Chapitre 4 : Principes de la mécanique quantique II

Université Denis Diderot Paris 7
Mécanique Quantique 36U3MQ35
Chapitre 4
Principes de la mécanique quantiques II
1
Nous avons vu que le carré du module de la fonction d’onde admet l’interprétation d’une densité
de probabilité de présence de la particule. Qu’en est-il de l’impulsion ? Dans le chapitre
précédent, nous avons utilisé le développement en série de Fourier pour trouver la distribution
de l’impulsion (discrète) d’une particule sur le cercle. Dans ce chapitre nous allons d’abord
trouver la distribution en impulsion d’une particule qui se déplace dans l’espace tridimensionel.
Pour cela nous aurons besoin d’un outil très important qui est la transformée de Fourier. Nous
verrons ensuite que les observables physiques en mécanique quantique deviennent des opérateurs.
1.1
Transformée de Fourier
~
Les ondes planes, c’est à dire de la forme ik.~r , décrivent, selon l’hypothèse de de Broglie, une
particule avec impulsion h̄~k. Le théorême d’inversion de Fourier nous permettra de mettre toute
fonction d’onde sous la forme de superposition (continue) d’ondes planes. Il permettra ainsi
d’extraire la distribution de probabilit’e de l’impulsion.
Considérons d’abord une fonction périodique avec période 2πR. Elle admet une décomposition
en série de Fourier commenous l’avons vu au chapitre précédent
x
1 X
cn ein R ,
φ(x) = √
2πR n
(1.1)
avec
Z 2πR
x
1
(1.2)
φ(x)e−in R .
cn = √
2πR 0
Considérons la limite où le rayon du cercle devient très grand, le cercle tend alors vers une droite
et la variable k = n/R dans cette limite
devient continue. La somme sur n peut être remplacée
√
par une intégrale sur n. Notons cn R = φ̃(k). Nous arrivons aux deux expressions
φ(x) =
φ̃(k) =
Z
+∞
Z−∞
∞
−∞
dk
√ φ̃(k)eikx ,
2π
dx
√ φ(x)e−ikx .
2π
(1.3)
(1.4)
La fonction φ̃(k) définie par (1.4) s’appelle la transformée de Fourier de φ et l’égalité (1.3) est
le théorême d’inversion de Fourier. Il permet d’exprimer toute fonction comme une intégrale
d’ondes planes.
Le théorême de Plancherel-Parseval s’écrit maintenant comme
Z ∞
Z +∞
2
|φ(x)| dx =
|φ̃(k)|2 dk.
−∞
−∞
(1.5)
Une formule qui sera utile plus tard s’obtient en écrivant la relation précedente pour φ =
φ1 ± φ 2 :
Z +∞
Z ∞
∗
φ1 (x)φ2 (x) dx =
φ̃1 (k)φ̃2 (k) dk.
(1.6)
−∞
−∞
Nous arrivons à l’interprétation physique de la transformée de Fourier, dans l’extension du
septième principe :
Septième principe : Une mesure de l’impulsion d’une particule à une dimension décrite par une
fonction d’onde ayant le développement (1.3) donne une valeur comprise entre h̄k et h̄(k + dk)
avec la probabilité |φ(k)|2 dk.
La somme des probabilités vaut bien 1 à cause de l’égalité de Plancherel-Parseval.
Après des mesures répétées sur un grand nombre de systèmes identiques la valeur moyenne
de l’impulsion est donnée par
Z
< p >= h̄ dk|φ̃(k)|2 k dk.
(1.7)
De même, la valeur moyenne de pn est donnée par
Z
< pn >= h̄n dk|φ̃(k)|2 k n dk.
(1.8)
Remarques :
1- Si l’on définit φ(p) par (h̄)−1/2 φ̃(p/h̄) alors la probabilité que l’impulsion de la particule
soit comprise entre p et p + dp est donnée par |φ(p)| 2 dp. Les relations (1.3) et (1.4) donnent
Z +∞
px
dp
√
(1.9)
φ(x) =
φ(p)ei h̄ ,
2πh̄
−∞
Z ∞
px
dx
√
φ(p) =
φ(x)e−i h̄ .
(1.10)
2πh̄
−∞
Les valeurs moyennes prennent la forme
< pn >=
Z
dp|φ(p)|2 pn dp.
