chapitre 1 : notions théoriques

1.1
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
CHAPITRE 1 : NOTIONS THÉORIQUES
1.1
NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES RAYONNEMENTS ................................... 3
1.1.1 Rayonnements électromagnétiques ............................................................................ 3
1.1.2 Rayonnements corpusculaires .................................................................................... 5
1.1.3 Unités et grandeurs physiques.................................................................................... 5
1.1.4 Relations énergie / longueur d’onde........................................................................... 6
1.1.4.1 Rayonnement électromagnétique ....................................................................... 6
1.1.4.2 Rayonnement électronique ................................................................................. 6
1.1.5 Classification des rayonnements suivant leur énergie................................................ 7
1.1.5.1 Rayonnements de grande énergie ...................................................................... 7
1.1.5.2 Rayonnements d’énergie moyenne ..................................................................... 7
1.1.5.3 Rayonnements de faible énergie......................................................................... 7
1.1.6 Théorie atomique de la matière .................................................................................. 8
1.2
NOTIONS GÉNÉRALES SUR L’INTERACTION DES RAYONNEMENTS
AVEC LA MATIÈRE ........................................................................................................... 12
1.2.1 Généralités................................................................................................................ 12
1.2.1.1 Transfert d’énergie du rayonnement à la matière ........................................... 12
1.2.1.2 Section efficace d’interaction........................................................................... 13
1.2.2 Interaction rayon X / matière ................................................................................... 14
1.2.2.1 Interaction élastique......................................................................................... 14
1.2.2.2 Interaction inélastique...................................................................................... 15
1.2.3 Interaction électrons / matière .................................................................................. 17
1.2.3.1 Interaction élastique......................................................................................... 18
1.2.3.2 Interaction inélastique...................................................................................... 20
1.3
DIFFRACTION D’UN RAYONNEMENT PAR UN CRISTAL PARFAIT ........ 23
1.3.1 Rappels de cristallographie ...................................................................................... 23
1.3.2 Réflexion des rayons X sur une famille de plans réticulaires .................................. 30
1.3.2.1 Formule de Bragg: cas d’un réseau simple .................................................... 30
1.3.2.2 Exercices .......................................................................................................... 33
1.4
RAYONNEMENT DE DÉSEXCITATION........................................................... 35
1.4.0 Excitation d’un atome .............................................................................................. 35
1.4.0.1 Mécanisme de l’ionisation ............................................................................... 35
1.4.0.2 Mécanismes de désexcitation ........................................................................... 37
1.4.1 Rayonnement X caractéristique ............................................................................... 38
1.4.1.1 Transitions permises ........................................................................................ 38
1.4.1.2 Loi de Moseley ................................................................................................. 41
1.4.1.3 Intensité du rayonnement ................................................................................. 42
1.4.1.4 Rayonnement incident électronique ................................................................. 45
1.4.1.5 Rayonnement incident électromagnétique (Rayon X) ...................................... 48
1.4.1.6 Choix des énergies ........................................................................................... 49
1.4.1.7 Influence des liaisons chimiques ...................................................................... 49
1.4.2 Rayonnement électronique caractéristique (électrons Auger) ................................. 51
1.4.2.1 Mécanisme........................................................................................................ 51
1.2
Notions Théoriques
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GCH 740
1.4.2.2 Énergie de l’électron Auger .............................................................................51
1.4.2.3 Transitions possibles ........................................................................................54
1.4.2.4 Intensité de l’émission Auger ...........................................................................55
1.4.2.5 Influence des liaisons chimiques ......................................................................55
1.4.3 Électrons rétrodiffusés..............................................................................................56
1.4.3.1 Mécanisme ........................................................................................................56
1.4.3.2 Influence du numéro atomique .........................................................................57
1.4.3.3 Influence de l’énergie du faisceau incident......................................................58
1.4.3.4 Influence de l’angle de l’échantillon................................................................58
1.4.3.5 Distribution angulaire ......................................................................................59
1.4.3.6 Distribution d’énergie ......................................................................................60
1.4.3.7 Distribution spatiale .........................................................................................62
1.4.3.8 Profondeur d'interaction ..................................................................................64
1.4.3.9 Applications: Microscope électronique à balayage ........................................64
1.4.4 Électron de recul et photoélectron............................................................................65
1.4.4.1 Électron de recul ..............................................................................................65
1.4.4.2 Photoélectron....................................................................................................65
1.4.5 Électrons secondaires ...............................................................................................67
1.4.5.1 Mécanisme ........................................................................................................67
1.4.5.2 Influence de l'énergie........................................................................................67
1.4.5.3 Profondeur d'interaction ..................................................................................69
1.4.5.4 Influence du numéro atomique .........................................................................70
1.4.5.5 Influence de l'angle de l'échantillon.................................................................71
1.4.5.6 Applications ......................................................................................................71
1.5
ABSORPTION DES RAYONNEMENTS DANS UN MATÉRIAU.................72
1.5.2 Absorption des électrons ..........................................................................................77
1.3.2.2 Solutions ...........................................................................................................84
1.6. BIBLIOGRAPHIE ..........................................................................................................86
1.3
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
CHAPITRE 1
NOTIONS THÉORIQUES
1.1
NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES RAYONNEMENTS
Deux types de rayonnements:
⇒ électromagnétiques
⇒ corpusculaires
1.1.1
Rayonnements électromagnétiques
Constitués par un champ électromagnétique sinusoïdal de fréquence υ ou de
longueur d’onde λ qui se propage dans le vide à la vitesse de la lumière C.
Énergie: quantifiée
Transport:
énergie E:
photons (rayonnement photonique).
E=hυ
h: constante de PLANCK
Exemples: lumière, rayons X.
