Mécanique quantique I - Département de physique nucléaire et

Mécanique quantique I
2010
1. Quelques points pratiques
2. Introduction:
> 2.1 du continu au discret
> 2.2 des prédictions certaines aux prédictions
probabilistes
> 2.3 les interférences, diffraction de lumière, de
photons, d’électrons et autres particules
Alain Blondel Mecanique quantique I – 23-25 Fev 2010
Informations pratiques
Professeur:
Alain Blondel [email protected] Particules
Assistants:
Bertand Martin dit La Tour [email protected]
Particules
Jason Hancock [email protected] Matière condensée
Pavel Sekatski [email protected] Optique quantique
Cours:
mardi 10-12
jeudi 10-12 une semaine sur deux.
Exercices
mercredi 16-18
jeudi 10-12 une semaine sur deux
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Contrôle des connaissances:
-- series d’exercices à rendre d’une semaine sur l’autre
Une note moyenne > 4 doit être obtenue pour valider les exercices
Bonus entre 0 et 1 point à valoir sur la note d’examen écrit
Il est extrêmement important de faire en sorte de bien faire tous les
exercices dès le début du semestre!
-- examen écrit: en quatre heures. En général 3 problèmes. Barême établi de
telle sorte que finir deux problèmes *justes* donne l’examen avec une bonne
note (5)
-- examen oral: une question sur le cours tirée au sort -- on peut rejeter le
premier choix, le second choix est alors définitif.
+ 30 minutes pour préparer un exposé de 15 minutes sur ce sujet.
Session en Juin et en Septembre (max: deux passages)
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Documentation:
Nous suivons le cours de mécanique quantique de l’Ecole
Polytechnique (Basdevant, Dalibard) leçons I à 14.
Environ une leçon par semaine.
La bibliothèque en possède quelques exemplaires.
Il inclut des exercices en fin de chaque chapitre -- les faire.
Vous pouvez aussi vous référrer au classique:
mécanique quantique de Cohen-Tannoudji – Delanoë
Il y a quelques éléments de mathématiques qui sont
importants: notions de probabilité, transformée de Fourier,
distributions, (Appendices A et B du cours).
On traitera de façon minimale des espaces de Hilbert.
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Chapitre I Les bases de la mécanique quantique
Passage du continu au discret quantique
Prédecesseurs:
Démocrite et les Atomes
Newton et la nature corpusculaire de la lumière
1895 Bequerel découvre le rayonnement radioactif des
isotopes de l’Uranium et du Thorium
1900 Max Planck propose la théorie des quantas pour décrire
le rayonnement du corps noir
1905 L’effet photo-electrique est expliqué par Einstein pour
démontrer le caractère quantifié de la lumière -photons (1926).
1909 Expérience de Millikan: la quantification de la charge
éléctrique déposée sur des micro-gouttes d’huile
1909 Expérience de Rutherford collisions de particules alpha
sur la matière indique l’existence de noyaux atomiques
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Les quantas (Max Planck 1900)
Max Planck étudie le rayonnement du corps noir
(loi de Wien qui décrit l’intensité de l’émission électromagnétique en fonction
de la fréquence) en utilisant les lois de la thermodynamique statistique. Il
montre que les résultats expérimentaux peuvent être expliqués en
supposant que “tout se passe comme si” l’émission était générée par des
oscillateurs harmoniques dont l’énergie est liée à la fréquence émise par la
relation:
E = n hν (quantification de l’énergie)
ν est la fréquence du rayonnement = dn(oscillations)/dt
h est la constante de Planck
cette relation entre énergie et fréquence est fondamentale. Elle nous
rappelle la relation entre énergie et temps des équations canoniques
∂H
∂H
∂H &
= − p& i ,
= q&i ,
= H,
∂qi
∂pi
∂t
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E = n hν peut aussi s’écrire E.T/h = n
En 1905 Einstein écrit un papier célèbre ou il explique que
l’effet photo-electrique
En 1839, Antoine Becquerel et son fils présentent pour la première fois un effet
photoélectrique. Leur expérience permet d'observer le comportement électrique
d'électrodes émergées dans un liquide, modifié par un éclairage.
Il a été compris et présenté en 1887 par Heinrich Rudolf Hertz qui en publia les
résultats dans la revue scientifique Annalen der Physik[1].
Albert Einstein fut le premier à en proposer une explication, en utilisant le concept
de particule de lumière ou quantum, appelé aujourd'hui photon, initialement introduit
par Max Planck dans le cadre de l'explication qu'il proposa lui-même pour l'émission
du corps noir.
Albert Einstein a expliqué que ce phénomène était provoqué par l'absorption de
photons, les quanta de lumière, lors de l'interaction du matériau avec la lumière.
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Effet photoélectrique
1. Les électrons ne sont émis que si la fréquence de la lumière est suffisamment
élevée et dépasse une fréquence limite appelée fréquence seuil
2. Cette fréquence seuil dépend du matériau et est directement liée à l'énergie
de liaison des électrons qui peuvent être émis,
3. Le nombre d'électrons émis lors de l'exposition à la lumière, qui détermine
l'intensité du courant électrique, est proportionnel à l'intensité de la source
lumineuse,
4. L'énergie cinétique des électrons émis dépend linéairement de la fréquence
de la lumière incidente.
5. Le phénomène d'émission photoélectrique se produit dans un délais
extrêmement petit inférieur à 10-9 s après l'éclairage, ce qui rend le phénomène
quasi instantané.
L’effet photo-électrique s’explique par le fait qu’un photon doit avoir
une énergie E=hv supérieure au niveau d’énergie atomique pour
libérer l’électron de l’atome. L’énergie qui reste résulte en énergie
cinétique des électrons
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Une onde plane s’écrivant:
A(x,t) = A0 e
−iωt +ikx
La longueur d’onde λ de la lumière, est liée à la fréquence et à
la pulsation par la vitesse c de l’onde
c = λ /T = λν
par définition de la longueur d’onde, et donc à la pulsation
ω = 2π /T
et au nombre d’onde k (radian de phase par unité de longueur)
k = 2π / λ
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la relation de Planck, E=hv, qui permet d’expliquer l’effet photo-électrique,
permet aussi de relier l’énergie d’un photon et sa pulsation:
avec
E = hν = hω /2π = hω
h = h /2π
h = 6,6261 10-34 Joule.seconde
on préférera utiliser
hc = 197,327 MeV . fm ≈ 200MeV . fermi
1fermi= 1 femto. mètre=1fm=10-15m
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on se rapellera que la quantité de mouvement d’un photon
est donnée par E=p.c, d’où l’on dérive que
soit
p = hk
E = hν = hc / λ = hkc
p = h / λ = hk
sera souvent utilisée par la suite
la longueur d’onde d’un photon est inversement
proportionnelle à son énergie ou sa quantité de mouvement.
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λ
km
m
mm
µm
nm
pm
fm
eV keV MeV GeV
ondes radio radar visible
X
gammas γ
Ondes visibles : 0.4 ---- 0.8 µm
niveaux d’énergie:
vibrations
absorption
particules
moléculaires
atomique
élémentaires
nucléaire
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E
la manifestation des photons est très différente selon leur
énergie:
en dessous de ~1 eV on ne peut détecter que des
phénomènes électromagnétiques (ondes) collectifs
vers 1 eV on peut détecter la lumière visible… ou par effet
photoelectrique 1 photon à la fois (dans un
photomultiplicateur par ex ou les nouveaux siPM)
À plus hautes énergies on détecte uniquement les photons
individuels.
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MRS APD
One pixel ~ 40 x 40 µm2
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Multi-Pixel-Photon-Counter
Operation
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au dessus de E0>= 1 MeV ~2. mec2,
un photon peut créer une paire électron + positon.
γ + atome → e++e-+ atome
ici dans une chambre à bulles
une particule incidente interagit
et produit diverses particules
secondaires dont un π0→γγ
Noter que la distance parcourue par
les deux photons est différente!
dN ∝ exp(-L/X ) = p(L)
0
dL
e+
ee+
γ
γ
X
X
L
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e-
La mécanique quantique prédit la courbe (distribution)
qui peut être obtenue comme résultat d’un grand
nombre d’observations
mais elle ne prédit pas la valeur de la longueur au bout
de laquelle un photon donné se matérialisera.
dN ∝ exp(-L/X ) = p(L)
0
dL
X
X
L
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On peut arbitrairement transformer un photon
‘quantique’ de haute energie en photon de basse
énergie par une transformation de Lorentz
 px c   E 
  
