Chapitre 4 : Principes de la mécanique quantique II

Universit´e Denis Diderot Paris 7
M´ecanique Quantique 36U3MQ35
Chapitre 4
1Principes de la m´ ecanique quantiques II
Nous avons vu que le carr´e du module de la fonction d’onde admet l’interpr´etation d’une densit´e
de probabilit´e de pr´esence de la particule. Qu’en est-il de l’impulsion ? Dans le chapitre
pr´ec´edent, nous avons utilis´e le d´eveloppement en s´erie de Fourier pour trouver la distribution
de l’impulsion (discr`ete) d’une particule sur le cercle. Dans ce chapitre nous allons d’abord
trouver la distribution en impulsion d’une particule qui se d´eplace dans l’espace tridimensionel.
Pour cela nous aurons besoin d’un outil tr`es important qui est la transform´ee de Fourier. Nous
verrons ensuite que les observables physiques en m´ecanique quantique deviennent des op´erateurs.
1.1 Transform´ ee de Fourier
Les ondes planes, c’est `a dire de la forme i~
k.~r, d´ecrivent, selon l’hypoth`ese de de Broglie, une
particule avec impulsion ¯h~ k. Le th´eorˆeme d’inversion de Fourier nous permettra de mettre toute
fonction d’onde sous la forme de superposition (continue) d’ondes planes. Il permettra ainsi
d’extraire la distribution de probabilit’e de l’impulsion.
Consid´erons d’abord une fonction p´eriodique avec p´eriode 2πR. Elle admet une d´ecomposition
en s´erie de Fourier commenous l’avons vu au chapitre pr´ec´edent
φ(x) = 1
√2πR X
n
cnein x
R,(1.1)
avec
cn=1
√2πR Z2πR
0
φ(x)e−in x
R.(1.2)
Consid´erons la limite o`u le rayon du cercle devient tr`es grand, le cercle tend alors vers une droite
et la variable k=n/R dans cette limite devient continue. La somme sur npeut ˆetre remplac´ee
par une int´egrale sur n. Notons cn√R=˜
φ(k). Nous arrivons aux deux expressions
φ(x) = Z+∞
−∞
dk
√2π
˜
φ(k)eikx,(1.3)
˜
φ(k) = Z∞
−∞
dx
√2πφ(x)e−ikx.(1.4)
La fonction ˜ φ(k) d´efinie par (1.4) s’appelle la transform´ee de Fourier de φet l’´egalit´e (1.3) est
le th´eorˆeme d’inversion de Fourier. Il permet d’exprimer toute fonction comme une int´egrale
d’ondes planes.
Le th´eorˆeme de Plancherel-Parseval s’´ecrit maintenant comme
Z∞
−∞ |φ(x)|2dx =Z+∞
−∞ |˜
φ(k)|2dk. (1.5)

Une formule qui sera utile plus tard s’obtient en ´ecrivant la relation pr´ecedente pour φ=
φ1±φ2:Z∞
−∞
φ∗
1(x)φ2(x)dx =Z+∞
−∞
˜
φ1(k)˜ φ2(k)dk. (1.6)
Nous arrivons `a l’interpr´etation physique de la transform´ee de Fourier, dans l’extension du
septi`eme principe :
Septi`eme principe : Une mesure de l’impulsion d’une particule `a une dimension d´ecrite par une
fonction d’onde ayant le d´eveloppement (1.3) donne une valeur comprise entre ¯hk et ¯h(k+dk)
avec la probabilit´e |φ(k)|2dk.
La somme des probabilit´es vaut bien 1 `a cause de l’´egalit´e de Plancherel-Parseval.