2-A n dimensions les formules de Fourier se généralisent aisément comme
Z +∞
p
~.~
x
dn p
φ(~x) =
p)ei h̄ ,
n φ(~
−∞ (2πh̄) 2
Z ∞
p
~.~
x
dn x
φ(~
p) =
x)e−i h̄ ,
n φ(~
−∞ (2πh̄) 2
(1.11)
(1.12)
(1.13)
o$‘u ~x = (x1 , x2 , . . . , xn ) et p
~ = (p1 , . . . pn ) sont des vecteurs avec n composantes et ~x.~
p =
x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn est le produit scalaire des deux vecteurs.
3- Comme la fonction d’onde s’obtient à partir de sa transformée de Fourier par la formule
d’inversion (1.3), il est possible de représenter le système par la transformée de Fourier. On
parle alors de représentation “impulsion” par opposition à la représentation position ψ(x). Nous
reviendrons plus tard sur cet aspect.
2
1.2
Propriétés de la transformée de Fourier
Nous allons voir que plusieurs opérations sur la fonction d’onde se traduisent simplement par
des opérations correspondantes sur les transformées de Fourier.
a. Translation : Si l’on translate le système décrit par la fonction d’onde φ(x) de a il sera décrit
par la fonction d’onde φa (x) = φ(x − a). La transformée de Fourier de φ a est
Z +∞
dx
√ φ(x − a)e−ikx = e−ika φ̃(k),
φ̃a (k) =
(1.14)
2π
−∞
où pour arriver à la dernière égalité un changement de variable x → (x − a) a été effectué. Les
deux fonctions d’onde φ et φa ont donc la même distribution en impulsion, elles diffèrent par
une phase.
√
b. Dilatation : Le système décrit par la fonction d’onde aφ(ax) est le dilaté par le facteur
1/a du système décrit par φ(x). La transformée de Fourier de la fonction d’onde dilatée est
√
φ̃(k/a)/ a, c’est donc la dilatée par le facteur inverse de la transformée de Fourier de φ. On en
déduit que plus la distribution en x est étroite plus la distribution en p est large et inversement.
C’est une manière de formuler le principe d’incertitude de Heisenberg: plus une particule est
localisée plus son impulsion est incertaine. Une formulation plus précise sera donnée plus tard
dans ce chapitre.
c. Dérivation : cherchons la transformée de Fourier de la dérivée de φ
Z +∞
dx
0
e
√ φ0 (x)e−ikx .
φ (k) =
2π
−∞
(1.15)
Une intégration par parties permet de trouver φe0 (k) = ik φ̃(k).
L’application successive de ce résultat permet de conclure que la transformée de Fourier de
la dérivée nieme est la transformée de Fourier multipliée par (ik) n :
nφ
dg
(k) = (ik)n φ̃(k).
dxn
d. Multiplication par x :
Z +∞
Z +∞
dx
dx
d
dφ̃
f
√ xφ(x)e−ikx = i
√ φ(x)e−ikx = i .
xφ(k)
=
dk
dk
2π
2π
−∞
−∞
(1.16)
(1.17)
e. Multiplication par eik0 x :
g0 φ(k)
eixk
=
Z
+∞
−∞
dx
√ φ(x)e−i(k−k0 )x = φ̃(k − k0 ).
2π
(1.18)
Une translation de l’impulsion correspond à la multiplication par une onde plane.
1.3
Exemple: les fonctions d’onde gaussiennes
Les gaussiennes sont des fonctions que l’on rencontre souvent en physique. En mécanique quantique, ce sont les fonctions d’onde de la forme
N ei
xp0
h̄
e−
3
(x−x0 )2
4σ 2
,
(1.19)
où N est une constante de normalisation que l’on determinera. La fonction d’onde décrit une
particule avec position moyenne x0 , impulsion moyenne p0 incertitude ou dispersion ou largeur
en x donnée par σ. La possibilité de faire des calculs explictes avec les gaussiennes les rend très
utiles .
Un résultat que nous utiliserons souvent est la valeur de l’intégrale
r
Z +∞
π
−β(x+γ)2
,
I(β, γ) =
dxe
=
β
−∞
(1.20)
où β et γ sont deux complexes quelconques avec la partie réelles de β positive.
Pour le montrer écrivons γ = γ1 + iγ2 avec γi réel, une translation de la variable d’intégration réduit
l’intégrale à
Z
2
dxe−β(x−iγ2 ) .
