MECANIQUE DES FLUIDES Bibliographie

Maîtrise de Génie Mécanique
UFR Sciences et Technologies
Université d’Evry Val d’Essonne
MECANIQUE DES FLUIDES
Olivier DAUBE
Bibliographie
Mécanique des Fluides, éléments d’un premier parcours, P. Chassaing, Cépéuadès Editions
Mécanique des Fluides, S. Candel, Dunod
Hydrodynamique Physique, E. Guyon, J.P. Hulin, L. Petit, EDP Sciences/CNRS Editions
Introduction à la dynamique des Fluides, M. Rieutord, Masson
Introduction à la Mécanique des Milieux Continus, D. Desjardins et M. Touzet-Cortina,
Dunod
– Introduction à la Mécanique des Milieux Continus et déformables, O. Thual, Cépéuadès
Editions
–
–
–
–
–
1
INTRODUCTION
2
Chapitre 1
La Mécanique des Fluides
Nous allons tenter de définir les deux ingrédients de l’intitulé de ce cours :
La Mécanique
Les Fluides
1.1
Qu’est ce que la Mécanique ?
C’est la science des mouvements et des déformations des systèmes matériels.
On se limite à la mécanique classique ou mécanique newtonienne, c’est à dire à l’étude de
systèmes dans lesquels les vitesses considérées sont très inférieures à la vitesse de la lumière
1.2
Les principes fondamentaux de la Mécanique
La mécanique dite classsique repose sur :
– Le postulat de conservation de la masse :
La masse contenue dans un volume donné se conserve au cours du temps et peut être
décrite par une grandeur scalaire, positive et additive
– le Principe fondamental de la Dynamique (PFD) qui s’énonce :
Il existe au moins une façon de mesurer le temps (chronologie galiléenne) et un référentiel
d’espace (référentiel galiléen) tel que l’on ait pour tout sytème matériel, égalité entre
le torseur dynamique [D] et le torseur des efforts extérieurs [Fe ]
1.3
1.3.1
Les classifications traditionnelles
La mécanique du point matériel
Le système étudié est constitué d’un nombre fini d’objets de dimensions suffisamment faibles
vis-à-vis de l’observateur pour qu’ils puissent être considérés comme des points. Chacun de ces
3
→
−
points possède une masse m et est soumis à une force f . Le PFD se réduit alors à une égalité
P→
P →
−
−
vectorielle du type
f =
m−
a où →
a désigne l’accélération d’un point matériel. ( voir le
cours de Mécanique du point de DEUG 1)
1.3.2
La mécanique des solides indéformables
C’est la mécanique des systèmes matériels constitués d’un ensemble discret ou continu de
points matériels dont les distances réciproques restent invariantes dans le temps. Le PFD se
traduit alors par deux équations vectorielles ( une pour la résultante des forces appliquéées,
l’autre pour le moment résultant), c’est à dire par 6 équations scalaires. ( voir le cours de
Mécanique Générale de DEUG 2)
1.3.3
La Mécanique des Milieux Continus
Elle traite du mouvement et des déformations des sytèmes matériels que l’on peut considérer
comme continu à l’échelle de l’observateur. C’est l’application des principes fondamentaux
rappelés plus haut, en conjonction avec les premier et second principe de la thermodynamique,
qui permettra d’établir les équations régissant ces mouvements et ces déformations. C’est
l’objet de la suite · · ·
1.4
Qu’est ce qu’un fluide ?
– Intuitivement, un fluide est un milieu matériel qui peut se déformer de façon importante,
s’écouler en tendant à occuper le maximum de la place disponible, alors qu’au solide, on
attache plutôt une idée d’indéformabilité.
– Pour un physicien, le fluide est un état de la matière où l’on rencontre ni l’organisation
spatiale périodique des atomes, organisation caractéristique d’un cristal, ni l’agitation
libre des molécules dans un gaz sous faible pression.
– Pour un mécanicien, la distiction entre fluide et solide se fera en termes de réponse du
milieu à des efforts appliqués. Très sommairement, on peut dire :
– le milieu sera un solide s’il ne subit pas de déforamtions tant que les efforts appliqués
ne dépassent pas un certain seuil d’intensité,
– le milieu sera un fluide s’il a la faculté de se déformer dès que l’on applique des efforts de
cisaillement, la déformation étant d’autant plus importante que la vitesse d’application
de ces efforts est grande.
1.5
Description d’un fluide
Deux descriptions sont possibles :
4
– microscopique : on cherchera à suivre les molécules pour connaître à l’aide d’outils statistiques leur mouvement d’ensemble. On sait le faire pour des gaz mono ou diatomiques
dans le cadre de la théorie cinétique des gaz. C’est une description en géénrale trop fine,
trop lourde par rapport aux besoins.
– macroscopique : On adoptera une telle approche au travers de la notion de milieu
continu. Dans cete approche développée dans le chapître suivant, on considère que la
matière est continument répartie, ce qui permet de définir des valeurs macroscopiques
locales – en un point – , des fonctions de l’écoulement
5
Chapitre 2
Notions de Milieu Continu
On ne considère pas le caractère discontinu de la matière au niveau des atomes. Ainsi, les
mouvements individuels des molécules seront ignorés. On considérera des volumes, dits volumes
élémentaires représentatifs (VER) dont les dimensions linéaires seront :
– grandes par rapport au libre parcours moyen des molécules, de façon à ce que le VER
contienne un très grand nombre de celles-ci, et que des moyennes effectuées sur lui aient
statistiquement un sens,
– petites devant les dimensions caractéristiques de l’observateur, si bien que du point de
vue de celui-ci, le VER sera vu comme un point.
A titre indicatif, le libre parcours moyen dans l’air aux conditions standard (1 atm, 25C)
est de 10−4 mm. D’autre part, un cube de 2 microns de côté contient de 2 108 à 2 1011 molécules
selon qu’il s’agit d’un gaz ou d’un liquide. Par contre, à l’altitude où évoluent les satellites,
le libre parcours moyen dans l’atmosphère raréfiée peut devenir de l’ordre de grandeur de la
dimension du satellite.
Nous allons formaliser ces considérations.
2.1
2.1.1
Hypothèse du Continu
Grandeurs physiques extensives
Soit Ω un domaine occupé par un milieu matériel et soit P(Ω) l’ensemble de ses parties, ou
sous-domaines. On appelle grandeur physique extensive F une fonction réelle, additive, définie
sur P(Ω) :
F : P(Ω) →
R
7→ F(D)
D
telle que si les sous-domaines D1 et D2 sont d’intersection vide, on ait :
F(D1 ∪ D2 ) = F(D1 ) + F(D2 )
6
Le volume, la masse, la quantité de mouvement, l’énergie interne sont des grandeurs extensives.
2.1.2
Séparation d’échelles
Pour arriver à la notion de continu, on considère un point M0 arbitraire de Ω et une suite
de sous-domaines emboîtés Dh de volume V(Dh ) = O(h3 ) contenant le point M0 ( typiquement
des cubes d’arête h, des sphères de rayon h,. . .) .
Definition 1 Une grandeur physique extensive F est dite vérifier l’hypothèse du continu sur
Ω si il existe deux échelles de longueurs distinctes hmic et hmac telles que ∀M0 ∈ Ω et pour
toute suite de volumes emboîtés précédemment définis, on a :
F(Dh ) ∝ V(Dh ) ∀h hmic ≤ h ≤ hmac
Pour h < hmic , les fluctuations moléculaires deviennent visibles.
Pour h > hmac , ce sont les fluctuations à grande échelle qui empêchent la proportionnalité.
Definition 2 On dira que le milieu étudié est un milieu continu pour le champ physique extensif considéré, si il existe une séparation franche entre les deux échelles h mic et hmac . Cette
séparation est caractérisée par le nombre sans dimension Kn , appelé nombre de Knudsen, défini
par :
hmic
Kn =
hmac
Le milieu sera un milieu continu si Kn ¿ 1.
Pour l’air dans les conditions standard, ce nombre vaut environ 10−4 . Par contre dans les
hautes couches de l’atmosphère, il devient de l’ordre de 1.
2.1.3
Concept de particule
Une particule sera un volume de taille suffisamment grande pour que ses propriétés soient
insensibles aux fluctuations moléculaires, et suffisamment petite pour qu’elles soient insensibles
aux fluctuations macroscopiques. Elle contient un très grand nombre de molécules.
Attention Une particule ne correspond pas à un ensemble donné de molécules. Celles-ci
s’échangent au cours du temps entre particules, ce qui est à l’origine du phénomène de diffusion moléculaire de grandeurs physiques telles que la quantité de mouvement, la température,
···
2.2
Description macroscopique d’un écoulement
A l’échelle du milieu continu, l’état d’une particule fluide se trouvant au point M à
l’instant t, est caractérisé par un certain nombre de champs scalaires ou vectoriels, définis à
partir de grandeurs extensives ou non.
7
2.2.1
Densité volumique
Soit un milieu matériel occupant un domaine Ω. Ce milieu est supposé continu pour une
grandeur extensive F. La définition précédente implique que pour tout point M 0 , il existe un
réel noté f (M0 ) tel que quelquesoit le sous-domaine Dh de dimension linéaire comprise entre
hmic et hmac , l’on ait :
F(Dh ) = f (M0 ) V(Dh )
Definition 3 la quantité f (M0 ) est la densité volumique au point M0 de la grandeur extensive
F.
La conséquence de cette existence d’une densité volumique, est que pour tout ssus-domaine D
de dimension linéaire > hmic , on a la relation :
ZZZ
F(D) =
f (M0 ) d V(M0 )
D
Avec la définition de cette densité, on peut considérer des domaines de volume infiniment
petit sans tenir compte des fluctuations à l’échelle moléculaire, et utiliser tout les outils mathématiques en calcul différentiel et/ou intégral, comme si le milieu était réellement un milieu
continu. Si ∆V est un tel volume infinitésimal centré sur le point M0 , et si ∆F est la grandeur
extensive correspondante (petite en raison de la définition), on a la relation :
∆F = f (M0 )∆V
Remarquons qu’en terme dimensionnels, on a :
[f ] = [F] m−3
2.2.2
Masse volumique
Un cas particulier extrèmement important concerne la grandeur extensive "masse". La
densité volumique correspondante s’appelle la masse volumique et est notée ρ.
