1ère S

Tale S
Chapitre n° 7
LE DIPÔLE RC
I- Rappels
1°)Orientation d’un circuit électrique •Pour pouvoir étudier le comportement électrique d’un dipôle, il est nécessaire d’orienter le circuit ou la
branche dans lequel il se trouve.
•Un sens choisi arbitrairement permettra de définir un sens positif du courant (l’intensité électrique devient
alors une grandeur algébrique) : la convention récepteur est utilisée : le courant aura une intensité positive
dans le sens des potentiels décroissants.
2°)Intensité électrique
a) Généralités •Un courant électrique est
•Par convention, le courant électrique circule de la borne vers la borne , à l'extérieur
du générateur. Le sens réel de propagation des électrons est opposé au sens conventionnel du courant.
b) Lois des intensités •pour des dipôles placés en série
L'intensité électrique est la même en tous les points d'un circuit
électrique constitué de dipôles placés en série :
•pour des dipôles placés en dérivation
D’après la loi des nœuds :
3°)Tension électrique
a) Généralités •La tension (ou différence de potentiel) aux bornes d’un dipôle D se note :
ou
Rq. : Le sens de la flèche tension est indépendant du sens du courant électrique !
•La tension est une grandeur algébrique : il faut donc toujours indiquer son signe :
•Le potentiel le plus élevé (on ne dit pas le potentiel positif) se trouve en …
… A si soit soit ou
… B si ou
b) Lois des tensions … •pour des dipôles placés en série
La loi d’additivité des tensions nous permet d’écrire :
•pour des dipôles placés en dérivation
La loi d’unicité des tensions nous permet d’écrire :
- 1 -
N
P
A
B
C
+
-
A
B
D
A
B
D
I1
+
-
D
I2
I3
I4
I1
I2
I3
I4
I5
A
B
D

4°)Le conducteur ohmique
a) La loi d’Ohm
Lorsqu'un courant d'intensité I traverse un conducteur ohmique de A vers B, la tension UAB à ses bornes est
définie par la relation : où R est la résistance de ce conducteur ohmique.
Rq. 1 : Comme le courant va du potentiel le plus élevé vers celui le moins élevé, donc de A vers B, alors la tension UAB
est , comme R et I.
Rq. 2 : Écrivons la loi d'Ohm avec la tension UBA :UAB = soit soit
b) Associations de conducteurs ohmiques •L'association en série de n conducteurs ohmiques se comporte un seul conducteur ohmique de résistance
équivalente Réq telle que : ou
•L'association en dérivation de n conducteurs ohmiques se comporte comme un seul conducteur ohmique
de résistance équivalente Réq telle que : ou
II- Le condensateur
1°)Définition •Un condensateur est constitué de deux corps conducteurs de l'électricité séparés par un corps isolant. Il est
caractérisé par , s'exprimant en ( ).
•Notation conventionnelle :
2°)Relation entre charge et intensité
•Par définition, un courant électrique est un débit de charges électriques. Pour un courant continu :
•Pour un courant variable, l’intensité peut être définie par : soit
3°)Relation entre charge et tension
L’expérience de charge d'un condensateur par un générateur de courant (délivrant une intensité constante) montre
que la charge qA de l’armature A du condensateur est proportionnelle à la tension électrique uAB à ses bornes : le coefficient
de proportionnalité correspond physiquement à la capacité du condensateur :
Rq. 1 : L’unité Farad étant peu adaptée aux valeurs de capacité, celles-ci sont souvent exprimées avec des sous-
multiples.
Rq. 2 : La capacité d’un condensateur dépend des caractéristiques du composant, comme la dimension des
armatures, l’épaisseur et la nature de l’isolant.
4°)Relation entre intensité et tension
L’intensité étant définie par : et la charge qA de l’armature A par qA = , nous
pouvons écrire : soit puisque la capacité est une constante pour un
condensateur donné.
- 2 -
où q représente la charge de l'armature du
condensateur sur laquelle arrive le courant
d'intensité i positive.
iu > 0
i > 0
+
-
u
•
- q
+ q
•
i
C
A B