Figure 1
Chaque photon transporte une
1.4
Notions Théoriques
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Figure 2
Tout le spectre électromagnétique peut être divisé en plusieurs régions selon la longueur
d’onde du rayonnement (Figure 2). Chaque type de rayonnement sert à étudier des objets de
tailles différentes : des gros objets (i.e. maison) détectés par les ondes des radiofréquences
jusqu’aux dimensions des parties d’atomes par les rayons gamma.
La partie gauche de l’image décrit les sources de rayonnement pour les différentes régions de
longueur d’onde. Les ondes de basses fréquences sont généralement émises par les antennes
radio, ensuite la région de l’IR (infra-rouge) et de la lumière visible est couverte par les
lampes et les lasers. Rayons X durs et rayons gamma sont émis par des sources radioactives
et des accélérateurs de particules. La région la plus large est couverte par la source
1.5
Notions Théoriques
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synchrotron.
1.1.2
Rayonnements corpusculaires
Constitués de corpuscules de masse m, vitesse v, d’énergie cinétique:
Ec = ½ m v2
Tout corpuscule en mouvement → onde associée.
λ = mhv d'après de Broglie (1924)
Exemple de rayonnements corpusculaires: électrons, neutrons.
Déplacement électron - photon mais
1 L’électron est chargé
2 Il a une masse au repos
3 La vitesse dépend de son énergie
Constantes universelles utilisées :
Vitesse de la lumière dans le vide
Charge de l’électron
Masse de l’électron au repos
Masse du neutron au repos
Masse du proton au repos
Rapport masse du proton sur masse de l’électron
Constante de PLANCK
Constante de BOLTZMANN
Nombre d’AVOGADRO (molécules/mole)
1.1.3
Unités et grandeurs physiques
Longueur d’onde: λ
unité: m
unité courante: Å
1 Å = 10-10 m
c = 2,99793 . 108 m/s
e = 1,60205 . 10-19 C
mo - 9,1083 . 10-31 kg
Mn = 1,676 . 10-27 kg
Mp = 1,679 . 10-27 kg
Mp/mo = 1836,1
h = 6,6245 . 10-34 Js
k = 1,3803 . 10-23 J/K
N = 6,02486 . 1023
1.6
Notions Théoriques
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Fréquence: ν
unité: Hz
relation fréquence / longueur d’onde:
v = λν
v = vitesse de propagation de l’onde
Énergie: E
unité: 1e V = 1,60210-19 J
C’est l’énergie cinétique acquise par un électron accéléré à partir du repos par une
différence de potentiel de 1 volt.
Intensité: I
unité: watt par stéradian.
L’intensité d’un rayonnement émis d’un point est l’énergie traversant l’unité
d’angle solide par unité de temps.
1.1.4
Relations énergie / longueur d’onde
1.1.4.1 Rayonnement électromagnétique
E=hν=hc →λ=hc
E
λ
° = 12400
λ A
E eV
Gamme de rayons X:0.2 à 2Å → énergie: 60 k eV → 6 k eV.
1.1.4.2 Rayonnement électronique
Énergie cinétique:
Ec = ½ m v2 = eV
→ v = 2 eV / m
d’après de BROGLIE
λ = mhv =
h
2 m eV
1.7
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Correction de relativité de la masse:
m=
mo
1 - v2 /c2
mo = masse de l’électron au repos
λ Å =
12,26
Ec 1 + 0,979 10-6 Ec
si Ec < 100 k eV ==> néglige la correction de relativité
→ si λ Å =
1.1.5
12,16
Ec eV
Classification des rayonnements suivant leur énergie
1.1.5.1 Rayonnements de grande énergie
-
1 M eV et plus
⇒ Domaine physique nucléaire
1.1.5.2 Rayonnements d’énergie moyenne
⇒ agissent jusqu’au niveau des couches électroniques profondes
⇒ interaction peu sensible aux liaisons chimiques entre atomes
-
1 k eV et plus
⇒ domaine des rayons X
1.1.5.3 Rayonnements de faible énergie
⇒ agissent sur les couches électroniques externes
⇒ apportent des informations sur l’état chimique de la matière
⇒ 1 k eV et moins
GCH 740
1.8
Notions Théoriques
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Figure 3 Tableau des ordres de grandeur des énergies
→ On se limite aux rayonnements de moyenne énergie
(Rayons X et électrons)
1.1.6
Théorie atomique de la matière
⇒ Rappels Atome de numéro Z:
⇒ noyau
(charge + Ze
⇒ (Z protons de charge + e + N neutrons)
⇒ nuage électronique (charge - Ze)
Répartition des électrons dans le nuage électronique
équation de SCHRÖDINGER
h2 ∆ψ + Et - Ep ψ = 0
8 π2m
-
ψ: fonction d’onde définissant une orbitale
GCH 740
1.9
Notions Théoriques
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-
∆ψ =
GCH 740
Ž2 ψ
Ž2 ψ
Ž2 ψ
+
+
Žx2
Žy2
Žz2
⇒ h: constante de PLANCK
⇒ m: masse de l’électron
⇒ Et et Ep: énergie totale et potentielle de l’électron.
Équation de l’onde associée à un électron dans un état stationnaire
Montrons que l’on peut retrouver l’équation de Schrödinger à partir de l’équation
d’une onde lumineuse stationnaire:
2
λ ∆ψ + ψ =0
4 π2
Ec = Et - Ep = 1 m v2
2
λ2 = h2 / m2 v2 = h2/ 2 m (Et - Ep)
2
→ h ∆ψ + Et - Ep ψ = 0
8 π2
Cas d’une onde lumineuse
ψ: amplitude de l’onde
ψ2: intensité lumineuse en un point
Cas d’une onde associée à un électron
ψ: amplitude
ψ2: probabilité de présence de l’électron en un point de l’orbital
Onde stationnaire à trois dimensions caractérisée par 3 nombres quantiques →
orbitale
⇒ n: nombre quantique principal
n définit la couche électronique
n=1→K
n=2→L
1.10
Notions Théoriques
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n = ... → ...