Apr`es des mesures r´ep´et´ees sur un grand nombre de syst`emes identiques la valeur moyenne
de l’impulsion est donn´ee par
< p >= ¯hZdk|˜ φ(k)|2k dk. (1.7)
De mˆeme, la valeur moyenne de pnest donn´ee par
< pn>= ¯hnZdk|˜
φ(k)|2kndk. (1.8)
Remarques :
1- Si l’on d´efinit φ(p) par (¯h)−1/2˜
φ(p/¯h) alors la probabilit´e que l’impulsion de la particule
soit comprise entre pet p+dp est donn´ee par |φ(p)|2dp. Les relations (1.3) et (1.4) donnent
φ(x) = Z+∞
−∞
dp
√2π¯hφ(p)eipx
¯h,(1.9)
φ(p) = Z∞
−∞
dx
√2π¯hφ(x)e−ipx
¯h.(1.10)
Les valeurs moyennes prennent la forme
< pn>=Zdp|φ(p)|2pndp. (1.11)
2-A ndimensions les formules de Fourier se g´en´eralisent ais´ement comme
φ(~x) = Z+∞
−∞
dnp
(2π¯h)n
2
φ(~p)ei~p.~x
¯h,(1.12)
φ(~p) = Z∞
−∞
dnx
(2π¯h)n
2
φ(~x)e−i~p.~x
¯h,(1.13)
o$‘u ~x = (x1, x2,...,xn) et ~p = (p1,...pn) sont des vecteurs avec ncomposantes et ~x.~p =
x1p1+x2p2+···+xnpnest le produit scalaire des deux vecteurs.
3- Comme la fonction d’onde s’obtient `a partir de sa transform´ee de Fourier par la formule
d’inversion (1.3), il est possible de repr´esenter le syst`eme par la transform´ee de Fourier. On
parle alors de repr´esentation “impulsion” par opposition `a la repr´esentation position ψ(x). Nous
reviendrons plus tard sur cet aspect.
2

1.2 Propri´ et´ es de la transform´ ee de Fourier
Nous allons voir que plusieurs op´erations sur la fonction d’onde se traduisent simplement par
des op´erations correspondantes sur les transform´ees de Fourier.
a. Translation : Si l’on translate le syst`eme d´ecrit par la fonction d’onde φ(x) de ail sera d´ecrit
par la fonction d’onde φa(x) = φ(x−a). La transform´ee de Fourier de φaest
˜
φa(k) = Z+∞
−∞
dx
√2πφ(x−a)e−ikx =e−ika ˜
φ(k),(1.14)
o`u pour arriver `a la derni`ere ´egalit´e un changement de variable x→(x−a) a ´et´e effectu´e. Les
deux fonctions d’onde φet φaont donc la mˆeme distribution en impulsion, elles diff`erent par
une phase.
b. Dilatation : Le syst`eme d´ecrit par la fonction d’onde √aφ(ax) est le dilat´e par le facteur
1/a du syst`eme d´ecrit par φ(x). La transform´ee de Fourier de la fonction d’onde dilat´ee est
˜
φ(k/a)/√a, c’est donc la dilat´ee par le facteur inverse de la transform´ee de Fourier de φ. On en
d´eduit que plus la distribution en xest ´etroite plus la distribution en pest large et inversement.
C’est une mani`ere de formuler le principe d’incertitude de Heisenberg: plus une particule est
localis´ee plus son impulsion est incertaine. Une formulation plus pr´ecise sera donn´ee plus tard
dans ce chapitre.
c. D´erivation : cherchons la transform´ee de Fourier de la d´eriv´ee de φ
e
φ0(k) = Z+∞
−∞
dx
√2πφ0(x)e−ikx.(1.15)
Une int´egration par parties permet de trouver e φ0(k) = ik ˜ φ(k).
L’application successive de ce r´esultat permet de conclure que la transform´ee de Fourier de
la d´eriv´ee nieme est la transform´ee de Fourier multipli´ee par (ik)n:
g
dnφ
dxn(k) = (ik)n˜
φ(k).(1.16)
d. Multiplication par x:
f
xφ(k) = Z+∞
−∞
dx
√2πxφ(x)e−ikx =id
dk Z+∞
−∞
dx
√2πφ(x)e−ikx =id˜
φ
dk .(1.17)
e. Multiplication par eik0x:
g
eixk0φ(k) = Z+∞
−∞
dx
√2πφ(x)e−i(k−k0)x=˜
φ(k−k0).(1.18)
Une translation de l’impulsion correspond `a la multiplication par une onde plane.
1.3 Exemple: les fonctions d’onde gaussiennes
Les gaussiennes sont des fonctions que l’on rencontre souvent en physique. En m´ecanique quan-
tique, ce sont les fonctions d’onde de la forme
Neixp0
¯he−(x−x0)2
4σ2,(1.19)
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o`u Nest une constante de normalisation que l’on determinera. La fonction d’onde d´ecrit une
particule avec position moyenne x0, impulsion moyenne p0incertitude ou dispersion ou largeur
en xdonn´ee par σ. La possibilit´e de faire des calculs explictes avec les gaussiennes les rend tr`es
utiles .