III- É tude de la réponse d’un condensateur à un échelon de tension
1°)Etude de la charge
a) Montage
Un dipôle RC subit un
échelon de tension lorsque l’interrupteur,
du circuit dans lequel un générateur de
tension continue (E) est branché en
dérivation aux bornes du dipôle RC, est
fermé. La tension uRC passe alors
brutalement de 0 V à E V.
b) É tablissement de l’équation différentielle •Avant le basculement de l’interrupteur en position , le condensateur est supposé (uC(0) =
•Lorsque l’interrupteur est basculé en position , la tension aux bornes du dipôle RC passe brutalement de
•D’après la loi d’additivité des tensions : soit
•Or donc soit
•En notant τ = R.C, nous obtenons :
•L’équation différentielle peut aussi s’écrire en fonction de la variable q(t) :
Comme q(t) = soit et
Alors l’équation R.i + uC = E s’écrit : soit
c) Solution de l’équation différentielle •L’équation différentielle linéaire du premier ordre en uC(t) à coefficients constants et avec second membre non
nul peut admettre comme solution : où A, B et m sont des constantes à déterminer.
•Si alors
•L’équation différentielle peut alors s’écrire :
•La comparaison membre à membre nous conduit à écrire :
soit m = = et soit
La solution de l’équation différentielle s’écrit alors :
•De plus à , le condensateur est déchargé, donc
Donc : soit Donc : avec τ = R.C
•Conclusion : Lorsqu’une augmentation brutale de tension est imposée à un circuit, celle aux bornes du
condensateur , mais au cours du temps.
d) É volution de l’intensité du courant
•Comme alors la solution de l’équation différentielle peut s’écrire :
•L’intensité du courant étant définie par : alors
Conclusion : A la fermeture du circuit (à t = 0), le courant initial a pour intensité :
Pour t > 0 s, l’intensité décroît exponentiellement au cours du temps jusqu’à s’annuler.
- 3 -
courant de charge : i > 0
uRC
0
t
(6 V)
E
(100 Ω )
(33 Ω )
(10 µF)
uR

2°)É tude de la décharge
a) Montage
iC : courant de charge
(Sens de référence)
iD : courant de décharge
b) É tablissement de l’équation différentielle •Avant le basculement de l’interrupteur en position , le condensateur est supposé (uC(0) =
•Lorsque l’interrupteur est basculé en position , la tension aux bornes du dipôle RC passe brutalement de
•D’après la loi d’additivité des tensions : soit
•Or donc soit
•En notant τ = R.C, nous obtenons :
•L’équation différentielle peut aussi s’écrire en fonction de la variable q(t) :
Comme q(t) = soit et
Alors l’équation R.i + uC = 0 s’écrit : soit
c) Solution de l’équation différentielle •L’équation différentielle linéaire du premier ordre en uC(t) à coefficients constants et sans second membre
peut admettre comme solution : où A, B et m sont des constantes à déterminer.
•Si alors
•L’équation différentielle peut alors s’écrire :
•La comparaison membre à membre nous conduit à écrire :
soit m = = et soit
La solution de l’équation différentielle s’écrit alors :
•De plus , le condensateur est chargé, donc
Donc : soit Donc : avec τ = R.C
•Conclusion : Lorsqu’une chute brutale de tension est imposée à un circuit, celle aux bornes du
condensateur , mais au cours du temps.
d) É volution de l’intensité du courant
•Comme alors la solution de l’équation différentielle peut s’écrire :
•L’intensité du courant étant définie par : alors
Conclusion : A l’ouverture du circuit (à t = 0), le courant initial a pour intensité algébrique :
Pour t > 0 s, l’intensité croît exponentiellement au cours du temps jusqu’à s’annuler.
- 4 -
uR
i
uRC
0
t

IV-La constante de temps du dipôle RC
1°)Analyse dimensionnelle
Lors de l’établissement de l’équation différentielle régissant la mise en tension du condensateur, nous avons défini
la constante τ comme le produit τ = R.C : quelle est la dimension de cette constante ?
D’après la loi d’Ohm, nous avons : soit
Or le courant est un débit de charges : donc Donc :
Or la charge d’un condensateur et la tension à ses bornes sont proportionnelles : soit
Donc : soit
Conclusion : Le produit R.C est homogène
τ = R.C est appelé du dipôle RC et s’exprime en
2°)Méthodes de détermination
a) À partir des valeurs des composants du circuit
La connaissance de la résistance du conducteur ohmique et de la capacité du condensateur permet simplement
de calculer la constante de temps : τ =
b) À partir du graphique u C = f(t)
•Lors de la charge du condensateur, le graphique uC = f(t) ayant comme équation
)e1.(E)t(u
t
C
τ
−
−=
, nous
avons à t = τ : uC(τ) = soit uC(τ) ≅
•Lors de la décharge du condensateur, le graphique uC = f(t) ayant comme équation
τ
−
=
t
C
e.E)t(u
, nous
avons à t = τ : uC(τ) = soit uC(τ) ≅
•Lors de la charge du condensateur, le tracé de la tangente au graphique uC = f(t) permet de mettre en
évidence un point d’intersection entre l’asymptote à la courbe et la tangente ; l’abscisse de ce point
d’intersection a pour valeur : t = τ
•Lors de la décharge du condensateur, le tracé de la tangente au graphique uC = f(t) permet de mettre en
évidence un point d’intersection entre l’axe des abscisses et la tangente ; l’abscisse de ce point
d’intersection a pour valeur : t = τ
u
C
= f(t)
0
1
2
3
4
5
6
0 50 100 150 200
t (en s)
u
C
(en V)
u
C
= f(t)
0
1
2
3
4
5
6
0 50 100 150 200
t (en s)
u
C
(en V)
Charge du condensateur Décharge du condensateur
- 5 -