Figure 4
⇒ ”: nombre quantique azimutal:
→
correspond aux valeurs possibles du moment angulaire L de l’électron
par rapport au noyau
→
définit la sous-couche;
Elles sont notées s, p, d, f ... pour ” = 0, 1, 2, 3, ... avec ” ≤ n - 1
→
” détermine la forme de l’orbitale.
⇒ m: nombre quantique magnétique
1.11
Notions Théoriques
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→
GCH 740
correspond aux valeurs possibles du moment magnétique de l’électron
”≤m≤+”
n, ”, m définissent une orbitale.
⇒ s: nombre quantique de spin
S=±½
Chaque orbitale comprend 2 états :
⇒ Principe d’exclusion de Pauli
1 électron par état → 2 électrons par orbitale
Orbitales possibles pour les trois premières couches électroniques :
Figure 5
1.12
Notions Théoriques
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1.2
NOTIONS GÉNÉRALES SUR L’INTERACTION DES RAYONNEMENTS
AVEC LA MATIÈRE
1.2.1
Généralités
⇒ Vecteur d’onde k :
Rayonnement d’intensité Io, d’énergie Eo ( → λo).
ko indique la direction de propagation et la longueur d’onde
•
ko = 1/λo
⇒ Interaction avec la matière:
o modification du rayonnement sous l’action de la matière
diminution de l’intensité (absorption)
changement du vecteur d’onde en module
E ≤ Eo => λ ≥ λo
et
k ≤ ko
Perte d’énergie
⇒ changement du vecteur d’onde en direction: diffusion
o modification de la matière sous l’action du rayonnement
Énergie perdue par le rayonnement est intégralement transférée aux
atomes de la matière:
réémission éventuelle
énergies potentielles
de l'énergie sous forme
énergies cinétiques
de rayonnements ou
énergies vibration thermique
de chaleur
1.2.1.1 Transfert d’énergie du rayonnement à la matière
On considère l’aspect corpusculaire des rayonnements.
⇒ Interaction élastique
1.13
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
ko, Eo
GCH 740
k, E
ATOME
Figure 6
⇒ Structure interne de l’atome non modifiée
Eo - E
~
_ 0
Eo
+
∆E/Eo =
+
+
→ λ ~ λo, k ~ ko
→ diffusion cohérente ou élastique
⇒ si λ < d → diffraction sur un cristal
⇒ Interaction inélastique
o a lieu avec un ou plusieurs électrons de l’atome
o modifie sa structure interne => son énergie
+
∆ E grand
Eo
o rayonnement diffusé non-cohérent
→ diffusion incohérente ou inélastique
1.2.1.2 Section efficace d’interaction
⇒ Soit une particule de matière de rayon ro
S = π r2o dans la direction du rayonnement
⇒ Il existe une section σ équivalente telle que tout rayon passant par cette section subisse
un type d’interaction:
σ est appelée section efficace de l’interaction
Propriétés
1.14
Notions Théoriques
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σ≤S
σ d’un volume de matière est égale à la somme des sections efficaces des particules
dans ce volume.
Figure 7
I (2 θ )
σ (2 θ )
=
Io
So
Io: intensité du rayonnement incident
I (2 θ): intensité du rayonnement différé dans une direction 2 θ
1.2.2
Interaction rayon X / matière
1.2.2.1 Interaction élastique
Phénomènes de diffusion élastique dus aux particules chargées électriquement de la
matière.
La section efficace de diffusion élastique d’un rayonnement électromagnétique, non
polarisé dans une direction faisant un angle 2θ avec la direction incidente, par une particule
libre de masse au repos m, de charge e est:
1
e4 1 + cos2 2θ
2
2
4 π εo m2 c4
Théorie → σ 2θ =
Montrons que les protons ne participent pas à la diffusion des rayons X par la matière.
M
σe/σp = mp
e
2
= (1836)2 = 3,37 1 06
1.15
Notions Théoriques
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1.2.2.2 Interaction inélastique
Elle a lieu avec des électrons individuels du nuage électronique d’un atome.
⇒ Excitation de l’atome
Le photon cède toute son énergie Eo = h νo à un électron atomique en une seule
interaction (∆E = Eo).
L’électron est élevé à un niveau d’énergie supérieur ou expulsé de l’atome
(ionisé).
L’atome est alors excité.
Ce sont les couches profondes de l’atome qui sont concernées.
On retrouvera l’énergie incidente Eo sous deux formes:
• de rayonnement secondaire
• des électrons (photo-électron) et des rayons X de fluorescence dont la longueur
d’onde n’a pas de rapport avec la longueur d’onde primaire mais est caractéristique
de l’atome excité.
⇒ Effet Compton
Le photon ne perd qu’une faible partie de son énergie dans un choc avec un
électron.
L’énergie incidente se retrouve en:
• énergie cinétique communiquée à l’électron (électron de recul)
• rayonnement diffusé d’énergie inférieure (λ > λo), incohérent
1.16
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Figure 8
Lois de la mécanique:
Conservation de l’énergie
Conservation de la quantité de mouvement
∆λ = λ - λ o = mhc 1 - cos 2 θ
∆λ Å = 0,0243 1 - cos 2 θ
Élément
Z
Li
C
S
Fe
Cu
Pb
3
6
16
26
29
82
Interaction inél./Interaction
élastique
Très grand
5,5
1,9
0,5
0,2
0
Figure 9
Diminution de la part de la diffusion inélastique des rayons X lorsque Z croît
1.17
1.2.3
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Interaction électrons / matière
Interaction globale des électrons avec la matière est plus importante que celle des
rayons X.
Énergie transportée par l’électron est cinétique on quantifiée.
→ il peut céder par quantités aléatoires
→ interactions successives
⇒ section efficace d’interaction augmentée
Figure 10 Distance d’interaction entre un électron incident et un atome.