Si ∆V est un volume infinitésimal centré sur le point M0 , la masse élémentaire ∆M contenue
dans ∆V sera :
∆M = ρ(M0 )∆V
Si M est la masse contenue dans un domaine D, on a la relation :
ZZZ
M(D) =
ρ(M0 ) d V(M0 )
D
8
2.2.3
Champs continus intensifs/Quantités spécifiques
A partir d’une grandeur extensive F pour lesquelles le milieu peut être considéré comme
un milieu continu, il est possible de définir une grandeur intensive φ par
f (M0 ) = ρ(M0 ) φ(M0 ) ∀M0 ∈ Ω, ce qui implique :
ZZZ
ZZZ
F(D) =
f (M0 ) d V(M0 ) =
ρ(M0 ) φ(M0 ) d V(M0 )
D
D
Remarquons qu’en terme dimensionnels, on a :
[φ] = [F] m−3
2.2.4
Vitesse d’une particule
Soit P une particule au point M. Elle correspond à un volume infinitésimal ∆V de dimension
linéaire h ∈ [hmic , hmac ], contenant des molécules k de masse mk et animées d’une vitesse
→
−
→
−
v k . La quantité de mouvement Q (∆V) de ce système matériel est une grandeur vectorielle
additive. Elle permet donc de définir une grandeur vectorielle intensive, appelée la vitesse de
→
−
la particule P. Cette vitesse, V (P), est donc définie par :
→
−
1 X →
V (M ) = P
mk −
vk
m
k
k
k
→
−
Si D est un domaine dans Ω, la quantité de mouvement Q associée à ce domaine sera alors :
ZZZ
→
−
→
−
Q (D) =
ρ(M ) V (M ) dV(M )
D
2.3
2.3.1
Propriétés physiques macroscopiques d’un fluide
Viscosité
La viscosité d’un fluide caractérise la résistance qu’il oppose à la déformation (mouvement)
engendrée par l’application d’une contrainte (Force/surface). Pour cela, on réalise l’expérience
suivante :
La paroi supérieure est animée d’une vitesse uniforme U0 dans la direction x. On note F la
force appliquée sur la surface A pour maintrenir cette vitesse. Pour un fluide comme l’eau ou
l’air, On constate que l’écoulement est quasiment unidimensionnel, que le profil de vitesse est
linéaire et que la contrainte appliquée est directement proportionnelle au gradient de vitesse,
c’est à dire :
F
U0
∝
τ=
A
H
9
U0
Fig. 2.1 – écoulement de Couette
Le coefficient de proportionnalité est noté µ et est appelé le coefficient de viscosité dynamique
du fluide :
U0
F
=µ
τ=
A
H
Ses dimensions dans le système international sont :
[µ] = Pa.s = (N/m2 ).s
– En général, le coefficient µ est fonction de la température T et dans une moindre mesure
de la pression p :
µ = µ(T, p)
– Le comportement linéaire décrit précédemment est caratéristique des fluides que l’on
qualifiera plus tard de newtonien. Cependant, il existe bien d’autre comportements qui
a contrario seront qualifiés de non newtoniens.
Viscosité cinématique
Pour un fluide de masse volumique ρ et de viscosité dynamique µ, le coefficient de viscosité
cinématique ν est défini par :
µ
ν=
ρ
ν est un coefficient de diffusion et a pour dimensions : [ν] = m2 s−1 .
2.3.2
Transfert de chaleur
Il existe essentiellement deux modes de transfert de chaleur
– radiatif : électromagnétique
– conductif : transfert de proche en proche par agitation moléculaire.
Pour les domaines qui nous intéressent, on ne considèrera que les transferts conductifs, ce qui
correspond à des variations de température pas trop importantes.
Il existe également une expérience simple avec une couche fluide comme dans la figure
précédente mais immobile, d’épaisseur H, chauffée en bas à une température T0 et en haut à
10
une température T1 peu différente de T0 . On constate alors que la température (établie) varie
linéairement au travers de la couche :
T (y) − T0 =
y
(T1 − T0 )
H
La quantité de chaleur Q traversant la surface A par unité de temps (flux de chaleur) vérifie :
|Q|
|T1 − T0 |
∝
A
H
La quantité φ = Q/A est appelée densité de flux de chaleur et on pose :
φ=
Q
T1 − T 0
= −λ
A
H
Le nombre positif λ est appelé le coefficient de conductivité thermique. Il s’exprime en
J/m/K/s
Le signe − dans la relation précédente provient du fait que la chaleur va de la source chaude
à la source froide.
−
Ce coefficient pemet de définir le vecteur densité de flux de chaleur →
q par la loi de
Fourier :
→
−
q = −λ grad T
−
La quantité de chaleur ∆Q traversant un élément de surface de normale →
n dans la direction
de cette normale, pendant un intervalle (petit) de temps ∆t est alors :
∆Q
−
−
= −→
q ·→
n ∆S
∆t
diffusivité thermique
Le coefficient de diffusivité thermique a est défini par :
a=
λ
ρCp
où Cp est la chaleur spécifique à pression constante du fluide.
2.3.3
Nombre de Prandtl
Le nombre de Prandtl P r est défini par le rapport :
Pr =
µCp
ν
=
a
λ
– Pour favoriser le transfert de chaleur en minimisant les pertes par frottement, on utilisera
plutôt un fluide à faible nombre de Prandtl,
– Pour réduire le transfert de chaleur, p.ex. en lubrification, on utilisera des fluides à grand
nombre de Prandtl, comme les huiles siliconées
11
2.3.4
Compressibilité
Pour caractériser la compressibilité d’un fluide, c’est à dire sa faculté à subir des variations
significatives de masse volumique lorsqu’on applique un échelon de pression ∆p ou un écart de
température ∆T , on utilise deux coefficients de compressiblité :
– Le coefficient de compressibilité isotherme :
µ ¶
1 ∂ρ
κT =
ρ ∂p T
Ce coefficient vaut 10−5 pour l’air et 5 10−10 pour l’eau,
– Le coefficient de dilation thermique ( à pression constante)
µ ¶
1 ∂ρ
β=−
ρ ∂T p
Ainsi une variation (à température constante) de pression ∆p entrainera une variation relative
de masse volumique : ∆ρ/ρ = κT ∆p.
Si ∆p = 105 Pa, la variation relative sera de 1 pour l’air et 5 10−5 pour l’eau. Pour
cette raison, l’eau dans les conditions standard de pression et de température sera qualifiée
d’incompressible.
2.3.5
Quelques ordres de grandeur
ρ ( kg/m3 )
µ
ν
λ
a
Pr
air
1.29
1.85 10−5
1.43 10−5
2.6 10−2
2.24 10−5
0.71
eau
1000
10−3
10−6
0.59
10−7
6
pour p = 1 atmosphère et T = 25o C
12
Première partie
CINEMATIQUE
13
Chapitre 3
Cinématique des Fluides
De façon générale, La cinématique est l’étude des mouvements d’un sytème matériel, indépendemmant de leur cause. On va s’intéresser dans ce chapître aux mouvements d’ensembles
de particules fluides, le fluide étant considéré comme un milieu continu.
Deux représentations différentes sont utilisées pour décrire le mouvement d’un ensemble
de particules fluides (plus généralement d’un ensemble de particules d’un milieu continu) : la
représentation lagrangienne et la représentation eulérienne.
3.1
Notations
Soit un point M de l’espace. Ces coordonnées dans un référentiel cartésien sont x 1 , x2 et
x3 , ou x, y et z. On notera x le triplet :
x = (x1 , x2 , x3 ) = (x, y, z)
Si ces coordonnée sont fonction du temps t, on notera
dx1 dx2 dx3
dx dy dz
dx
=(
,
,
)=( , , )
dt
dt dt dt
dt dt dt
3.2
Description lagrangienne
Supposons qu’à l’instant t0 , on puisse marquer la position M0 = x(t0 ) = x0 d’une particule
P. On cherchera ensuite , en appliquant les lois fondamentales de la physique, à déterminer à
tout instant t > t0 la position x(t) = Φ(x0 , t) de cette particule. La vitesse de la particule à
l’instant t est alors
→
−
→
−
∂Φ
V (x0 , t) =
(x0 , t) = U
∂t
et sa position M = x est donnée par :
Z t
−−−→
→
−
M0 M =
V (x0 , τ ) dτ
t0
14
On dit que dans cette représentation, on suit les particules dans leur mouvement et les quatre
variables indépendantes (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ), t) constituent les variables de Lagrange.
3.3
Description eulérienne
Soit Ω la partie de l’espace où a lieu l’écoulement. Les variables d’Euler sont alors le
quadruplet (x, y, z, t) où (x, y, z) sont les coordonnées du point courant M de Ω. Le vecteur
→
−
V (M, t) sera alors la vitesse de la particule P qui se trouve au point M à l’instant t. On dit
que l’on regarde passer les particules. De même pour toute quantité f (température, énergie,
pression, masse volumique, · · · ) attachée à une particule, la fonction scalaire f (M, t) désignera
la valeur correspondante à la particule fluide se trouvant au point M à l’instant t.
Attention : deux particules différentes se trouvent nécessairement en deux positions différentes
à un même instant t. Par contre, elles peuvent occuper la même position M, mais en deux
instnats différents.
3.4
3.4.1
Relations entre les deux descriptions
eulérien =⇒ lagrangien
Si l’on connait le champ de vitesse eulérien
sives des particules s’obtiennent en intégrant le

 dx =
dt
 x(t ) =
0
3.4.2
→
−
V (M, t) de l’écoulement, les positions successystème différentiel :
→
−
V (M, t)
x0
lagrangien =⇒ eulérien
Si l’on connait la représentation lagrangienne x = Φ(x0 , t), le champ de vitesse eulérien est
donné par :
→
−
∂Φ −1
(Φ (x0 , t), t)
V (M, t) =
∂t
3.5
Lignes particulières d’un écoulement
Dans cette section, on va s’intéresser à des courbes particulières pour un écoulement dans
→
−
un domaine Ω, donné par son champ de vitesse eulérienne V (M, t).
3.5.1
Lignes de courant à l’instant t
Definition 4 Une ligne (courbe) L dans Ω est à l’instant t une ligne de courant de l’écoulement si elle est tangente en chacun de ses points au champ de vitesse de l’écoulement.