Un r´esultat que nous utiliserons souvent est la valeur de l’int´egrale
I(β, γ) = Z+∞
−∞
dxe−β(x+γ)2=rπ
β,(1.20)
o`u βet γsont deux complexes quelconques avec la partie r´eelles de βpositive.
Pour le montrer ´ecrivons γ=γ1+iγ2avec γir´eel, une translation de la variable d’int´egration r´eduit
l’int´egrale `a
Zdxe−β(x−iγ2)2.(1.21)
Elle est donc ind´ependante de γ1. Prenons maintenant la d´eriv´ee par rapport `a γ2, une d´erivation sous
le signe int´egrale donne
∂I
∂γ2
=Z2iβ(x−iγ2)e−β(x−iγ2)2=−iZd
dx e−β(x−iγ2)2= 0.(1.22)
Ine d´epend donc pas de γ2. On a donc I(β, γ) = I(β, 0). Pour calculer cette derni`ere ecrivons I2(β, 0)
sous la forme d’une int´egrale double
I2(β, 0) = Zdxe−βx2Zdye−βy2=ZR2
dxdye−β(x2+y2).(1.23)
Un changement de variable vers les coordonn´ees polaires du plan conduit `a
I2(β, 0) = 2πZ∞
0
dr re−βr2=π
β,(1.24)
d’o`u l’on d´eduit le r´esultat (1.20). En prenant des d´eriv´ees successives de (1.20) par rapport `a beta on
trouve Zdxx2ne−βx2=√π1
23 2...2n−1 21
β2n+1
2
.(1.25)
La fonction d’onde correctement normalis´ee et centr´ee en z´ero est donc
φσ=1
(2πσ2)1
4
e
−x2
4σ2.(1.26)
Sa transform´ee de Fourier s’obtient grˆace `a (1.20)
f
φσ=2σ2
π1
4
e−σ2k2.(1.27)
C’est donc une gaussienne avec une largeur 1
2σ.
On d´eduit, en utilisant (1.25)
< x2>=Zdx x2|φσ(x)|2=σ2
et
< p2>= ¯h2Zdk k2|˜
φσ(k)|2=¯h2
4σ2.
4

Comme les valeurs moyennes de xet de psont nulles, < x2>et < p2>mesurent les dispersions
en xet en p. En g´en´eral, ces dispersions sont donn´ees par
(∆x)2=<(x−< x >)2>=< x2>−< x >2,(1.28)
et des relations similaires pour p. On constate donc que pour les fonctions d’onde gaussiennes
on a ∆x∆p=¯h
2. Il n’est donc pas possible d’avoir une incertitude arbitrairement petite `a la fois
en xet en p.
Remarquons que σest arbitraire. En particulier il peut tendre vers zero. Dans cette limite
nous aurons une fonction d’onde nulle en tout point sauf en zero mais dont l’int´egrale du module
au carr´e vaut 1 ! Elle d´ecrit une particule exactement localis´ee `a l’origine. Par une translation
nous aurons une particule exactement localis´ee en tout autre point. Comme < p2>=¯h2
4σ2,
l’´energie cin´etique moyenne de cette particule exactement localis´ee sera extrˆemement grande
(infinie).
La densit´e de probabilit´e correspondante `a la fonction d’onde gaussienne centr´ee en x0:
ρσ(x−x0) = 1
(2πσ2)1
2
e
−(x−x0)2
2σ2(1.29)
dans la limite o`u σ→0 est appel´ee la fonction (ou distribution) de Dirac :
ρσ(x−x0)−→σ→0δ(x−x0).(1.30)
C’est une fonction tr`es utile que nous rencontrerons souvent. La transform´ee de Fourier de ρσ
est donn´ee par
˜ρσ(k) = 1
√2πe−ix0ke−σ2k2
2.(1.31)
En prenant la limite σ→0 on trouve que la transform´ee de Fourier de δ(x−x0) est donn´ee par
1
√2πe−ix0k,(1.32)
d’o`u l’on d´eduit
δ(x) = Zdk
2πeikx.(1.33)
Utilisons maintenant la relation de Plancherel-Parseval
Zdx φ(x)δ(x−x0) = Zdk
√2πeix0k˜
φ(k),(1.34)
qui, grˆace `a la formule d’inversion de Fourier, nous donne
Zdx δ(x−x0)φ(x) = φ(x0).(1.35)
C’est la propri´et´e la plus importante de la fonction delta.
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