(1.21)
Elle est donc indépendante de γ1 . Prenons maintenant la dérivée par rapport à γ2 , une dérivation sous
le signe intégrale donne
Z
Z
d −β(x−iγ2 )2
∂I
−β(x−iγ2 )2
= −i
= 2iβ(x − iγ2 )e
e
= 0.
(1.22)
∂γ2
dx
I ne dépend donc pas de γ2 . On a donc I(β, γ) = I(β, 0). Pour calculer cette dernière ecrivons I 2 (β, 0)
sous la forme d’une intégrale double
Z
Z
Z
2
2
2
−βx2
−βy 2
dxdye−β(x +y ) .
(1.23)
I (β, 0) = dxe
dye
=
R2
Un changement de variable vers les coordonnées polaires du plan conduit à
Z ∞
2
π
I 2 (β, 0) = 2π
dr re−βr = ,
β
0
(1.24)
d’où l’on déduit le résultat (1.20). En prenant des dérivées successives de (1.20) par rapport à beta on
trouve
Z
√
1
3
2n − 1
1
2n −βx2
(1.25)
...
dxx e
= π
2n+1 .
2
2
2
β 2
La fonction d’onde correctement normalisée et centrée en zéro est donc
φσ =
−x2
1
(2πσ 2 )
1
4
e 4σ2 .
(1.26)
Sa transformée de Fourier s’obtient grâce à (1.20)
fσ =
φ
C’est donc une gaussienne avec une largeur
2σ 2
π
41
e−σ
2 k2
.
(1.27)
1
2σ .
On déduit, en utilisant (1.25)
2
< x >=
et
2
< p >= h̄
2
Z
dx x2 |φσ (x)|2 = σ 2
Z
dk k 2 |φ̃σ (k)|2 =
4
h̄2
.
4σ 2
Comme les valeurs moyennes de x et de p sont nulles, < x 2 > et < p2 > mesurent les dispersions
en x et en p. En général, ces dispersions sont données par
(∆x)2 =< (x− < x >)2 >=< x2 > − < x >2 ,
(1.28)
et des relations similaires pour p. On constate donc que pour les fonctions d’onde gaussiennes
on a ∆x∆p = h̄2 . Il n’est donc pas possible d’avoir une incertitude arbitrairement petite à la fois
en x et en p.
Remarquons que σ est arbitraire. En particulier il peut tendre vers zero. Dans cette limite
nous aurons une fonction d’onde nulle en tout point sauf en zero mais dont l’intégrale du module
au carré vaut 1 ! Elle décrit une particule exactement localisée à l’origine. Par une translation
h̄2
nous aurons une particule exactement localisée en tout autre point. Comme < p 2 >= 4σ
2,
l’énergie cinétique moyenne de cette particule exactement localisée sera extrêmement grande
(infinie).
La densité de probabilité correspondante à la fonction d’onde gaussienne centrée en x 0 :
ρσ (x − x0 ) =
1
1 e
−(x−x0 )2
2σ 2
(2πσ 2 ) 2
(1.29)
dans la limite où σ → 0 est appelée la fonction (ou distribution) de Dirac :
ρσ (x − x0 ) −→σ→0 δ(x − x0 ).
(1.30)
C’est une fonction très utile que nous rencontrerons souvent. La transformée de Fourier de ρ σ
est donnée par
σ 2 k2
1
ρ̃σ (k) = √ e−ix0 k e− 2 .
(1.31)
2π
En prenant la limite σ → 0 on trouve que la transformée de Fourier de δ(x − x 0 ) est donnée par
1
√ e−ix0 k ,
2π
d’où l’on déduit
δ(x) =
Z
dk ikx
e .
2π
Utilisons maintenant la relation de Plancherel-Parseval
Z
Z
dk
√ eix0 k φ̃(k),
dx φ(x)δ(x − x0 ) =
2π
qui, grâce à la formule d’inversion de Fourier, nous donne
Z
dx δ(x − x0 )φ(x) = φ(x0 ).
C’est la propriété la plus importante de la fonction delta.
5
(1.32)
(1.33)
(1.34)
(1.35)
1.4
Opérateur impulsion et principe de correspondance
Selon le septième principe, la distribution en vecteur d’onde est donnée par | φ̃|2 . Nous avons
donc
Z
(1.36)
< pn >= h̄n dk|φ̃(k)|2 k n .