15
c’est à dire ∀M ∈ L ;
→
−
V (M, t) tangent à L
Definition 5 Une surface de courant est l’ensemble des lignes de courant s’appuyant sur
un arc de courbe Γ. Si Γ est fermé, la surface de courant est un tube de courant.
Remarques :
1. En général, les lignes de courant changent au cours du temps,
2. à l’instant t, le fluide ne traverse pas une surface de courant,
3. Si (u1 , u2 , u3 ) sont les composantes dans un référentiel cartésien (x1 , x2 , x3 ) du champ de
vitesse eulérien, les lignes de courant à l’instant t sont les lignes intégrales de l’équation
différentielle :
dx2
dx3
dx1
=
=
u1 (x1 , x2 , x3 , t)
u2 (x1 , x2 , x3 , t)
u3 (x1 , x2 , x3 , t)
3.5.2
Trajectoires
Definition 6 La trajectoire d’une particule fluide P est la courbe, ensemble des positions
occupées au cours du temps par cette particule.
La trajectoire de la particule P qui se trouvait à l’instant t0 en la position x0 est décrite par
la solution du système différentiel :

−
 dx = →
V (M, t)
dt
 x(t ) =
x
0
0
Remarque :
– En un point M et à l’instant t, la trajectoire est tangente à la ligne de courant passant
par ce point M.
– En général, les lignes de courant et les trajectoires sont des lignes distinctes
3.5.3
Ligne d’émission issue d’un point A
Definition 7 La ligne d’émission issue du point A à l’instant t est la courbe, ensemble des
positions occupées par les particules étant passées par le point A en un instant antérieur τ < t
.
3.6
Ecoulement stationnaire
Definition 8 L’écoulement sera dit stationnaire si en tout point M de Ω, le champ de vitesse
eulérien est indépendant du temps.
→
−
→
−
V (M, t) = V (M ) ∀M ∈ Ω
Il est facile de vérifier que dans le cas d’un écoulement stationnaires, les trajectoires sont
aussi des lignes de courant et des lignes d’émission.
16
3.7
Ecoulement plan
→
−
Un écoulement donné par son champ de vitesse eulérien V (M, t) de composantes cartésiennes (u, v, w) sera dit plan (dans le plan xOy) si :
u = u(x, y, t)
v = v(x, y, t)
w =
3.8
0
Notions de débit, de flux
On connait tous la notion de débit d’un fleuve, exprimé en m−3 /s qui donne le volume
d’eau traversant une section de la rivière, par seconde. Nous allons préciser cette notion et
la généraliser à d’autres quantités que le volume. Pour celà, nous considérons un élément de
surface (∆S, n) placé dans un écoulement donné par sa représentation eulérienne V (M, t).
n
V
∆S
3.8.1
Débit volumique
Le volume ∆V de fluide traversant l’élément de surface pendant un intervalle de temps ∆t
est :
∆V = V (M ) · n∆S∆t
et le débit volumique Q traversant une surface Σ est :
Z
Q=
V (M ) · n dS(M )
Σ
Il représente le volume de fluide traversant la surface Σ par unité de temps.
17
3.8.2
Débit massique
La masse ∆M de fluide traversant l’élément de surface pendant un intervalle de temps ∆t
est :
∆V = ρ(M )V (M ) · n∆S∆t
et le débit massique ṁ = Qm traversant une surface Σ est :
Z
ṁ = Qm =
ρ(M )V (M ) · n dS(M )
Σ
Il représente la masse de fluide traversant la surface Σ par unité de temps.
3.8.3
Flux d’une quantité extensive
Soit une grandeur extensive (énergie, masse, . . .) F transportée par l’écoulement et soient
f sa densité volumique et φ sa densité massique ( grandeur spécifique ). La quantité ∆F de
cette grandeur traversant l’élément de surface pendant un intervalle de temps ∆t est :
Z
∆F =
ρ(M )φ(M )V (M ) · n dS(M )
Σ
Définitions
• ρφV Z· n est le flux de F.
• f˙ =
ρ(M )φ(M )V (M ) · n dS(M ) est le débit de F à travers la surface Σ, et représente
Σ
la "quantité de F" traversant la surface Σ par unité de temps.
18
Chapitre 4
Rappels d’analyse Vectorielle
Avant de passer à la suite, il est utile de faire quelques rappels d’analyse vectorielle. C’est
l’objet de ce chapitre
On considère dans ce chapitre, des fonctions scalaires f ainsi que des champs vectoriels V ,
de composantes cartésiennes ui (i = 1, 2, 3), qui sont supposés posséder toutes les régularités
nécessaires.
4.1
Gradient d’une fonction scalaire
Par définition, le gradient de la fonction scalaire f est le vecteur grad f défini par :
df = grad f · dOM
dont les composantes cartésiennes s’écrivent :
(grad f )i =
4.2
∂f
∂xi
Gradient d’un champ de vecteurs
Par définition, le gradient du champ V est le tenseur d’ordre 2, grad V , défini par :
d V = grad V · dOM
Ses composantes en coordonnées cartésiennes sont :
(grad V )ij =
19
∂ui
∂xj
4.3
Rappels sur le théorème d’Ostrogradski
Soit V un volume délimité par une surface S. On note n de composantes (n1 , n2 , n3 ), la
normale à S orientée vers l’extérieur du volume V. Le théorème d’Ostrogradski, ou théorème
de la divergence, s’énonce :
ZZ
ZZZ
V · n dS (4.1)
div V dV =
V
S
ZZ
ZZZ
∂ui
dV =
ui ni dS
(4.2)
S
V ∂xi
Soit un tenseur d’ordre 2, σ, de composantes σij ; i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2, 3. Par définition, la
divergence de σ est le vecteur de composantes cartésiennes :
(div σ)i =
∂σij
∂xj
En appliquant le théorème d’Ostrogradski à chacune des composantes cartésiennes de div σ,
on obtient le théorème suivant :
ZZZ
ZZ
div σ dV =
σ · n dS
(4.3)
V
S
ZZ
ZZZ
∂σij
dV =
σij nj dS ; i = 1, 2, 3 (4.4)
S
V ∂xj
4.3.1
Autre résultat
Soit σ un tenseur d’ordre 2 symétrique, c’est à dire qui vérifie σij = σji
quelque soient les champs vectoriels V et W , on a :
(σ · W ) · V = (σ · V ) · W
Cela se voit tout de suite en coordonnées cartésiennes :
(σij wj )ui = (σji ui )wj = (σij ui )wj
où l’on a utilisé le fait que le tenseur σ est symétrique.
20
∀i, j. Alors
4.4
Rotationnel d’un champ de vecteurs
Le rotationnel d’un champ vectoriel V est le champ vectoriel Ω = rot V dont les composantes cartésiennes sont :
∂u2 ∂u3
−
∂x3 ∂x2
∂u3 ∂u1
=
−
∂x1 ∂x3
∂u1 ∂u2
−
=
∂x2 ∂x1
Ω1 =
Ωi = ²ijk
∂uj
∂xk
ou
Ω2
Ω3
où les ²ijk sont les composantes du tenseur alterné d’ordre 3 :




 0 si deux indices sont égaux
²ijk = +1 si (i, j, k) est une permutation paire de (1, 2, 3)



−1 si (i, j, k) est une permutation impaire de (1, 2, 3)
4.5
Théorème de Stokes
Soit un contour Γ sur lequel s’appuie une surface S de normale n. Alors, la circulation du
champ V le long de Γ est égale au flux du rotationnel à travers la surface S, le contour Γ étant
parcouru dans le sens direct par rapport à la normale n.
I
ZZ
V · s dl =
rot V · n dS
Γ
S
s étant le vecteur tangent unitaire orienté à Γ et dl l’élément d’abscisse curviligne le long de
Γ.
4.6
–
–
–
–
4.7
Relations usuelles
∀ la fonction scalaire f , on a : rot (grad f ) = 0 ,
∀V champ vectoriel, on a : div(rot V ) = 0 ,
∀ la fonction scalaire f , div(grad f ) = ∇2 f ,
∀ la fonction scalaire f et ∀V champ vectoriel, on a :
div(f V ) = f div V + V · grad f
Décomposition du tenseur gradient
Comme tout tenseur d’ordre 2, le tenseur gradient d’un vecteur se décompose en la somme
d’un tenseur symétrique D et d’un tenseur antisymétrique R :
grad V = D + R
21
avec
1
D = ((grad V ) + (grad V )t )
2µ
¶
1 ∂ui ∂uj
+
dij =
2 ∂xj
∂xi
et
1
R = ((grad V ) − (grad V )t )
2µ
¶
∂uj
1 ∂ui
−
rij =
2 ∂xj
∂xi
– le tenseur symétrique D est appelé le tenseur des taux de déformation, ou tenseur
des vitesses de déformation.
– le tenseur antisymétrique R est lié au rotationnel Ω = rot V du champ V par :
1
R·W = Ω×W
2
;
∀W
Rappel :
– la trace du tenseur gradient de vitesse est égale à la trace de sa partie symétrique D et
il est immédiat de vérifier que :
tr(grad V ) = tr((D)) = vii = div V
– La trace d’un tenseur d’ordre 2 est un invariant par changement de base. Il en résulte
que l’on peut définir un tenseur S à trace nulle, appelé partie sphérique de D, par :
S =D−
div V
I
3
où I le tenseur identité dont les composantes sont δij , symbole de Kronecker. Les composantes sij de la partie sphérique sont :
sij = dij −
Le tenseur
div V
3
vii
δij et on vérifie bien sii = tr(S) = 0
3
I est appelé le déviateur de D
22
Chapitre 5
Cinématique des petits déplacements
Dans ce chapitre, nous allons caractériser en fonction de la représentation eulérienne d’un
écoulement, les déformations instantanées d’un petit volume de fluide. Attention, petit signifie ici petit devant la taille caractéristique de l’observateur, mais grand devant la taille
caractéristique d’une particule fluide.