1.18
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
1.2.3.1 Interaction élastique
r grand par rapport au rayon ro de l’atome
⇒ Interprétation par la théorie du choc élastique en mécanique Avant:
• un électron incident: Eo, m, vo, ko
• un atome au repos: M, v = 0
Figure 11
Après le choc:
o un électron: E, m, v = vo, k ≈ ko
o un atome: M, V
o Conservation de la quantité de mouvement
2 m v sin θ = MV
o Conservation de l’énergie cinétique
2 2
2 2
2
∆ E = 1 MV2 = M V = 2 m v sin θ
M
2M
2
∆E = 4 m sin2 θ
M
Eo
GCH 740
1.19
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
or
1
m=
M 1836 A
A: masse atomique
-3
∆E = 2,17 10 sin2 θ
Eo
A
∆E = ∆E (max) pour θ = π
2
o 10-2 < ∆E < 10-1 eV: excitation de vibration des atomes (phonons)
énergie transférée
dégagement de chaleur
(tube à rayons X, effet d’irradiation dans le microscope
électronique, four à bombardement électronique)
o 3 < ∆E < 5 eV: rupture des liaisons chimiques
énergie transférée
* ∆E > Ed
Ed:
permanents
seuil de déplacement de l’atome → création de dommages d’irradiations
Transfert d’énergie par choc élastique
1.20
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
1.2.3.2 Interaction inélastique
r ≈ ro
Figure 12
⇒ Action du nuage électronique sensible
⇒ Interaction électron-électron
⇒ Transfert d’énergie appréciable
Conséquences:
⇒ Excitation de l’atome
→ vers des états vacants
→ expulsion (ionisation)
Gamme d’énergie:
q.q. eV (élément léger, niveaux externes) à 69 k eV par exemple (électron K du
tungstène)
L’énergie transférée se retrouvera en:
⇒ énergie potentielle de l’atome ionisé avec émission de rayonnements caractéristiques
lorsque l’atome revient à l’état fondamental.
⇒ énergie cinétique de l’électron éjecté (électron secondaire).
1.21
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
• Excitation d’oscillations collectives
électrons de conduction concernés (conducteurs, semi-conducteurs)
états d’énergies quantifiées sont appelés plasmons
• Freinage
Cas des corpuscules chargés (électrons)
Conversion directe de l’énergie cinétique en énergie de rayonnement
électromagnétique (Bremsstraklung)
Il se superpose au rayonnement caractéristique d’excitation
• Résumé interaction inélastique dans le cas des électrons
•
la perte d’énergie est aléatoire
•
relativement importante
•
rayonnement diffusé incohérent
•
un électron pourra subir des interactions élastiques ou inélastiques jusqu’à son
arrêt (éventuel)
•
la section efficace de diffusion inélastique est proportionnelle à Z/V2o → Vo
•
facteur Z entre les sections efficaces des deux modes
1.22
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 13
GCH 740
* Rayonnements utilisés pour la caractérisation des matériaux
1.23
1.3
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
DIFFRACTION D’UN RAYONNEMENT PAR UN CRISTAL PARFAIT
Diffraction par un objet diffusant périodique: phénomènes de diffusion intense dans
des directions discrètes.
Cristal parfait: répétition périodique de matière diffusante suivant un réseau tridimensionnel
Figure 14
1.3.1
Rappels de cristallographie
⇒ Maille élémentaire
Figure 15
1.24
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 16
⇒ Les 7 systèmes cristallins et les 14 réseaux de Bravais.
GCH 740
1.25
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
+ Repérage des directions et des plans
Figure 17
⇒ Indice de Miller des plans
r=ua+vb+wc
r [u v w]
Un plan est désigné par trois indices (hkl), appelés indic~s de Miller. Par définition, les
indices de Miller sont les inverses des intersections du plan avec les trois axes du cristal
mesurés en fonction des longueurs a. b et c. Il est entendu que l’ongine des axes ne doit pas
être dans le plan à repérer. La marche à suivre pour déterminer les indices d’un plan est la
suivante:
1. Déterminer les coordonnées des intersections du plan entre les axes x y et z en fonction
des longueurs a, b et c;
2. Prendre l’inverse de chacune des intersections déterminées au point l;
3. Réduire les trois fractions au plus petit commun dénominateur;
4. Les trois numérateurs ainsi obtenus représentent les trois mdices h, k et l par rapport aux
trois axes Ox, Oy et Oz.
Dans l’espace, l’équation du plan (hkl) est donnée par
1 = hx/na + ky/nb + lz/nc
1.26
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Exemple:
Figure 18
+ Cas des structures hexagonales
Figure 19
On designe les plans des structures hexagonales d’une façon légèrement différente afin de
mieux distinguer les familles de plans et la symétrie hexagonale on utilise des indices appelés
indices de Miller-Bravais.
1.27
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Au lieu de décrire les indices à partir de trois axes non coplanaires Ox, Oy et Oz, on décrit
les indices de Miller-Bravais à panir de quatre axes. a1, a2, a3 et c; les trois premiers sont
coplanaires et forment entre eux des angles de 120°; le quatrième est norrnal au plan qui
contient a1, a2 et a3 .
Ces indices des plans sont notés (hkil); on les obtient de la même façon que les indices de
Miller. Comme les trois premiers indices sont reliés à trois vecteurs de même longueur et
coplanaires, le troisième n’est pas indépendant [i = - (h + k)]. La figure précédente présente
quelques plans notés au moyen des indices de Miller-Bravais. Ainsi, sur cette figure. on
remarque que, par symétrie, les
plans BCIH (0110), ABHG ( 1010) et .AGLF (1-100) sont tous trois equivalents, donc de la
même famille. Cette relation n’apparaîtrait pas si on utilisait une notation à trois indices
déterminés selon a1 a2 et c, car ces plans seraient alors désignés respectivement par (010),
(100) et (1-10). L’utilisation du quatrième indice met en évidence l’appanenance des trois
plans à la famille {1-100}.