D’après la propriété de dérivation des transformée de Fourier k n φ̃(k) est la transformée de Fourier
n
de (−i)n ddxnφ L’utilisation du théorême de Plancherel-Parseval permet de mettre l’expression
(1.36) sous la forme
Z
d n
n
∗
< p >= dxφ (x) −ih̄
φ(x).
(1.37)
dx
Définissons l’application linéaire p̂ qui à une fonction d’onde φ associe la fonction p̂φ donnée
n
n dn φ
par −ih̄ dφ
dx , on a alors (p̂) φ = (−ih̄) dxx et les valeurs moyennes des différentes puissance de
de p s’écrivent comme
Z
< pn >=
dxφ∗ (x)[(p̂)n φ](x).
(1.38)
L’opérateur impulsion est l’application linéaire p̂ :
p̂ = −ih̄
d
.
dx
(1.39)
L’opérateur position est celui qui agit sur la fonction d’onde par multiplication par x, x̂φ =
xφ(x), nous avons bien sûr
Z
n
< x >= dxφ∗ (x)[(x̂)n φ](x).
(1.40)
Ceci suggère le principe de correspondance : Une observable classique A est une fonction de
la position et de l’impuslion, à cette observable classique est associée une observable quantique
 qui est une application linéaire agissant sur la fonction d’onde et telle que
Z
< A >= dxφ∗ (x)[Âφ](x).
(1.41)
Les deux opérateurs de base à partir desquels sont construits les autres sont l’opérateur posip2
+ V (x) est associée l’opérateur
tion x̂ et l’opérateur impulsion p̂. Par exemple à l’énergie 2m
Hamiltonien
−h̄2 d2
p̂2
Ĥ =
+
V
(x̂)
=
+ V (x̂)
(1.42)
2m dx2
2m
Le sixième principe nous permet déjà de trouver la valeur moyenne de l’énergie. En effet si
on décompose l’état φ sur les états stationnaires normalisés comme
X
φ(x) =
ci φi (x),
(1.43)
i
alors comme Ĥφi = Ei φi , l’expression (1.41) nous donne
Z
XX
∗
<H > =
cj ci dxφ∗j (x)[(Ĥ)φi ](x)
i
=
XX
i
=
j
X
i
c∗j ci
j
|ci |2 Ei ,
6
Z
dxφ∗j (x)Ei φi (x)
(1.44)
(1.45)
(1.46)
où dans la dernière ligne nous avons utilisé que
en accord avec le sixième principe.
R
φ∗j (x)φi (x)dx = δij .1 Cette expression est bien
Nous avons déjà vu que les fonctions d’onde qui décrivent une particule avec une valeur donnée
et certaine de l’énergie sont les solution de Ĥφ = Eφ. Ce principe admet une géneralisation aux
autres observables physiques : Une fonction d’onde telle que Âφλ = λφλ décrit une particule où
l’observable A admet la valeur λ. la fonction d’onde φ λ est dite état propre de  et λ est dite
valeur propre de A. Par exemple considèrons l’opérateur impulsion p̂, la solution de p̂φ = λφ
est donnée par
iλx
(1.47)
N e h̄ ,
qui est bien une onde plane correspondant à une impulsion λ.
Remarque : Une onde plane Aeixk0 n’est pas normalisable puisque son module au carré est
constant et vaut |A|2 . Elle ne peut donc pas décrire une particule. Pour contourner cette
difficulté deux manières sont possibles : i) placer le système dans un volume fini (par exemple
sur un cercle, comme au chapitre précédent) ou bien ii) considérer des paquets d’ondes, c’est à
dire une fonction d’onde telle que φ̃(k) ait un maximum autour de k = k0 , qui soit de petite
1
si k est compris entre
largeur, et qui de plus soit de carré intégrable. Par exemple, φ̃(k) = √∆k
k0 −
1.5
∆k
2
et k0 +
∆k
2
et nulle ailleurs. Un autre exemple est le paquet d’onde gaussien.
Relations d’incertitude de Heisenberg
Nous allons montrer les relations d’incertitude : pour toute fonction d’onde ∆x∆p ≥
h̄
2.
Par une translation et la multiplication par une onde plane on peut annuler les valeurs
moyennes de x et de p. Considérons une telle fonction d’onde. L’expression
Z
J(a) = dx|axφ + h̄φ0 (x)|2
(1.48)
est positive pour tout a. Elle s’écrit comme
Z
Z
Z
2
2
2
0∗
∗
0
2
J(a) = a
dx x |φ(x)| + ah̄ dx [φ (x)xφ(x) + φ (x)xφ (x)] + h̄
dx φ0∗ (x)φ0 (x). (1.49)
Une intégration par parties du deuxième et troisième terme permet de mettre J(a) sous la forme
J(a) = a2 < x2 > −ah̄+ < p2 > .