M'(t+ ∆t)
M(t)
N(t)
N'(t+ ∆t)
On va considérer deux petits déplacements :
– l’un à t bloqué :
−−→ −−→
dOM = M N
23
– l’autre le long d’une trajectoire :
−−→ −−−→
dOM = M M 0
Considérer des petits déplacements signifie que toute variation d’une fonction de l’écoulement
lors de ce déplacement, peut être approchée par le terme au premier ordre en fonction du
déplacement. Ainsi le champ de vitesse au point N s’écrira :
V (N ) = V (M ) + grad V · V
En utilisant la décomposition du tenseur gradient, cette relation s’écrit :
1
div V
V (N ) = V (M ) + rot V × M N + S · M N +
· MN
2
3
5.1
Analyse des déformations
Nous allons dans cette section analyser la éformation subie par un petit volume de fluide
dans son mouvement pendant un intervalle de temps ∆t. Afin de "simplifier" les calculs,
nous raisonnerons dans le cadre d’un écoulement plan donné par sa représentation eulérienne
V (M, t) de composantes cartésiennes {vi }i=1,2 .
Soit donc un petit rectangle ABCD de côtés ∆x et ∆y (voir figure). Après un intervalle de
temps ∆t, il est devenu le quadrilatère A’B’C’D’ représenté sur la figure dont les sommets sont
donnés par :
−−→0 −
→
→
−
AA = V (A)∆t = V (A)∆t
−−→0 −
→
→
−
BB = V (B)∆t= V (A)∆t + grad V
−−→ −
→
→
−
CC 0 = V (C)∆t= V (A)∆t + grad V
−−→0 −
→
→
−
DD = V (D)∆t= V (A)∆t + grad V
−→
· AB∆t
−→
· AC∆t
−−→
· AD∆t
On en déduit que :
−−→ −→ −−→ −−→ −→
A0 B 0 = AB + BB 0 − AA0 = AB + grad V
−−
→ −→ −−→ −−→ −→
A0 C 0 = AC + CC 0 − AA0 = AB + grad V
−→
· AB∆t
−→
· AC∆t
En utilisant la décomposition du tenseur gradient, on obtient :
−−→ −→ 1
→
− −→
−→
A0 B 0 = AB + rot V × AB∆t + D · AB∆t
2
−−
→
−
→
→
− −→
−→
1
A0 C 0 = AC + rot V × AC∆t + D · AC∆t
2
(5.1)
(5.2)
(5.3)
24
Dans ces égalités, le premier terme de droite correspond à la translation amenant le point
→
−
A en le point A’ , le second à une rotation autour de A’ d’angle 1/2| Ω |∆t. Ces deux termes
n’engendrent donc aucune déformation.
On va s’intéresser à la variation de l’aire du quadrilatère qui est donnée par la norme du
produit vectoriel des vecteurs côtés. Ainsi, en négligeant les termes d’ordre supérieur, on a :
³
−−→ −−→ −→ −→
−→ −→ −→
−→´
A0 B 0 × A0 C 0 = AB × AC + ∆t grad V · AB × AC + AB × grad V · AC
25
Bilans Généraux du Mouvement d’un
Fluide
26
Chapitre 6
Dérivées particulaires
On considére dans ce chapitre un volume matériel Vm (t), c’est à dire un volume constitué
de particules que l’on suit dans leur mouvement. On notera Sm (t) la surface délimitant ce
volume. Notez que le volume Vm (t) et la surface Sm (t) dépendent du temps et qu’il ne sort ni
ne rentre dans Vm (t) aucune particule.
L’ensemble des particules fluides contenues dans ce volume matériel constituent un système
matériel auquel nous allons appliquer les principes fondamentaux de la physique rappelés dans
l’introduction de ce cours :
– Conservation de la masse
– Principe fondamental de la dynamique
– Premier principe de la thermodynamique
La mise en œuvre de ces principes nécessitent de savoir calculer la dérivée par rapport au
temps d’intégrales sur le volume Vm (t), c’est à dire des expressions du genre :
ZZZ
d
f dV
dt
Vm (t)
dans lequelles, l’intégrant f et le domaine d’inégration Vm dépendent du temps. C’est l’objet
de ce chapître.
Soit donc V , de composantes cartésiennes (u1 , u2 , u3 ), le champ de vitesse (eulérien) d’un
écoulement. Pour toutes les relations qui sont données, on trouvera d’abord l’écriture vectorielle
puis l’écriture en coordonnées cartésiennes obtenues en respectant la convention des indices
muets.
Dérivée particulaire d’une fonction scalaire
Soit f (x1 , x2 , x3 , t) une fonction scalaire. On a :
27
∂f
df
=
+ V · grad f
dt
∂t
∂f
∂f
df
=
+ uj
dt
∂t
∂xj
(6.1)
(6.2)
Dérivée particulaire d’un champ vectoriel
Soit B(x1 , x2 , x3 , t) un champ vectoriel de composantes cartésiennes (b1 , b2 , b3 ). On a :
dB
∂B
(6.3)
=
+ grad B · V
dt
∂t
dbi
∂bi
∂bi
=
+ uj
; i = 1, 2, 3 (6.4)
dt
∂t
∂xj
Dérivée particulaire d’une intégrale de volume (I)
Fonction scalaire
Soit f (x1 , x2 , x3 , t) une fonction scalaire. On a :
¸
ZZZ ·
ZZZ
∂f
d
f dV =
+ div(f V ) dV
dt
Vm ∂t
Vm
¸
ZZZ ·
ZZZ
∂(f uj )
∂f
d
dx1 dx2 dx3
f dx1 dx2 dx3 =
+
dt
∂xj
Vm ∂t
Vm
Par application du théorème d’Ostrogradski,
ZZZ
ZZZ
d
f dV =
dt
Vm
Z Z Z Vm
ZZZ
d
f dx1 dx2 dx3 =
dt
Vm
Vm
(6.5)
(6.6)
les relations précédentes s’écrivent aussi :
ZZ
∂f
f V · n dS
dV +
(6.7)
∂t
Sm
ZZ
∂f
f uj nj dS (6.8)
dx1 dx2 dx3 +
∂t
Sm
Champ vectoriel
Soit B(x1 , x2 , x3 , t) un champ vectoriel de composantes cartésiennes (b1 , b2 , b3 ). On a :
¸
ZZZ
ZZZ ·
∂B
d
+ div(B ⊗ V ) dV
B dV =
(6.9)
dt
∂t
Vm
Vm
¸
ZZZ ·
ZZZ
d
∂bi ∂(bi uj )
dx1 dx2 dx3 i = 1, 2, 3 (6.10)
bi dx1 dx2 dx3 =
+
dt
∂t
∂xj
Vm
Vm
28
où le produit tensoriel des deux vecteurs B et V est le tenseur d’ordre 2, B ⊗ V , défini par :
¡
¢
B ⊗ V ij = bi uj
Par application du théorème d’Ostrogradski, les relations précédentes s’écrivent aussi :
ZZZ
ZZZ
ZZ
∂B
d
B dV =
B (V · n) dS
(6.11)
dV +
dt
Vm
Vm ∂t
Sm
ZZZ
ZZZ
ZZ
∂bi
d
bi dx1 dx2 dx3 =
bi (uj nj ) dS i = 1, 2, 3 (6.12)
dx1 dx2 dx3 +
dt
Vm ∂t
Vm
Sm
Dérivée particulaire d’une intégrale de volume (II)
On considére dans cette section un volume arbitraire Va (t), c’est à dire un volume quelconque dont la forme peut varier au cours du temps. On notera Sa (t) la surface délimitant ce
volume. Cette surface est animée d’une vitesse W qui est peut être différente de la vitesse du
fluide V . En particulier, si W = 0, le volume est fixe dans le temps. On peut montrer que l’on
obtient des relations similaires à celles obtenues pour un volume matériel.
Pour éviter les ambiguités sur le type de volumes, on notera δ/δt la dérivée totale, c’est à dire
RRR
le taux de variation temporelle de la quantité
f dV :
Va (t)
δ
δt
ZZZ
1
f dV = lim
δt−→0 δt
Va (t)
µZ Z Z
0
0
f (M , t + δt) dV(M ) −
Va (t+δt)
ZZZ
f (M, t) dV(M )
Va (t)
¶
Fonction scalaire
Soit f (x1 , x2 , x3 , t) une fonction scalaire. On a :
ZZ
ZZZ
ZZZ
δ
∂f
dV +
f W · n dS
f dV =
δt
Sa (t)
Va (t)
Va (t) ∂t
ZZZ
ZZZ
ZZ
δ
∂f
f dx1 dx2 dx3 =
dx1 dx2 dx3 +
f wj nj dS
δt
Va (t)
Va (t) ∂t
Sa (t)
(6.13)
(6.14)
Champ vectoriel
Soit B(x1 , x2 , x3 , t) un champ vectoriel de composantes cartésiennes (b1 , b2 , b3 ). On a :
δ
δt
δ
δt
ZZZ
ZZZ
Va (t)
B dV =
Va (t)
bi dx1 dx2 dx3 =
ZZZ
ZZZ
Va (t)
Va (t)
ZZ
∂B
dV +
B (W · n) dS
∂t
Sa (t)
ZZ
∂bi
dx1 dx2 dx3 +
bi (wj nj ) dS
∂t
Sa (t)
29
(6.15)
i = 1, 2, 3 (6.16)
Cas particulier d’un volume fixe
Si le volume arbitraire Va est fixe dans le temps, cela signifie W = 0. On a alors :
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
∂f
∂B
δ
δ
f dV =
B dV =
dV et
dV
δt
δt
Va ∂t
Va
Va
Va ∂t
30
Chapitre 7
Bilans de masse, de quantité de
mouvement, d’énergie
7.1
Généralités
– On considère ici un écoulement de fluide défini par son champ de vitesse eulérien V ,
de composantes cartésiennes (u1 , u2 , u3 ). Pour toutes les relations qui seront établies, on
donnera d’abord l’écriture vectorielle puis l’écriture en coordonnées cartésiennes obtenues
en respectant la convention des indices muets.
– On considérera dans ce chapitre un volume matériel Vm , c’est à dire un volume constitué
de particules que l’on suit dans leur mouvement. On notera Sm la surface délimitant ce
volume.