1.28
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 20
GCH 740
1.29
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 21
Application: construction d’un plan d’indices 2 3 1 :
Figure 22
Indicez les différents plans
GCH 740
1.30
1.3.2
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Réflexion des rayons X sur une famille de plans réticulaires
1.3.2.1 Formule de Bragg: cas d’un réseau simple
Hypothèses:
⇒ cristal constitué d’une seule sorte d’atomes, tous disposés aux noeuds d’un réseau
simple;
⇒ faisceau de rayons X incident considéré comme une onde plane;
⇒ faisceau incident parfaitement monochromatique de longueur d’onde λ;
⇒ cristal assez petit pour que toutes ses parties soient baignées dans un faisceau
d’intensité constante;
⇒ chaque atome est la source d’une onde diffusée;
⇒ toutes les sources cohérentes sont susceptibles d’interférer.
Mécanisme:
L’onde diffractée dans une direction donnée est la résultante des ondes issues de
tous les atomes du cristal.
Si toutes les ondes élémentaires sont en phase sur un plan d’onde Π perpendiculaire
à la direction considérée, leurs amplitudes s’ajoutent et l’intensité résultante est grande.
S’il y a une différence de phase, même petite, entre les ondes diffusées par deux
atomes voisins, les ondes élémentaires s’annulent totalement par interférence.
1.31
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Figure 23
Démonstration de la loi de Bragg :
d: espace inter-réticulaire
Accroissement de chemin:
n A' + A' m
ondes en phase si n A’ + A’m = m λ
c’est-à-dire
2 d sin θ = n λ
Loi de Bragg
d
θ
λ
n
:
:
:
:
distance inter réticulaire
angle de diffraction
longueur d’onde
ordre
Un cristal peut réfléchir les rayons X:
⇒ selon des directions discrètes
⇒ faible fraction de l’énergie incidente
Application de la loi de Bragg:
A partir des mesures d’angles de diffraction, on mesure des distances
interréticulaires de cristaux si on connaît la longueur d’onde des rayons X utilisés.
1.32
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Remarques sur la formule de Bragg:
⇒ Il faut sin θ < 1
→λ<2d
mais si λ/2d est trop petit: problèmes techniques
→λ≈d
⇒ n λ < 2d pour θ donné
« réflexion du nième ordre » équivalent à une réflexion du premier ordre sur des
plans parallèles à (h k ”) d’écartement d/n d’indices (n h, n k, n ”).
⇒ Démonstration de Bragg valable si les atomes sont arrangés de façon irrégulière dans
chaque plan réticulaire.
Si la différence de marche était de λ, 2 λ, 3 λ ... entre les trajets correspondants
aux différents atomes, les ondes diffusées seraient en phase.
Il existe donc d’autres rayons diffractés que ceux donnés par la relation de
Bragg appliquée aux plans réticulaires.
⇒ Pour obtenir un diagramme de diffraction d’un cristal:
λ: poly chromatique où θ varie.
⇒ Problème de l’indice de réfraction du cristal: on le suppose égal à 1 dans la formule de
Bragg.
Erreur de l’ordre de 10-5.
⇒ Il existe des tableaux de correspondance entre l’angle de Bragg θ et la distance inter
réticulaire d’après la relation λ = 2 d sin θ pour les différentes longueurs d’ondes
usuelles.
Mo Kα, Cu Kα, Co Kα, Fe Kα, Cr Kα
Formules pour le calcul de la distance inter planaire dhkl” selon les réseaux
cristallins.
1.33
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Figure 24
1.3.2.2 Exercices
Figure 25
Structure cristalline de K Cl
(1)
Par des considérations géométriques, trouvez la valeur de do en fonction de n (nombre
d'Avogadro), de ρ la densité de K Cl (1990 kg/m3) et de MK la masse molaire de K:
39,10 g/mole, M Cl la masse molaire de Cl: 35,45 g/mole
(2)
Donner les indices de Miller du plan (ABCO)
(3)
Dans ce plan (2D), définir diverses réflections possibles des rayons X de longueur
d'onde λ satisfaisant la condition de Bragg. (On considère que K et Cl sont identiques
pour les R.X.) Comparer les divers angles trouvés entre eux. Donner les indices de
Miller des plans trouvés.
1.34
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
(4)
Classer les intensités relatives des diffractions suivant vos différents plans.
(5)
Trouver dans la structure cristalline de K Cl (3D) d'autres familles de plans présentant
des réflections intenses.
1.35
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
1.4
RAYONNEMENT DE DÉSEXCITATION
1.4.0
Excitation d’un atome
GCH 740
Énergie d’ionisation à un niveau se fournit par rayonnement corpusculaire ou
photonique.
Énergie d’ionisation augmente si l’atome est lourd et si l’électron se trouve près du
noyau.
Exemple d’excitation: par un faisceau d’électron.
Figure 26
1.4.0.1 Mécanisme de l’ionisation
⇒ Un électron est éjecté de son niveau d’énergie normal pour aller sur une autre couche
ou éjecté de l’atome.
⇒ Pour stabiliser l’atome, un électron d’un niveau d’énergie supérieur vient prendre sa
place.
1.36
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
⇒ L’excès d’énergie est émis en rayonnement X.
⇒ Si l’électron éjecté était en K, c’est un électron de la couche L qui vient prendre sa
place.
⇒ Si le numéro atomique est suffisamment grand, un électron de M peut venir en L etc...
⇒ Ainsi, on peut avoir beaucoup de transitions d’orbitales et un large spectre d’émissions
de rayons X.
⇒ Si le rayonnement incident est électromagnétique (rayon X), l’électron éjecté est
appelé photoélectron.