(1.50)
Pour que J(a) ≥ 0 quelque soit a il faut que le discriminant de J(a) soit négatif
h̄2 − 4 < x2 >< p2 >≤ 0.
(1.51)
Comme l’état est tel que < x >=< p >= 0 on trouve les inégalités de Heisenberg
∆x∆p ≥
h̄
.
4
(1.52)
Remarque : L’égalité a lieu pour les états telle que J(a) s’annule pour un certain a 0 . On a
2
alors h̄φ0 + a0 xφ(x) = 0 ou bien φ(x) = N e−a0 x . Les gaussiennes sont donc les seules fonctions
d’onde qui saturent l’inégalité de Heisenberg.
1
δij ou le symbole de Kronecker vaut 1 si i = j et zéro sinon.
7
1.6
Evolution d’une particule libre et étalement du paquet d’onde
Considérons une particule libre à 3D qui à t = 0 est décrite par une gaussienne de largeur σ
avec une impulsion moyenne h̄~k0 :
ψ(~r, 0) =
1
r2
~
i~r.k0 − 4σ 2
e
,
3 e
(1.53)
(2πσ 2 ) 4
où nous avons utilisé que la gaussienne à trois dimension est le produit de trois gaussiennes.
Quelle est la fonction d’onde à l’instant t ? Il s’agit de résoudre l’équation de Schrödinger
ih̄
∂ψ(~r, t)
−h̄2
=
∆ψ(~r, t),
∂t
2m
(1.54)
avec (1.53) comme condition initiale. Soit ψ̃(~k, t) la transformée de Fourier de la fonction d’onde.
Elle obéit à l’équation
h̄2 2 ~
∂ ψ̃(~k, t)
=
k ψ(k, t),
(1.55)
ih̄
∂t
2m
dont la solution est
h̄k2 t
ψ̃(~k, t) = e−i 2m ψ̃(~k, 0).
(1.56)
On en déduit d’abord que |ψ̃(~k, t)|2 = |ψ̃(~k, 0)|2 . La distribution en impulsion est indépendante
du temps. C’est l’analogue quantique de la conservation de l’impulsion en mécanique classique.
Nous avons déjà calculé la transformée de Fourier de la gaussienne. Nous avons donc
ψ̃(~k, t) =
2σ 2
π
34
e−σ
2 (k−k
0)
2
e−i
h̄k2 t
2m
.
Nous pouvons déduire ψ(~r , t) grâce à une transformée de Fourier inverse :
Z
d3 k
i~k.~r
~
ψ(~r, t) =
3 ψ̃(k, t)e
(2π) 2
43 −(~r− h̄~k0 t)2
m
σ2
4Σ2 (t)
,
e
=
2πΣ2 (t)
(1.57)
(1.58)
avec
ih̄t
.
(1.59)
2m
Pour arriver à cette expression nous avons utilisé la valeur de I(β, γ) donnée au paragraphe 3.
Le module au carré de cette fonction d’onde est donné par
Σ2 (t) = σ 2 +
1
2πσ 2 (t)
3
e
2
2
2
avec
σ (t) = σ +
h̄~
k
−(~
r− m0 t)2
2
2σ (t)
h̄t
2σm
2
,
(1.60)
.
(1.61)
C’est une gaussienne centrée sur la position classique de la particule p~m0 t avec une largeur qui
augmente avec le temps. C’est l’étalement du paquet d’onde. Le temps caractéristique de
l’étalement est
σ2 m
.
(1.62)
τ=
h̄
8
Après un temps de cet ordre de grandeur la largeur de la gaussienne est nettement modifiée. Pour
un éléctron avec σ ≈ 1 Angström τ est de l’ordre de 10 −16 s, pour un grain de poussière avec masse
0.1 g et σ = 0.1 mm on trouve un temps caractéristique de l’ordre de 10 22 s beaucoup plus grand
que l’âge de l’univers ≈ 5 1017 s. L’effet de l’etalement est donc parfaitement négligeable pour
les corps macroscopique pour lesquels la physique classique est une excellente approximation.
9