7.2
Bilan de masse
La masse M(t) contenue à l’instant t dans le volume Vm est :
ZZZ
ρdV
M(t) =
Vm
Le principe de conservation de la masse d’un système matériel ( car nous sommes en
mécanique newtonienne ) implique :
d
M(t) = 0
dt
ce qui donne, d’après les théorèmes généraux sur les dérivées particulaires :
¶
ZZZ µ
ZZZ
∂ρ
d
d
ρdV =
M(t) =
+ div(ρV ) dV = 0
dt
dt
∂t
Vm
Vm
Cette égalité devant être vraie quelque soit le volume matériel Vm , on en conclut que :
31
∂ρ
+ div(ρV ) = 0 (7.1)
∂t
∂uj
∂ρ
+ρ
= 0 (7.2)
∂t
∂xj
Les relations (7.1) ou (7.2) constituent la forme locale du bilan de masse. Elles sont connues
sous le nom d’équation de continuité.
7.2.1
Corollaire (théorème de Reynolds)
Soit f (x1 , x2 , x3 , t) une fonction scalaire. On déduit du résultat précédent et de l’expression
de la dérivée particulaire d’une intégrale triple, le théorème de Reynolds :
ZZZ
ZZZ
d
df
dV
(7.3)
ρ f dV =
ρ
dt
dt
Vm
Vm
En effet, d’après les théorèmes généraux sur les dérivées particulaires, on a :
¸
ZZZ
ZZ ·
d
∂(ρf )
ρ f dV =
+ div(ρf V ) dV
dt
∂t
Vm
Vm
or ( dérivée d’un produit ! ) :
∂(ρf )
+ div(ρf V ) = ρ
∂t
µ
∂f
+ grad · V
∂t
¶
+f
µ
∂ρ
+ div(ρV )
∂t
ce qui compte-tenu de l’équation de continuité donne :
∂(ρf )
+ div(ρf V ) = ρ
∂t
ainsi que le résultat annoncé.
32
µ
∂f
+ grad · V
∂t
¶
¶
7.3
Bilan de quantité de mouvement
On va appliquer dans ce chapitre, la partie "résultante" du PFD au système matériel constitué des particules fluides contenues dans Vm . Pour cela, il nous faut d’abord faire l’inventaire
des efforts extérieurs appliqués à Vm .
7.3.1
Efforts extérieurs
Ces efforts sont de deux types :
1. les forces de volume, c’est à dire les forces d’interaction à longue distance ( gravité, forces
électromagnétiques, etc. . . ). Dans le cadre de la MMC, ces forces sont définies par une
densité massique f , ce qui signifie que la force ∆F exercée sur un petit volume ∆V s’écrit
RRR
∆F = ρf ∆V et que la force F exercée sur un volume V s’écrit F =
ρf dV.
V
Dans toute la suite, on se limitera aux seules forces de gravitation. Dans ces
conditions, le vecteur f est le vecteur g, vecteur accélération de la gravité et la force de
volume est le poids.
2. Les forces d’interaction moléculaire, à très courte distance d’action, de l’ordre du libre
parcours moyen, c’est à dire une distance nulle du point de vue de la MMC. Ces forces ne
concerneront donc que les molécules de Vm situées "sur la face intérieure" de Sm qui ne
seront influencées que par les molécules extérieures à Vm situées "sur la face extérieure" de
Sm . L’action de ces molécules extérieures sera alors modélisée par une action de surface.
Soit donc un élément de surface défini par son aire ∆S et par sa normale extérieure n.
La force de contact ∆F S exercée sur cet élément de surface s’écrira :
∆F S = T ∆S
où le vecteur T est le vecteur contrainte et représente une densité surfacique de forces.
Il a donc les dimensions d’une pression. On suppose en outre qu’il ne dépend que de la
normale n :
T = T (n)
Dans ces conditions, les actions de contact extérieures F S exercées sur Vm s’écrivent :
ZZ
FS =
T (n) dS
Sm
7.3.2
Tenseur des contraintes
On montre en appliquant la partie résultante du PFD à un petit volume, que la contrainte
T est une fonction linéaire de la normale n. Il existe donc un tenseur d’ordre 2, σ, appelé
tenseur des contraintes, tel que :
33
T (n) = σ · n (7.4)
Ti = σij nj
7.3.3
(7.5)
Propriétés du tenseur des contraintes
On montre en utilisant la partie moment du PFD appliquéeà un petit volume, que le tenseur
des contraintes σ est symétrique.
σij = σji
7.3.4
;
∀i, j
Equation de quantité de mouvement
L’application du PFD au volume matériel Vm donne alors :
ZZZ
ZZZ
ZZ
d
ρV dV =
ρg dV +
σ · n dS
dt
Vm
Vm
Sm
(7.6)
où σ est le tenseur des contraintes et g l’accélération de la gravité. En appliquant le théorème
de la divergence à l’intégrale de surface du membre de droite et le théorème de Reynolds à
l’intégrale triple du membe de gauche, on obtient :
ZZZ
ZZZ
dV
ρ
(7.7)
(ρg + div σ) dV
dV =
dt
Vm
Vm
ZZZ
ZZZ
dui
∂(σij )
ρ
(ρgi +
dV =
) dV ; i = 1, 2, 3
(7.8)
dt
∂xj
Vm
Vm
Ces relations constituent la forme intégrale du bilan de quantité de mouvement. Comme elles
doivent être vérifiées quelqusoit le volume matériel Vm , on en déduit une forme locale, dite
équation de quantité de mouvement qui s’écrit :
·
¸
∂V
dV
ρ
=ρ
+ grad V · V
= ρg + div σ
(7.9)
dt
∂t
¸
·
∂σij
dui
∂ui
∂ui
= ρgi +
ρ
=ρ
+ uj
; i = 1, 2, 3 (7.10)
dt
∂t
∂xj
∂xj
34
7.4
Bilan d’énergie totale (1er principe)
Soient E, e et Ec les énergies spécifiques ( c.a.d. rapportées à l’unité de masse ) totale,
1
interne et cinétique. On rappelle que l’on a : E = e + Ec = e + V 2 . Le premier principe de
2
la thermodynamique — que l’on supposera pouvoir appliquer au système matériel composé
des particules de Vm — stipule que :
ZZZ
¡
d
1 2¢
ρ e + V dV = Pe + Q̇e
dt
2
Vm
– Pe est la puissance des efforts extérieurs appliqués au système. Elle est égale à :
ZZ
ZZZ
Pe =
(σ · n) · V dS
ρg · V dV +
Sm
Vm
ce qui, compte–tenu de la symétrie du tenseur σ ( cf paragraphe de rappels sur Ostrogradski ), se transforme en :
¶
ZZZ µ
ZZZ
¢
¡
∂
Pe =
ρg · V + div(σ · V ) dV =
ρui gi +
(σij uj ) dV
∂xi
Vm
Vm
– Q̇e est la puissance calorifique échangée avec l’extérieur dont on supposera qu’elle résulte
exclusivement du transfert de chaleur au travers de la surface Sm . Afin d’évaluer Q̇e , on
introduit la puissance calorifique q̇ échangée à travers Sm , rapportée à l’unité de surface
( noter que q̇ s’exprime en W/m2 ). En supposant que cette quantité n’est fonction que
de la normale n à la surface Sm , on montre qu’elle est une fonction linéaire de n et qu’il
existe donc un vecteur q, appelé vecteur flux de chaleur, satisfaisant :
q̇ = −q · n
la puissance calorifique Q̇e échangée avec l’extérieur à travers Sm est alors :
ZZ
ZZZ
div q dV
Q̇e = −
q·n=−
Sm
Vm
En regroupant le tout, on obtient la forme intégrale du bilan d’énergie pour le volume V m :
ZZZ
ZZZ
¡
¤
£
1 2¢
d
ρ e + V dV =
(7.11)
ρV · g + div(σ · V ) − div q dV
dt
2
Vm
Vm
De façon maintenant habituelle, ces relations étant vraies quelque soit le volume matériel V m ,
on obtient les formes locales du premier principe :
1 2¢
d¡
e+ V
= ρV · g + div(σ · V ) − div q
dt
2
ui ui ¢
∂
∂qj
d¡
e+
= ρui gi +
(σij uj ) −
ρ
dt
2
∂xi
∂xj
ρ
35
(7.12)
(7.13)
7.5
Bilan d’énergie cinétique
Ce bilan s’écrit en faisant le produit scalaire de l’équation de quantité de mouvement (7.9)
ou (7.10) par le vecteur vitesse V .
dV
= ρg · V + V · div σ
dt
d ui ui
∂σij
dui
=ρ (
) = ρui gi + ui
ρui
dt
dt 2
∂xj
ρV ·
7.6
(7.14)
(7.15)
Bilan d’énergie interne
En soustrayant ces équations de leurs analogues (7.12) et (7.13) pour le bilan d’énergie
totale, on obtient une forme locale de l’équation pour l’énergie interne spécifique e :
de
= div(σ · V ) − V · div σ − div q
dt
de
∂(σij uj )
∂uj
∂σij
ρ
=
− ui
−
dt
∂xi
∂xj
∂xj
ρ
(7.16)
(7.17)
On va maintenant écrire différemment cette équation. pour cela, on remarque que ( dérivation
d’un produit ) :
∂σij
∂ui
∂(σij uj )
− ui
= σij
∂xi
∂xj
∂xj
Ces quantités sont des scalaires et la symétrie du tenseur des contraintes nous permet d’écrire
( convention des indices muets ) :
µ
¶
∂ui
∂uj
∂uj
1 ∂ui ∂uj
σij
= σij
= σji
= σij
+
∂xj
∂xi j
∂xi
2 ∂xj
∂xi
L’équation de bilan pour l’énergie interne spécifique prend alors la forme :
de
= σ : D − div q
dt
∂uj
de
= σij dij −
ρ
dt
∂xj
ρ
où D est le tenseur des taux de déformation et où σ : D représente le produit doublement
contracté du tenseur des contraintes et du tenseur des taux de déformation.
7.6.1
Loi de Fourier
En ce qui concerne le flux de chaleur q, on admettra qu’il suit la loi de Fourier, c’est à dire :
q = −k grad T
où T est la température et k le coefficient de conductivité thermique du fluide. ( En général,
on a k = k(T ) ). On en déduit la forme de l’équation de l’énergie interne :
36
de
= σ : D + div(k grad T ) (7.18)
dt
∂
∂T
de
= σij dij +
(k
)
(7.19)
ρ
dt
∂xj ∂xj
ρ
On verra plus loin qu’en général le terme σij dij est positif et qu’il correspond à une dégradation
d’énergie cinétique en énergie calorifique (augmentation de de/dt).