⇒ Si le rayonnement incident est électronique, l’électron éjecté est appelé électron
secondaire.
Figure 27 Niveaux d’énergie possibles des trois premières couches.
1.37
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
1.4.0.2 Mécanismes de désexcitation
⇒ L’état excité a une durée de vie de l’ordre de 10-16 s.
⇒ Des transitions d’énergie (∆W) ont lieu lors du retour d’électrons dans l’état
fondamental.
⇒ Les énergies ainsi libérées sont émises sous forme de rayonnement caractéristique
suivant deux modes:
⇒ énergie de rayonnement électromagnétique : rayonnement X caractéristique
⇒ énergie cinétique : électrons Auger
Mise au point pour la page précédente
Nombre quantique j:
j = l — ms-j < m < + j
j et m décrivent les conséquences de l’interaction spin orbite
1.38
1.4.1
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Rayonnement X caractéristique
L’énergie de désexcitation est émise sous forme de photon d’énergie: E = ∆W = hν
fréquence: ν = ∆ W
h
longueur d’onde: λ = c h
∆W
Ce rayonnement est appelé:
⇒ rayonnement X primaire si le rayonnement incident est corpusculaire (cas des tubes à
rayons X)
⇒ rayonnement X secondaire ou de fluorescence si le rayonnement incident est
électromagnétique (rayons X).
1.4.1.1 Transitions permises
Toutes les transitions ne sont pas permises par la mécanique quantique. Seules sont
permises celles qui font varier les nombres quantiques l et j:
∆l = ± 1
∆j = 0 ou ± 1
∆n = 0 transitions très faibles ou absentes
1.39
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 28 Excitation du niveau K
Figure 29
Désexcitation par émission de rayons X
GCH 740
1.40
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 30
GCH 740
Émission de rayons X produits par transitions d’électrons
1.41
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Figure 31 Niveaux d’énergie dans un atome de cuivre
Transitions des séries K et L. Échelle des énergies arbitraire
On crée les lignes Kα, Kα2, Kβ1, Kβ2, Kj1, Kj2
1.4.1.2 Loi de Moseley
⇒ Excitation localisée dans les couches profondes
⇒ raies d’émission X non affectées par les liaisons chimiques
⇒ Loi de Moseley: relie la fréquence de rayonnement en fonction du numéro atomique
ν = k1 Z - k2
loi empirique
1.42
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
k1, k2 dépendent de chaque raie.
1.4.1.3 Intensité du rayonnement
⇒ L’intensité d’une raie dépend de:
• section efficace d’ionisation des atomes au niveau énergétique donné;
• probabilité de désexcitation;
• probabilité relative des différentes transitions possibles;
• effets d’absorption du rayonnement dans la masse de l’échantillon avant sa sortie.
⇒ Section efficace d’ionisation:
• dépend de la nature du rayonnement incident
électromagnétique
électronique
• dépend du rapport
Eo
appelé taux d’excitation.
Wx
⇒ Probabilité de désexcitation suivant le mode radiatif:
2 modes d’émission:
:
rayonnement électromagnétique (R)
électron par effet Auger (A)
On a wR + wA = 1
w: rendement rapporté à une vacance électronique
1.43
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Figure 32 Courbe wR(z) et wA (z)
⇒ Probabilité des différentes transitions possibles
Pour un atome donné: l’intensité d’une raie est proportionnelle à la probabilité de
transition correspondante. Si Eo > WK, les raies de la série K sont les plus intenses.
1.44
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Figure 33
Série Kβ 10 fois moins intense que série Kα
•
Série K: plus intense et plus simple
•
Série L: moins intense et plus compliqué car trois niveaux L1, L2, L3.
On peut privilégier la série K sauf pour l’étude des éléments lourds.
(WK uranium = 115,6 k eV)
1.45
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
1.4.1.4 Rayonnement incident électronique
Exemple:
Spectre total d’émission K du cuivre
WK cuivre = 8979 eV
Rayonnement incident électronique d’énergie Eo > WK
Figure 34
⇒ Profondeur d’interaction
On définit une fonction Φ (ρZ) qui caractérise la production de rayons X en
fonction de la profondeur.
1.46
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Figure 35
La connaissance de la profondeur d’interaction permet de prévoir le volume
d’analyse. Il est en général plus petit que le volume d’interaction des électrons dans la
matière.
1.47
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 36
GCH 740
1.48
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
1.4.1.5 Rayonnement incident électromagnétique (Rayon X)
Rayonnement primaire: rayons X
Rayonnement caractéristique secondaire: rayonnement de fluorescence émis lorsque
l’atome a été excité par le faisceau de rayons X incident.
Exemple:
Excitation produite par un rayonnement électromagnétique d’énergie h
νo > WK. Même spectre caractéristique, mais pas de fond continu.
Figure 37 Principales raies K du cuivre. Excitation par des rayons X pour 1 atome.
Applications: fluorescence X
⇒ Effets d’absorption du rayonnement → cf.chap. 1.5
1.49
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
1.4.1.6 Choix des énergies
On choisit les énergies de transition suivant les techniques de détection.
En général, c’est la gamme 0 - 20 k eV que l’on choisit.
Figure 38 Énergie des rayons X des lignes K, L et M.
1.4.1.7 Influence des liaisons chimiques
Négligeable:
∆E = Wx - Wy (atome libre)
(Y → X)
∆E = (Xx + δWx) - (Wy + δΩy) (atome lié)
∆E = E + (δWx - δWy)
GCH 740
1.50
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 39
GCH 740
1.51
1.4.2
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Rayonnement électronique caractéristique (électrons Auger)
Découvert en 1925 par Auger
Énergie de désexcitation ∆W (Y → X)
∆Wy → x utilisée pour éjecter un électron d’un niveau Y’.
Transition sous émission photonique.
