Physique Générale DYNAMIQUE DE LA PARTICULE TRAVAIL et

Physique G´en´erale
DYNAMIQUE DE LA PARTICULE
TRAVAIL et ENERGIES
TRAN Minh Tˆam
Table des mati`eres
Travaux et ´energie 57
L’´energie cin´etique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Le travail d’une force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Travaux de la force de gravitation et de la force de rappel d’un ressort 59
Le Th´eor`eme de l’´energie cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Deux applications 61
Chute d’un ascenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Choc contre un ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
L’´energie potentielle 63

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Les forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Recherche de l’´energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
La conservation de l’´energie m´ecanique . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Travail effectu´e sur un syst`eme par une force ext´erieure 71
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Travaux et ´energie
A partir des grandeurs fondamentales, la force, la masse, le d´eplacement, la vitesse
et le temps, nous introduisons quelques grandeurs asscoci´ees.
L’´energie cin´etique.
Une autre technique pour l’analyse du mouvement consiste en l’utilisa-
tion de l’´energie. Cependant, l’´energie apparaˆıt dans des formes tellement
diverses qu’une d´efinition claire est a priori difficile. Techniquement, on
peut dire que l’´energie est une grandeur scalaire associ´ee `a un ´etat de la
(ou des) particule(s). Commen¸cons par une des formes de l’´energie.
L’´energie cin´etique d’une particule est l’´energie qu’elle poss`ede en vertu de
son mouvement. T=1
2m v2
Unit´e : Dans le syst`eme SI, l’´energie cin´etique est exprim´ee en Joules.
Le travail d’une force.
1) Cas d’une force constante et d’un d´eplacement rectiligne.
Un point mat´eriel, soumis `a une force ~ Fconstante en module et en di-
rection, se meut d’un point ~r1`a un point ~r2. Son d´eplacement est donc
∆~r =~r2−~r1. Durant ce d´eplacement, la force ~ Fexerce un travail
r1
r2
∆rF
α
F
α
O
W12 =~ F·∆~r =|~ F| | ∆~r |cos α
Nous constatons que le travail peut ˆetre positif ou n´egatif. Nous y revien-
drons.
2) Cas g´en´eral.
La force est variable et le d´eplacement quelconque. Nous pouvons diviser
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Travaux et ´energie
le d´eplacement en d´eplacement ´el´ementaires rectilignes ∆~rko`u la force ~ Fk
peut ˆetre consid´er´ee comme constante :
r1r2
∆rk
Fk
F2
F1
W12 = lim
|∆~rk|→0X
k
~
Fk·∆~rk=Z~r2
~r1
~
F·d~r =Z~r2
~r1
δW
Unit´e : [W] = [F]·[L] . Dans le syst`eme international (SI), le travail
s’exprime en Joule J, donc : 1 J = 1 N ·m = 1 kg ·m2·s−2.
3) Remarques :
a) Pour un d´eplacement nul, le travail est nul ! Ce qui n’est pas toujours le
cas lorsque vous devez mettre la main `a la pˆate.
b) Si nous avons plusieurs forces et que ~ F=Pα~ Fα, alors :
W12 =X
αZ~r2
~r1
~
Fα·d~r
La puissance.
C’est le travail exerc´ee par une force pendant l’unit´e de temps.
P=δW
dt =~
F·d~r
dt =~
F·~v
Unit´e : [P] = [W]·[T]−1. Dans le syst`eme SI, la puissance est exprim´ee
en Watt W. 1 W = 1 J ·s−1
Point de contrˆole Un bloc, attach´e `a une corde fix´ee `a une extr´emit´e, a un
mouvement circulaire uniforme. La puissance de la force agissant sur le bloc via la
corde est-elle positive, n´egative ou nulle ?
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Travaux et ´energie
Travaux de la force de gravitation et de la force de rappel
d’un ressort
1) Lan¸cons une balle vers le haut. Si la trajectoire de la balle est
verticale, durant la partie ascensionelle, le travail de la force de gravitation
sur la balle est :
Wg=~ F·∆~r =m g |∆~r |cos π=−m g |∆~r |
Durant la partie descendante, le travail de cette force est :
Wg=~ F·∆~r =m g |∆~r |cos 0 = + m g |∆~r |
Le travail de
la force
de gravitation
est négative
Le travail de
la force
de gravitation
est positive
La balle est
lancée
vers le haut
Fg
m
Fr
Fr
m
a)
b)
f
x
f
x
x
x
x
xi0
2) La force de rappel du ressort est ~ Fr=−k ~x , o`u ~x est la distance
dont a ´et´e d´etendu (a) ou comprim´e (b) le ressort et kla constante du
ressort. Puisque la force de rappel du ressort d´epend de son allongement
(ou de son raccourcissement), pour calculer le travail de cette force, nous
devons int´egrer les ´el´ements de travaux ~ Fr·d~x : Dans le cas a) :
Wr=Zxf
xi
~
Fr·d~x =−Zxf
xi
k ~x·d~x =−1
2kx2
f−x2 i=1
2kx2
i−x2 f
Il en est de mˆeme pour le cas b) : Wr=1
2kx2
i−x2 f
Remarque : nous avons ici −k ~x ·d~x =−k x dx car le mouvement est `a 1 seule
dimension ici.
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