37
7.7
Loi de comportement d’un fluide
Faisons maintenant le compte du nombre d’inconnues et du nombre d’équations dont nous
disposons :
Inconnues
– La vitesse, soit 3 inconnues scalaires,
– La masse volumique,
– L’énergie interne,
– La température,
– Le tenseur des contraintes qui est symétrique, soit 6 inconnues scalaires.
C’est à dire 12 inconnues scalaires.
Equations
– L’équation de continuité, soit 1 équation scalaire,
– L’équation de quantité de mouvement, soit 3 équations scalaires,
– L’équation de l’énergie interne, soit une équation scalaire,
– une équation d’état e = e(ρ, T ) (on supposera le fluide divariant),
Soit en tout 6 équations. Il est donc clair qu’il faut fermer le système. Ceci se fait pen introduisant des lois de comportement qui vont spécifier la forme du tenseur des contraintes en
fonction du champ de vitesse eulérien et des varaibles thermodynamiques. On ramène ainsi le
système précédent à un système de 6 équations à 6 inconnues.
7.7.1
Forme générale du tenseur des contraintes
Dans un fluide au repos, les contraintes sont purement normales et données par la pression :
T = −pn . Dès que des contraintes de cisaillement sont appliquées, elles entraînent l’apparition
d’un écoulement. On posera alors :
σ = −pI + τ
Le tenseur τ est appelé le tenseur des contraintes visqueuses. Pour un fluide, on admettra
(ou on prendra comme définition du fluide) que le tenseur τ ne dépend que du tenseur des
taux de déformation D et des variables thermodynamiques T, p, ρ, etc. . .
τ = τ (D, variables thermodynamiques)
où on rappelle que le tenseur des taux de déformation D de composantes dij est défini par :
¶
µ
1 ∂ui ∂uj
dij =
+
2 ∂xj
∂xi
38
et que sa trace est égale à la divergence du champ de vitesses :
tr(D) = dii =
7.7.2
∂ui
= div V
∂xi
Fluide newtonien
Un fluide newtonien est un fluide pour lequel la dépendance précédente est linéaire et
isotrope. Pour un grand nombre de fluides usuels, on peut montrer que le tenseur des contraintes
visqueuses s’écrit :
µ
div V
τ = 2µ D −
I
3
¶
(7.20)
Le coefficient µ est appelé le coefficient de viscosité dynamique et s’exprime en Pa.s . En
général, ce coefficient dépend essentiellement de la température et dans une moindre mesure
de la pression.
39
7.8
Le modèle général de Navier–Stokes pour un fluide
newtonien
On va écrire ici les équations générales en tenant compte de la forme générale du tenseur
des contraintes pour un fluide newtonien :
µ
¶
div V
σ = −pI + 2µ D −
I
3
7.8.1
Equation de continuité
∂ρ
+ div(ρV ) = 0 (7.21)
∂t
∂ρ
∂uj
+ρ
= 0 (7.22)
∂t
∂xj
7.8.2
Equation de quantité de mouvement
¸
·
dV
2
∂V
ρ
= ρg − grad p + div(2µD) − grad(µ div V ) (7.23)
=ρ
+ grad V · V
dt
∂t
3
¸
µ
¶
·
∂p
∂ul
dui
∂
2 ∂
∂ui
∂ui
= ρgi −
µ
(7.24)
ρ
=ρ
+ uj
+2
(µdij ) −
dt
∂t
∂xj
∂xi
∂xj
3 ∂xi
∂xl
; i = 1, 2, 3
7.8.3
Equation de l’énergie
Dans l’équation (7.18) apparait le terme σ : D qui s’écrit en tenant compte de la forme du
tenseur des contraintes pour un fluide newtonien :
2
σ : D = σij dij = −pδij dij + 2µdij dij − (div V )δij dij
3
où δij est le symbole de Kronecker. On a donc :
δij dij = dii = div V
Dans ces conditions, l’équation de l’énergie s’écrit :
·
¸
(div V )
de
= − p + 2µ
ρ
div V + 2µD : D + div(k grad T ) (7.25)
dt
3
·
¸
µ
¶
de
(div V )2 ∂ui
∂
∂T
ρ
= − p + 2µ
+ 2µdij dij +
k
(7.26)
dt
3
∂xi
∂xj
∂xj
40
7.8.4
Cas des gaz parfaits
De façon générale, les équations précédentes ne constituent pas un système fermé. Elles
doivent être complétées par une loi d’état thermique p = p(ρ, T ) ou calorique e = e(ρ, T ). On
s’intéressera uniquement au gaz parfaits pour lesquels la loi d’état thermique s’écrit :
(7.27)
p = ρrT
où r est une constante qui dépend du gaz et T est la température absolue. La thermodynamique
nous enseigne également que l’on a :
∂e
= Cv
∂T
où Cv est la chaleur spécifique à volume constant que l’on supposera indépendante de la
température T . Dans ces conditions, l’équation de l’énergie s’écrit :
µ
¶
∂T
dT
= ρCv
+ V · grad T
ρCv
dt
∂t
(7.28)
µ
¶
(div V )2
+ div(k grad T )
= −p div V + 2µ D : D −
3
¶
µ
dT
∂T
∂T
ρCv
= ρCv
+ ui
dt
∂t
∂xi
(7.29)
µ
¶
µ
¶
(div V )2
∂
∂T
∂ui
+ 2µ dij dij −
+
k
= −p
∂xi
3
∂xj
∂xj
7.9
Cas des écoulements isothermes et incompressibles
– L’incompressibilité implique que ρ est constante dans le temps et dans l’espace. En
utilisant l’équation de continuité (7.1), on obtient la relation :
div V = 0
– l’écoulement étant isotherme, le coefficient de viscosité dynamique µ est constant et de
plus l’équation de l’énergie n’a plus lieu d’être utilisée.
Les équations se réduisent alors à :
div V = 0
¸
∂V
ρ
+ grad · V
= − grad p + 2µ div D = − grad p + µ∇2 V + ρ g
∂t
·
¸
∂ui
∂ui
∂ 2 ui
∂p
ou ρ
+ uj
+µ
+ ρgi ; i = 1, 2, 3
= −
∂t
∂xj
∂xi
∂xj ∂xj
·
41
(7.30)
(7.31)
(7.32)
7.10
Conditions aux limites et conditions initiales
Pour compléter les équations précédentes, il est nécessaire de :
– spécifier des conditions initiales en vitesse, température, pression et/ou masse volumique
on s’intéresse à un problème instationnaire.
– spécifier le comportement de certaines inconnues sur les frontières ( à distance finie ou
infinie ) du domaine dans lequel a lieu l’écoulement.
7.10.1
Conditions aux limites
– sur des parois solides
– Sur la vitesse
Soit une paroi solide, de normale n, animée d’une vitesse W . Le fait que le fluide ne
traverse pas la paroi impose :
V ·n=W ·n
De plus, l’expérience montre que pour un fluide réel, les particules fluides en contact
avec la paroi ont une vitesse égale à celle de celle-ci. Dans ce cas, on aura
V =W
sur la paroi
– En température
Les conditions les plus couramment utilisées sont soit T imposé ( condition de Dirichlet ), soit le chauffage imposé, c’est à dire le flux de chaleur, donc ∂T /∂n imposé.
– à l’infini
– En vitesse
Dans le cas d’écoulement dans des domaines non bornés (aérodynamique par exemple),
on spécifie un comportement pour la vitesse quand on s’éloigne. Par exemple, on pourra
imposer un écoulement uniforme de module U0 dans la direction i de la façon suivante :
V ' U0 i quand r −→ ∞
– En température
En général, on spécifie une température , une pression et une masse volumique constante
à l’infini.
42
Deuxième partie
Bilans Macroscopiques
43
Introduction
On va dans cette partie s’intéresser à des systèmes industriels utilisant des écoulements
de fluide pour, par exemple, propulser, produire de l’énergie, mélanger, etc. . .De tels systèmes
comportent en général des sections d’entrée et des sections de sortie du fluide. L’idée est
d’essayer, moyennant quelques hypothèses limitées, de déterminer un certain nombre de caractéristiques du système – performances, consommation énergétique, charges supportées, etc. . .–
en n’ayant à sa disposition que des informations sur l’écoulement dans les sections d’entrée et
de sortie.
Pour établir l’essentiel des résultats, nous serons amenés à faire une utilisation intensive
des théorèmes de transport, c’est à dire des théorèmes sur les dérivées particulaires. Rappelons
d’abord le cadre général :
– On considère un écoulement de fluide défini par son champ de vitesse eulérien V , de
composantes cartésiennes (u1 , u2 , u3 ).
– On considérera dans ce chapitre :
– soit un volume matériel Vm (t), c’est à dire un volume constitué de particules que l’on
suit dans leur mouvement. On notera Sm la surface délimitant ce volume. Rappelons
qu’alors les points de Sm étant des particules fluides, ont la vitesse V .
– soit un volume arbitraire Va (t) dont on notera Sa la surface le délimitant. Cette surface
est animée d’une vitesse W qui peut être différente de la vitesse V du fluide.
Soit f (x1 , x2 , x3 , t) une fonction scalaire définie en tout point de l’écoulement. Nous avons
établi dans le chapitre sur les dérivées particulaires les deux résultats suivants :
ZZZ
ZZZ
ZZ
d
∂f
f dV =
dV +
f V · n dS
dt
Vm (t)
Vm (t) ∂t
Sm (t)
ZZZ
ZZZ
ZZ
δ
∂f
f dV =
dV +
f W · n dS
δt
Va (t)
Va (t) ∂t
Sa (t)
En soustrayant ces deux relations, on obtient la relation suivante :
ZZZ
ZZZ
ZZ
d
δ
f dV =
f dV +
f (V − W ) · n dS
dt
δt
Vm (t)
Va (t)
Sa (t)
(7.33)
On a naturellement ( en raisonnant composante cartésienne par composante cartésienne ) des
résultats analogues pour un champ vectoriel B.
44
d
dt
ZZZ
δ
B dV =
δt
Vm (t)
ZZZ
B dV +
Va (t)
ZZ
45
Sa (t)
¡
¢
B (V − W ) · n dS
(7.34)
Chapitre 8
Bilan Macroscopique de Quantité de
Mouvement
On va dans ce chapître appliquer les résultats précédentsà la quantité de mouvement ρV .