1.4.2.1 Mécanisme
(1)Ionisation avec émission d’un électron secondaire ou photo-électron du niveau X.
(2)Désexcitation provenant du niveau Y.
(3)Émission de l’électron Auger du niveau Y’.
1.4.2.2 Énergie de l’électron Auger
Énergie = Énergie cinétique
Énergie cinétique = Énergie libérée par transition YX - Énergie nécessaire pour
éjecter l’électron du niveau Y’.
Ec = Wyx - W’y’
W’y’ = énergie de seconde ionisation au niveau Y’
W’y’ > Wy’
On a: W’y’ (Z) = Wy’ (Z + 1)
Wy’ (Z + 1): énergie de première ionisation au niveau Y’ de l’atome de numéro
atomique immédiatement supérieur (Z + 1).
Énergie de l’électron Auger à son point d’émission: E’
1.52
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
E’ = Wx - Wy - Wy’ (Z + 1)
Énergie de l’électron Auger mesurée à la surface: E
E = Wy - Wy - Wy’ (Z + 1) - e Φ
Φ: potentiel interne moyen du solide
eΦ: travail d’extraction
L’énergie cinétique d’un électron Auger est caractéristique de l’atome qui le produit
uniquement dans le cas où ce dernier est situé à la surface.
Les électrons produits en profondeur subiront des pertes d’énergie par interaction
avec les atomes sur leur parcours vers la surface.
La spectrométrie des électrons Auger sera une méthode d’analyse des surfaces (chap.
4).
1.53
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Figure 40 Excitation au niveau K
Figure 41 Désexcitation par émission d’électrons Auger. Transition KL1L3
1.54
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
1.4.2.3 Transitions possibles
La seule condition est: W’y’ < Wx - Wy. Il existe des transitions avec ∆n = 0 sauf au
niveau K.
Exemple:
Figure 42 Transition Auger
a
b:
:
excitation au niveau L1
désexcitation par émission Auger L1L3M5.
1.55
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
1.4.2.4 Intensité de l’émission Auger
Figure 43
1.4.2.5 Influence des liaisons chimiques
⇒ Énergie cinétique de l’électron Auger est directement fonction de son niveau
d’origine.
⇒ Niveau d’énergie d’origine peu profond → influence sensible des liaisons chimiques
(~ 5 eV selon le degré d’oxydation) pour une énergie de quelques dizaines d’eV.
1.56
1.4.3
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Électrons rétrodiffusés
⇒ Mesures expérimentales:70% du faisceau d’électron est absorbé;
30% sont des électrons rétrodiffusés.
On définit z = nnrd = ird
o
io
⇒
no: électrons incidents
nrd: électrons rétrodiffusés
1.4.3.1 Mécanisme
Figure 44
Résulte de phénomènes de diffusion élastique, où les changements de directions
permettent de faire sortir l’électron de l’échantillon.
⇒ Ainsi, un électron peut ressortir de l’échantillon après une seule collision.
1.57
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
1.4.3.2 Influence du numéro atomique
η: croît avec le numéro atomique comme prévu par la section efficace de la diffusion
2
élastique prop. à Z2 (cf. 2.2.3.1)
E
Figure 45
Figure 46 CARBONE
1.58
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Figure 47 ARGENT
1.4.3.3 Influence de l’énergie du faisceau incident
⇒ Volume d’interaction fonction de l’énergie du faisceau incident.
⇒ Mais très faible influence de l’énergie (cf. courbe précédente): variation de 10% pour
10 - 49 k eV.
Explication: Lorsque Eo augmente, la pénétration des électrons augmente, mais le
taux de perte d’énergie par des interactions inélastiques décroît à haute énergie. L’effet de
pénétration est compensé pratiquement complètement par les effets de perte d’énergie.
1.4.3.4 Influence de l’angle de l’échantillon
η (θ ) =
1
1 + cos θ
ρ
ρ = 9/ 2 (éléments purs)
1.59
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 48
1.4.3.5 Distribution angulaire
Pour un angle d’échantillon = 0°
η (φ) = η’ cos Φ
η’: valeur η pour Φ = 0
Figure 49
GCH 740
1.60
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Figure 50
1.4.3.6 Distribution d’énergie
Les pertes d’énergie par interactions inélastiques pour différents matériaux diminuent
lorsque l’énergie de l’électron augmente.
1.61
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 51
Figure 52
GCH 740
1.62
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Si on fait varier l'angle du détecteur au-dessus de la surface, on observe:
Figure 53
Les électrons observés à 22.5 ont perdu plus d'énergie.
1.4.3.7 Distribution spatiale
Les électrons rétrodiffusés peuvent provenir de lieux assez éloignés du faisceau
incident.
Pour obtenir des informations sur la région proche de l'impact du faisceau, il est
préférable de sélectionner des électrons rétrodiffusés qui n'ont pas perdu beaucoup d'énergie.
1.63
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 54
GCH 740
1.64
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
1.4.3.8 Profondeur d'interaction
D'après les simulations de Monte-Carlo, un électron peut subir de nombreuses
diffusions élastiques avant de ressortir sous forme rétrodiffusée.
Les informations apportées par l'électron rétrodiffusé peuvent provenir de toute une
zone de profondeur.
Figure 55
1.4.3.9 Applications: Microscope électronique à balayage
1.65
1.4.4
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Électron de recul et photoélectron
1.4.4.1 Électron de recul
C'est l'électron produit par effet Compton.
Faible énergie: photon incident Kα Cu 8,05 k eV.
énergie de recul minimale à 2θ =
π
d'un électron libre: 125 eV
2
Pas d'applications pratiques
1.4.4.2 Photoélectron
- Excitation primaire à un niveau Y a lieu par des photons
- Photons perdent k νo dans l'interaction
→ Énergie cinétique E' de l'électron quittant l'atome est: E' = k νo - Wy
- Rayonnement monochromatique → électrons auront au départ une énergie bien
définie.
