2
c2)1/2] (15)
Pour int´egrer cette ´equation, il faut pr´eciser l’´etat de l’objet au moment initial. Supposons
qu’au d´ebut, avant l’application de la force, l’objet ´etait au repos, vinitiale = 0. vfinale
nous allons toujours noter comme v. Alors, en int´egrant l’´eq.(15), on trouve:
εfinale −εinitiale =m0c2
q1−v2
c2
−m0c2(16)
Cette ´equation sugg`ere que
εinitiale =εobjet au repos =m0c2(17)
εfinale =εobjet en mouvement =m0c2
q1−v2
c2
(18)
Autrement dit:
ε(v) = m0c2
q1−v2
c2
=mc2(19)
Nous rappelons que la masse m=m(v) de l’objet en mouvement est d´efinie par l’´eq.(6).
R´esum´e: Dans la physique relativiste l’´energie de l’objet en mouvement est donn´ee
par la formule (19). En plus, dans la physique relativiste, on associe
m0c2(20)
avec l’´energie de l’objet au repos. Cette ´energie est associ´ee, en effet, avec la masse au
repos m0de l’objet.
En retournant maintenant vers la quadri-impulsion pµ, ´eq.(3), et vers sa composante
temporelle l’´eq.(8), on trouve que:
cp0=mc2=ε(v) (21)
et que
cpµ=
mc2
c~p 
=
ε
c~p 
(22)
– la composante temporelle de la quadri-impulsion pµrepr´esente l’´energie relativiste de
l’objet.
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En particulier, de cette forme est la quadri-impulsion des particules ´el´ementaires,
comme l’´electron, le proton, etc. . Plus bas nous allons donner une liste courte de
particules ´el´ementaires et de leurs masses au repos.
Observons pour l’instant que, pour la quadri-impulsion d’un objet mat´eriel avec masse
au repos m0, on a des relations suivantes:
c2(p)2≡c2pµpµ=ε2−c2~p2
=m2c4−c2m2v2=m2c4(1 −v2
c2)
=m2
0
(1 −v2
c2)c4(1 −v2
c2) = m2
0c4(23)
c2(p)2=m2
0c4(24)
Les d´efinitions des produits scalaires et de la norme des quadri-vecteurs ont ´et´e donn´ees
dans les cours 3,4. Ces d´efinitions sont appliqu´ees ci-dessus `a la quadri-impulsion, qui est
un quadri-vecteur. En accord avec les cours 3,4, la norme de cpµ,c2(p)2, est invariante.
En plus, nous trouvons que cet invariant s’exprime par la masse au repos de l’objet.
D’apr`es le calcul dans (23), l’´energie au carr´e et l’impulsion au carr´e sont li´ees entre
elles par l’´equation:
ε2−c2~p2=m2
0c4(25)
Soit
ε2=m2
0c4+c2~p2(26)
ε=qm2
0c4+c2~p2(27)
Observons que la limite non-relativiste correspond `a
c2~p2m2
0c4(28)
En effet, dans cette limite
v2c2(29)
~p =m0
q1−v2
c2
~v 'm0~v (30)
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