Quadrivecteur energie impulsion: 
 pyc  =  0 
 0 

Photon le long de Ox:
pz c   

E=pxc, py=pz=0
 E   E 


Rappel:
v
Transformation de Lorentz
à vitesse v le long de l’axe des x:
γ
v
β=
c
γ=
1
v
1−  
c
2
 E '   γ 0 0 βγ
  
0  0 1 0 0
0  = 0 0 1 0
  
 E '   βγ 0 0 γ
  
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 E 
 
 0  E’=γ(1+β)E
 0 
 
 E 
 
E’=γ(1+β)E
Ex: γ=5000
β~ ±1-1/2γ2
~ +1 et
~ -1 et
E’= 10000 E
E’= E/10000
On peut changer l’énergie de façon arbitraire par
une transformation de Lorentz
photons de haute énergie: nature individuelle (particule)
photons de basse énergie: manifestations collectives (ondes)
Mais ce sont les mêmes objets physiques!
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Phénomènes diffractifs et interférences
Diffraction de la lumière par une fente:
Onde plane =
approximation d’une onde
issue d’une source
très éloignée
x
“Onde plane”
a
Écran récepteur
Théorème d’Huygens: on intègre de [0,a] les ondes sphériques
Issues des points infinitésimaux de l’ouverture tous considérés
comme sources.
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Diffraction de la lumière par une fente:
Écran récepteur
x
“Onde plane”
r
a
u
0
r0
θ
L
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f
1.2
1
0.8
0.6
f
0.4
0.2
θ
0
-0.3
-0.2
-0.1
-0.2
0
0.1
0.2
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0.3
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