Soit un volume V supposé fixe. Cela correspond au cas d’un volume arbitraire avec W = 0 .
On sait qu’alors :
ZZZ
ZZZ
∂
δ
ρV dV =
(ρV )dV
δt
V ∂t
V
On va supposer en outre que l’écoulement est stationnaire. Alors l’intégrale précédente est
nulle.
Soit Vm (t) le volume matériel coïncidant à l’instant t avec le volume fixe V. La relation (7.34)
donne :
ZZ
ZZZ
d
ρV (V · n) dS
ρV dV =
dt
S
Vm (t)
Or le membre de gauche de cette égalité est égale ( PFD oblige ) à la résultante F e des efforts
extérieurs appliqués à l’instant t sur le volume Vm donc sur le volume de fluide V :
ZZZ
ZZ
ZZ
ρV (V · n) dS = F e =
ρg dV +
σ · n dS
(8.1)
Sa (t)
Va (t)
Sa (t)
ATTENTION : Si on s’intéresse aux efforts R(Sa ) exercés par le fluide intérieur à Va sur
la surface Sa , on a :
ZZ
R(Sa ) = −
8.1
σ · n dS =
Sa (t)
ZZZ
ρg dV −
Va (t)
ZZ
ρV (V · n) dS
(8.2)
Sa (t)
Application :
Soit un écoulement stationnaire dans un "tuyau" fixe comme celui de la figure 8.1 ci–
dessous.
46
Σ
Qv
S
S
Qv
Fig. 8.1 – tuyau fixe
Nous allons appliquer les résultats précédents au calcul de la résultante R(Σ) des efforts
exercés par le fluide sur la paroi Σ du tuyau. Le volume de contrôle fixe V est délimité par la
paroi Σ ainsi que par une section d’entrée S1 et une section de sortie S2 ( S = Σ ∪ S1 ∪ S2 ).
Sur Σ, le glissement du fluide ( conditions aux limites ) impose que : V · n = 0.
Dans ces conditions, l’intégrale de surface du membre de droite de l’équation (8.2) s’écrit :
ZZ
ZZ
ρV (V · n) dS +
ρV (V · n) dS
S1
S2
D’autre part la résultante des efforts R(S) exercés par le fluide sur S s’écrit :
R(S) = R(Σ) + R(S1 ) + R(S2 )
ZZ
ZZ
ZZ
R(S) = −
σ · n dS −
σ · n dS −
σ · n dS
Σ
S1
S2
avec la convention habituelle de la normale n orientée vers l’extérieur du volume V. Les différents termes R() représentent les efforts surfaciques sur les différentes surfaces constituant Σ.
Dans de nombreux systèmes usuels, l’écoulement en entrée et en sortie est pratiquement normal
aux sections considérées, c’est à dire que l’on peut écrire :
V = V1 n1 sur S1
V = V2 n2 sur S2
où cette fois-ci ( voir figure au dessus) les normales n1 et n2 sont orientées dans le sens de
l’écoulement. En particulier on a n1 = −n sur S1 et n2 = n sur S2 .
En outre l’écoulement ne varie en général pas rapidement à la traversée de S1 et de S2 , ce
qui permet d’écrire :
σ · n ' −pn sur S1 et sur S2
En combinant ces relations avec la relation(8.2), on obtient le résultat suivant :
ZZ
ZZ
¢
¢
¡
¡
R(Σ) = P +
pn1 + ρV1 V dS −
pn2 + ρV2 V dS
S1
S2
où P est le poids du volume fluide contenu dans V.
47
(8.3)
8.2
Cas de l’approximation unidimensionnelle
Dans de nombreuses configurations d’intérêt pratique, on peut considérer qu’en entrée et
en sortie, l’écoulement est unidimensionnel, c’est à dire que la vitesse, la pression et la masse
volumique peuvent être supposés constantes dans chacune de ces sections :
V = V 1 n1
p = p1
V = V 2 n2
sur S1
p = p2
ρ = ρ1
sur S2
ρ = ρ2
Dans ces conditions, l’équation (8.3) s’écrit :
¢
¢
¡
¡
R(Σ) = P + p1 + ρV12 A1 n1 − p2 + ρV22 A2 n2
(8.4)
où A1 et A2 sont les aires des sections S1 et S2 .
Dans de nombreux cas pratiques (hormis les conduites forcées d’eau), le poids du fluide
contenu dans le tuyau peut être négligé devant les autres efforts. Si de plus la paroi extérieure
se trouve à pression constante pa (pression atmosphérique, par exemple) alors les efforts globaux
subis par Σ sont donnés par :
¡
¡
¢
¢
R(Σ) = (p1 − pa ) + ρV12 A1 n1 − (p2 − pa ) + ρV22 A2 n2
(8.5)
48
Chapitre 9
Bilan d’énergie mécanique pour un
écoulement de fluide incompressible dans
le champ de gravité terrestre
9.1
Equation de bilan local pour l’énergie cinétique
On reprend ici qui avait été établi lors de l’étude du bilan d’énergie dans les chapitres
précédents. Soit Ec l’énergie cinétique spécifique (c.a.d par unité de masse) :
1 2
Ec = V
2
En multpliant scalairement l’équation de quantité de mouvement par la vitesse V , on obtient
l’équation de bilan local pour Ec :
2
ρ
dV
d V
dEc
·V =ρ (
)=ρ
= −V · grad p + V · (div τ ) + ρg · V
dt
dt 2
dt
Trois remarques :
– Le champ de forces volumiques g dérive d’un potentiel scalaire, c’est à dire qu’il s’écrit :
g = − grad ϕ = − div(ϕI) avec ϕ(z) = gz où g est l’accélération de la gravité.
– l’écoulement étant incompressible, la relation div V = 0 implique :
−V · grad p = div(−pV ) et −V · grad ϕ = div(−ϕV )
∂τij
∂
∂vi
=
(vi τij ) − τij
= div(τ · V ) − τ : grad V
– V · (div τ ) = vi
∂xj
∂xj
∂xj
∂vi
. C’est le produit doublement contracté
Examinons le dernier terme τ : grad V = τij
∂xj
du tenseur des contraintes visqueuses et du tenseur gradient de vitesse. C’est donc un
scalaire et de par la convention des indices muets, ce terme s écrit :
τij
∂vi
∂vj
= τji
∂xj
∂xi
49
en utilisant le fait que le tenseur des contraintes est symétrique, on obtient :
µ
¶
∂vi
∂vj
∂vj
1 ∂vi
τij
=τ :D
= τij
= τij
+
∂xj
∂xi
2 ∂xj ∂xi
où D est le tenseur des taux de déformations. Pour un écoulement incompressible de
fluide newtonien, on a : τ = 2µD , ce qui entraîne :
τ : D = 2µdij dij ≥ 0
L’équation locale de bilan pour Ec s’écrit alors :
ρ
dEc
b
= div(−pV + τ · V − ρϕV ) − Φ
dt
b = τ : D est appelé la dissipation visqueuse. On le retrouve avec un signe +
où le terme Φ
dans l’équation locale pour l’énergie interne. Il correspond donc à une dissipation d’énergie
cinétique sous forme d’énergie calorifique.
9.2
Forme intégrale du bilan d’énergie cinétique
On va maintenant intégrer cette équation locale sur un volume arbitraire V a (t). La surface
Sa (t) qui délimite le volume est animée d’une vitesse W qui peut être différente de la vitesse
V des particules se trouvant à l’instant considéré sur la surface. On obtient ainsi :
ZZZ
ZZZ ³
´
dEc
b dV
ρ
div(−pV + τ · V − ρϕV ) − Φ
dV =
dt
Va
Va
Soit maintenant le volume matériel Vm (t) coïncidant avec Va (t) à l’instant considéré. Comptetenu des identités établies précédemment pour les dérivées particulaires et du théorème de
Reynolds, on a :
δ
δt
ZZZ
d
ρEc dV =
dt
Va
ZZZ
ρEc dV −
Vm
ZZ
S
ρEc (V − W ) · n dS
ZZZ
ZZ
dEc
ρ
=
dV −
ρEc (V − W ) · n dS
dt
Vm
S
A partir de maintenant, on supposera que l’énergie cinétique contenue dans le volume V a est
constante dans le temps et donc que son taux de variation est nul. Le rapprochement des
deux relations précédentes permet alors d’écrire :
ZZ
ZZ
ZZZ
b dV
ρEc (V − W ) · n dS =
(−pV + τ · V − ρϕV ) · n dS −
Φ
Sa
Sa
Va
50
Enfin, compte-tenu du fait que le tenseur −pI + τ − ρϕI est symétrique, on obtient :
ZZ
ZZZ
ZZ
b dV (9.1)
Φ
ρEc (V − W ) · n dS =
(−pn + τ · n − ρϕn) · V dS −
Sa
Sa
Va
Notons que les intégrales apparaissant dans le membre de droite de l’égalité ci-dessus représentent des puissances. La surface Sa est constituée de :
– des sections d’entrée (ou de sortie) Se sur lesquelles W = 0 et en général V 6= 0.
– des parois solides fixes Sf sur lesquelles W · n = V · n = 0.
– des parois solides mobiles Sd sur lesquelles V · n = W · n.
Si l’on note σ = −pI + τ le tenseur complet des contraintes, la relation 9.1 s’écrit alors
ZZ
ZZ
ρEc V · n dS =
(σ · n) · V dS puissance des forces exercées
Se
Se
−
+
−
−
ZZ
ZZ
en entrée et en sortie du système
ρϕn · V dS
idem pour les forces volumiques
(σ · n) · V dS
puissance fournie (ou extraite)
Se
Sd
ZZ
au (du) fluide par les parois mobiles
idem pour les forces volumiques
ρϕn · V dS
Sd
ZZZ
Va
b dV
Φ
puissance dissipée dans le fluide
Dans les configurations pratiques, la vitesse est en générale normale aux sections d’entrée et
de sortie et sur celles-ci on a :
(σ · n) · V ' −pn · V
Dans ces conditions, le bilan précédent s’écrit :
ZZ
ZZ
ρEc V · n dS = −
(p + ρϕ)V · n dS + P − EV
Se
Se
ZZ µ
Se
¶
1
2
ρV + p + ρϕ V · n dS = P − EV
2
où P est la puissance fournie (y compris par les forces volumiques) au fluide par les parois
mobiles et EV représente la puissance dissipée en raison des pertes dues aux effets visqueux.