- Pertes d'énergies aléatoires par interaction avec les atomes.
- Perte d'énergie appelée travail d'extraction (e Φ) pour quitter la surface.
=> E mesurée à la sortie: E = k νo - Wy - e Φ
1.66
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Figure 56
Le pic permet d'atteindre les niveaux d'énergie caractéristiques des atomes. Mesure des
énergies de liaison des électrons des atomes par la technique E.S.C.A. (Electron
Spectrometry for Chemical Analysis).
1.67
1.4.5
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Électrons secondaires
1.4.5.1 Mécanisme
- Faisceau d'électron incident subit des pertes d'énergie aléatoires par interaction avec
les atomes.
- Lors de la production d'électrons secondaires, ils auront une gamme d'énergie à
variation continue.
Figure 57
1.4.5.2 Influence de l'énergie
Lorsqu'on augmente l'énergie du faisceau incident, l'énergie des électrons secondaires
est inchangée (comme celle des électrons Auger). Mais l'énergie des électrons rétrodiffusés
varie comme l'énergie du faisceau incident.
1.68
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 58
Énergie des électrons secondaires: limitée à 50 eV (limite arbitraire)
Le pic d'émission correspond aux électrons secondaires (< 50 eV)
- Influence de l'énergie du faisceau incident
Figure 59
GCH 740
1.69
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
1.4.5.3 Profondeur d'interaction
Lorsque le faisceau d'électron incident pénètre dans un échantillon et produit des
électrons secondaires, la probabilité d'émission à la surface de ces électrons secondaires
décroît exponentiellement.
Figure 60
Cependant les électrons rétrodiffusés induisent du rayonnement secondaire en quittant
l'échantillon.
λ ~ 1 nm pour les métaux
λ ~ 10 nm pour les isolants
Profondeur
de
génération
des
électrons secondaires = 1% celle des
électrons rétrodiffusés
Figure 61
- Surface des électrons rétrodiffusés φ > 1 µm
- Mais l'intensité des électrons secondaires produite par le faisceau incident est
supérieure à celle produite par les électrons rétrodiffusés.
1.70
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
- Ces électrons secondaires forment un bruit de fond.
Figure 62
1.4.5.4 Influence du numéro atomique
- Peu d'influence à forte tension
GCH 740
1.71
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Figure 63
1.4.5.5 Influence de l'angle de l'échantillon
Figure 64
Coefficient δ d'émission d'électrons secondaires en fonction de l'angle de l'échantillon
θ. Lorsque θ augmente, la production d'électrons secondaires augmente.
1.4.5.6 Applications
Utilisation dans le Microscope Électronique à Balayage dans les photomultiplicateurs, dans
les tubes orthicon des anciennes caméras de télévision.
1.72
1.5
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
ABSORPTION DES RAYONNEMENTS DANS UN MATÉRIAU
1.5.1 Absorption des R.X.
- Mécanisme prépondérant: ionisation ou effet photoélectrique. On peut négliger la
diffusion.
- Mécanisme quantifié: un photon perd Eo ou rien.
dI/Io = - µρ d x
I = Io exp (- µρx)
I :
intensité
µ:
coefficient d'absorption massique
µρ : coefficient d'absorption linéaire
ρ:
masse volumique du matériau traversé
Figure 65
1.73
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
- Coefficient d'absorption atomique:
Figure 66
GCH 740
1.74
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 67
GCH 740
1.75
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
- Applications:
Figure 68 Absorption du rayonnement x (protection)
Figure 69 Épaisseurs en cm de quelques matériaux qui produisent une atténuation de
99% du faisceau incident.
1.76
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 70 Filtrage
GCH 740
1.77
1.5.2
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Absorption des électrons
- Les électrons sont fortement absorbés par la matière.
- Mécanismes d'absorption prépondérants: diffusion élastique et inélastique
- Intensité et énergie du faisceau diminuent pendant l'absorption.
- Section efficace de diffusion élevée → diffusions multiples avec pertes d'énergie
aléatoires successives suivant des trajectoires en lignes brisées jusqu'à l'arrêt éventuel.
Figure 71
1.78
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 72
- Influence du numéro atomique
GCH 740
1.79
Figure 73
Uranium
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
Méthode de Monte-Carlo appliquée à (a) Carbone; (e) Argent; (c) Fer; (g)
1.80
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 74 Influence de l'énergie du faisceau
Influence de l'angle de l'échantillon
GCH 740
1.81
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
1.82
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
1.83
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
Figure 75
Figure 76
GCH 740
1.84
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
1.3.2.2 Solutions
(1)
• 4 x 1/8 → • 1/2
o 4 x 1/8 → o 1/2
=> 1/2 K cl / do3
v=m
ρ
1/2 do-3 (K Cl) / m3
1/2 do-3 ρ-1 (K Cl) / kg
n
= 1 d -3 ρ -1
M K Cl 2 o
M = 2 do 3 ρ
n
1/3
→ do = M K Cl
n 2ρ
A.N. do =
(2)
74,56
2,1990 6 0 25 1026
1/3
= 3,14 Å
(1, 0, 0)
(3)
Figure 77
GCH 740
1.85
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
θ2 > θ1 > θo
(4)
Dépend de la densité des plans (Nombre d'atomes / unité de surface)
I θo > I θ1 > I θ2
(5)
Plan (DEF)
GCH 740
1.86
Notions Théoriques
Techniques de caractérisation des matériaux
GCH 740
1.6. BIBLIOGRAPHIE
EBERHART, J.P. "Méthodes physiques d'étude des minéraux et des matériaux solides", Doin
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SPROULL, R.L. "Modern Physics", New York, John Wiley & Sons Inc., QC173577 m.
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DUCROS, P., LAJZEROWICZ-BONNETEAU, J. "Problèmes de cristallographie", Dunod,
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