– Si P est > 0, on apporte de l’énergie au fluide et la machine concernée est une pompe.
– Si P est < 0, on extrait de l’energie du fluide et la machine concernée est une turbine.
L’intérêt de cette relation réside dans le fait qu’elle permet d’écrire un bilan énergétique,
tout en n’ayant des informations sur l’écoulement qu’en entrée et en sortie du système et
51
donc sans avoir besoin de connaître les détails de l’écoulement à l’intérieur. En particulier,
elle permet de connaître la puissance à installer pour des conditions de pression et de débit
données en entrée et en sortie. Pour préciser cela, distinguons les sections d’entrée S 1 et les
sections de sortie S∈ . On va supposer en outre que si n1 ( resp n2 ) est la normale orientée
dans le sens de l’écoulement à S1 ( resp S2 ), on a sur toute la section d’entrée V · n1 > 0
(resp de sortie V · n2 > 0). En outre, l’écoulement étant incompressible, les débits volumiques
en entrée et en sortie sont égaux, c’est à dire :
ZZ
ZZ
V · n1 dS =
V · n2 dS = Qv
S1
S2
Dans ces conditions, et en tenant compte du fait que la masse volumique ρ est constante, En
introduisant la moyenne (pondérée par le flux massique) d’une quantité f sur par exemple la
section S1 de la façon suivante :
RR
ρ f V · n1 dS
< f >1 = RRS1
ρ V · n1 dS
S1
la relation précédente s’écrit :
Qm
µ
p
1
< V 2 >2 + < >2 + < ϕ > 2
2
ρ
¶
µ
p
1
< V 2 >1 + < >1 + < ϕ > 1
= Qm
2
ρ
+ P − Ev
¶
(9.2)
où Qm = ρQv est le débit massique qui est, rappelons le, le même en entrée et en sortie. Cette
relation exprime que la puissance mécanique (somme des puissances potentielle, cinétique et de
pression) en sortie est égale à ce qu’elle était en entrée, augmentée de la puissance P transmise
( algébriquement ) au fluide et diminuée de la puissance Ev dissipée par viscosité.
Dans la pratique, on utilise la relation (9.2) divisée par le débit massique Q m . On obtient
ainsi une relarion entre "puissances spécifiques" ou densités massiques de puissance :
µ
¶
µ
¶
1
p
1
p
2
2
< V >2 + < >2 + < ϕ > 2
< V >1 + < >1 + < ϕ > 1
=
(9.3)
2
ρ
2
ρ
+ w − ev
Dans ce cadre, ev = Ev /Qm représente les pertes d’énergie par unité de masse et constitue
ce que l’on appelle la perte de charge au travers du sytème considéré. w = P/Qm représente
la puissance spécifique fournie au fluide par l’intermédiaire de machines. Ces deux quantités,
ev et w ont pour dimension des J/kg.
52
9.3
Cas particulier des écoulements unidimensionnels en
entrée et en sortie
Soient p1 et V1 les pression et vitesse uniformes sur la section d’entrée S1 d’aire A1 .
Soient p2 et V2 les pression et vitesse uniformes sur la section de sortie S2 d’aire A2 .
La relation 9.3 s’écrit alors :
µ
µ
¶
¶
1 2 p
P
1 2 p
V + +ϕ =
V + +ϕ +
− ev
(9.4)
2
ρ
2
ρ
Qm
2
1
Dans les problèmes d’hydraulique, on utilise aussi la quantité h = ev /g qui est homogène
à une longueur et qui représente la dénivellation d’eau correspondant à l’énergie potentielle
égale à la perte de charge.
53
Chapitre 10
Analyse d’un sytème de canalisations
10.1
Introduction
De très nombreux systèmes "réels" fluide sont constitués :
– de canalisations de longueur grande devant leur diamètre qui peuvent présenter des
coudes, des rétrecissements, des élargissements, . . ., être munies de valves, être lisses,
rugueuses, etc. . .
– de machines qui peuvent être :
– génératrices : elles fournissent de l’énergie au fluide. Ce sont des pompes,
– réceptrices : elles récupèrent de l’énergie du fluide. Ce sont des turbines,
La conception d’un tel système nécessite d’une part de faire un bilan des efforts exercés sur
les différents constituants et d’autre part de faire un bilan global d’énergie mécanique afin en
particulier de déterminer les débits circulant dans l’installation et les puissances installées ou
délivrées par les différentes machines.
L’objet de cette partie est de montrer comment on peut, moyennant certaines hypothèses,
parvenir à une telle estimation à partir de la seule connaissance des caratéristiques de l’écoulement en entrée et en sortie du système. Les hypothèses sous lesquelles nous travaillerons sont
celles d’unidimensionnalité de l’écoulement aux entrées et aux sorties du système :
– pression et vitesse uniformes, p1 et V1 , sur la section d’entrée S1 d’aire A1 ,
– pression et vitesse uniformes, p2 et V2 , sur la section de sortie S2 d’aire A2 .
Rappelons que le bilan d’énergie mécanique entre lessections d’entrée et les sections de
sortie du système( relation (9.4) du chapitre précédent) s’écrit
µ
¶
µ
¶
1 2 p
P
1 2 p
V + + gz =
V + + gz +
− ev
(10.1)
2
ρ
2
ρ
Qm
2
1
où Qm est le débit massique en entrée du système (égal à celui en sortie), P est la puissance algébrique transmise au fluide, ev l’énergie spécifique dissippée par viscosité et g z est le potentiel
dont dérive les forces de pesanteur.
54
L
Q
Q
D
S
S
Fig. 10.1 – Schéma d’une canalisation circulaire rectiligne
10.2
Ecoulement unidimensionnel dans une canalisation
sans machine
On considère à titre d’exemple une portion de canalisation rectiligne, horizontale, sans
machine, et de section constante A dans laquelle s’écoule un fluide incompressible de masse
volumique ρ avec un débit volumique Qv . On suppose qu’en entrée et en sortie, l’écoulement
est unidimensionnel. Notons que dans ce cas, les vitesse V1 et V2 sont égales et valent Qv /A.
En raison de l’horizontalité de la canalisation et de l’égalité des vitesses en entrée et en
sortie, la relation (10.1) se réduit à :
p1 − p 2
= ev
ρ
(10.2)
Les pertes, qui dans ce cas très simple se réduisent à la puissance dissipée par frottement sur
les parois de la canalisation, se traduisent donc par une chute de pression.
10.3
Notions de pertes de charge
Comme il avait été indiqué dans le chapitre "Bilans macroscopiques", la quantité e v qui est
la puissance dissipée par viscosité, est appelée perte de charge. C’est une énergie dissipée
par unité de masse, et elle s’exprime donc en J/kg.
10.3.1
Classification des pertes de charge
On distingue deux types de pertes de charge :
1. pertes de charge régulières : Ce sont les pertes, notées ef , dues au frottement du fluide
sur les parois solides du systèmes, et en particulier sur les parois des canalisations.
55
2. pertes de charge singulières : Ce sont les pertes, notées es , dues à la présence de singularités géométriques dans le système, singularités engendrant des zones très fortement
tourbillonnaires, sièges d’une dissipation importante d’énergie. Ces singularits peuvent
être des coudes, des rétrecissements, des élargissements, des embranchements, des valves,
etc. . .
10.3.2
Evaluation des pertes de charge
Pertes de charge régulières
dans le cas d’une conduite cylindrique droite de longueur L et de diamètre D ( voir figure
(10.1) ), parcourue avec un débit volumique Qv par un fluide de masse volumique ρ et de
viscosité dynamique µ, ces pertes sont estimées sous la forme :
ef = f
où
ef
est la perte de charge régulière
vm
est la vitesse débitante = Qv /A
2
L vm
D 2
(10.3)
f est le coefficient de perte de charge régulière, nombre sans dimensions
Le coefficient f est fonction du nombre de Reynolds Re et de la rugosité relative ²/D des
parois de la conduite, ε étant la taille caractéristique des rugosités pariétales.
f = f (Re, ²/D)
ρvm D
Re =
µ
Il existe des abaques et des formules analytiques permettant de connaître la valeur de ce
coefficient f pour le problème étudié.
Pertes de charge singulières
Il a été constaté expérimentalement que la perte de charge es , due à une singularité, peut
être estimée par :
v2
es = k m
(10.4)
2
où vm est la vitesse dans la section en amont ou en aval de la singularité qui a la plus petite aire,
comme indiqué dans la figure 10.2. Les valeurs du coefficient sans dimensions k ne dépendent
en première approximation que de la nature de la singularité et peuvent être trouvées dans des
tables.
56
v
v
v
v
v
Fig. 10.2 – Vitesse à prendre en compte pour les pertes de charge singulière
10.3.3
Ecriture du bilan énergétique pour une canalisation comportant une machine
Considérons une canalisation ( voir figure 10.3) comportant une machine transmettant
au fluide une puissance P et dans laquelle circule avec un débit volumique Qv , un fluide
incompressible de masse volumique ρ.
Qv
S
S
Qv
Fig. 10.3 – Schéma d’une canalisation comportant une machine
Si ef et es sont les pertes de charge régulière et singulières existant dans la canalisation, le
bilan d’énergie mécanique enre l’entrée S∞ et la sortie S∈ s’écrit :
¶
µ
¶
µ
1 2 p
1 2 p
V + + gz =
V + + gz + w0 − ef − es
(10.5)
2
ρ
2
ρ
2
1
57
P
est l’énergie spécifique transmise au fluide.
ρQv
Dans la pratique, les machines ont un rendement η et ce qui est donné est la puissance fournie
à la machine dans le cas d’une pompe et la puissance récupérée dans le cas d’une turbine. On
aura donc :
– Pour une turbine : le travail récupéré w est égal à η w 0 , ce qui permet d’écrire :
¶
µ
¶
·µ
¸
1 2 p
1 2 p
V + + gz −
V + + gz + ef + es
w=η
2
ρ
2
ρ
2
1
w0
, ce qui
– Pour une pompe le travail fourni w par l’utilisateur à la pompe est égal à
η
permet d’écrire :
µ
·µ
¸
¶
¶
1 2 p
1 2 p
1
w=
(10.6)
V + + gz −
V + + gz + ef + es
η
2
ρ
2
ρ
2
1
où w0 =
58