TD09 : électromagnétisme, ARQS (correction)

Lycée Naval, Spé 2.
TD09 : électromagnétisme, ARQS (correction)
EM071. Inductance propre d’une bobine torique (*)
1. On considère le flux du champ magnétique créé par le tore à travers les
spires du tore. Pour une spire :
Φ1s=ZZ ~ Bint.d~ S=Zb
r=aZh z=0
µ0NI
2πr drdz =µ0NIh 2πln b a
Le flux à travers les Nspires de la bobine torique :
Φp=NΦ1s⇒Φp=µ0N2h
2πln b a×I
L’inductance propre est définie par Φp=LI, on en déduit :
L=µ0N2h
2πln b a
2. L’énergie volumique magnétique, à l’intérieur du tore, a pour expression :
ωB=B2
2µ0
=1
2µ0
µ2
0N2I2
4π2r2⇒ωB=µ0N2I2 8π2r2
On intègre alors sur la totalité de la bobine torique pour obtenir l’énergie
magnétique contenue dans le tore :
EB=Zb
r=aZ2π θ=0 Zh z=0
µ0N2I2
8π2r2dr ×rdθ ×dz =µ0N2I2h 4πln b a
Pour cet unique circuit d’inductance L, l’énergie magnétique s’identifie à
EB=1
2LI2; en comparant les deux expressions, on en déduit comme par la
première méthode :
L=µ0N2h
2πln b a
EM057. Inductance mutuelle (*)
L’inductance mutuelle est définie par : Φ1→2=Mi1. Il s’agit donc de déterminer
le flux du champ magnétique créé par le fil infini à travers la spire rectangulaire.
Avec les orientations indiquées, et en notant yla distance à l’axe, le fil infini crée,
en un point M(x, y, 0), un champ magnétique ~ B1=−µ0i1
2πy ~uz.
Il reste à évaluer le flux de ce champ à travers la spire rectangulaire en tenant
compte que le vecteur surface de la spire rectangulaire est orienté selon −~uz.
Φ1→2=Zb
y=aZh x=0
µ0i1
2πy dxdy ⇒Φ1→2=µ0h 2πln b ai1
Par identification, on obtient :
M=µ0h
2πln b a
EM072. Détection par boucle inductive (**)
1. Pour le circuit de la boucle inductive, la loi des mailles s’écrit :
u=−e=−dΦ
dt =−d dt (L1i1+Mi2) donc u=L1
di1
dt +Mdi2 dt
Pour le véhicule, l’équation s’écrit : L2
di2
dt +Mdi1 dt = 0
On combine alors les deux expressions en éliminant le courant i2:
u=L1
di1
dt +M× − M L2
di1
dt donc u=L11−M2 L1L2di1 dt
En présence du véhicule, le dipôle AB est équivalent à une inductance :
L0=L11−M2
L1L2
2. Il s’agit de l’application de la loi de Lenz : les courants induits dans la
carcasse du véhicule créent un champ magnétique qui tend à s’opposer au
champ magnétique de la bobine L1. En conséquence, le champ magnétique
au niveau de la bobine L1s’en trouve réduit, comme si l’inductance propre
était plus faible.
3. Pour un circuit constitué d’une bobine d’inductance L1et d’un condensa-
teur de capacité C, la pulsation d’oscillation propre vérifie : ω2
0=1
L1C.
Pour estimer la variation relative de pulsation compte tenu de la variation
relative d’inductance, on considère la différentielle logarithmique de l’ex-
pression :
2dω0
ω0
=−dL1
L1
donc dω0
ω0
=−dL1
2L1
c’est à dire ∆ω0
ω0
=M2
2L1L2
EM108. Chute d’une tige dans un champ magnétique permanent (*)
1. Dans le champ de pesanteur terrestre, la tige Test accélérée.
La tige se déplace dans un champ magnétique permanent, on est en présence
d’une induction de Lorentz, un courant induit apparaît dans le circuit.
1

D’après la loi de Lenz, la force de Laplace qui s’exerce alors sur la tige tant
à freiner cette tige.
2. Le circuit est orienté conformément à l’axe ~uz.
Expression de la f.e.m : e=−dΦ(t)
dt =−B×a×dx(t) dt
Équation électrique : dans le cas d’un circuit fermé :
e=Ri donc i=−Ba
R
dx(t)
dt
Force de Laplace :
~
f=ZT id~ l∧~ B=ZT idy~uy∧B ~uz=iaB~ux
L’intensité étant négative, la force de Laplace exerce bien une action dirigée
vers le haut, opposé au mouvement de la tige.
Équation mécanique :
On applique la deuxième loi de Newton à la tige Tsoumise à son poids et à
la force de Laplace, ce qui donne en projection sur l’axe vertical descendant :
mdv
dt =mg +iBa =mg −B2a2 Rvdonc dv dt +v τ=g
avec τ=mR
B2a2.
Compte-tenu de la condition initiale, la solution de cette équation est :
v(t) = v∞1−e−t/τ avec v∞=gτ
La tige est accélérée et tend vers une vitesse limite v∞.
EM091. Tige et induction (Banque PT 2013, **)
1. On commence par orienter le circuit :
B
Lox
y
kRu(t)
x
i
+
i
u(t)
R
e(t)
+
On applique la relation fondamentale à la tige qui est soumise à son poids, à
la réaction normale du support, à la force de Laplace et à l’action du ressort.
On note xl’allongement du ressort. L’équation en projection sur l’axe (Ox)
conduit à :
md2x
dt2=−iBa −kx (1)
Le déplacement de la tige au sein du champ magnétique conduit à l’appari-
tion d’une force électromotrice :
e(t) = −dΦ
dt =−d dt [B×(L0−x)a]⇒e(t) = Ba ˙x
On obtient alors pour l’équation électrique du circuit :
u+e=Ri ⇔i=u+Ba ˙x
R(2)
En reportant l’expression de l’intensité du courant dans l’équation méca-
nique, on obtient l’équation différentielle vérifiée par la position de la tige :
md2x
dt2=−kx −B2a2 R˙x−Ba Ru
C’est à dire :
¨x+ω0
Q˙x+ω2
0x=−Ba
mRuavec ω2
0=k
met B2a2 Rm =ω0 Q
2. Pour cette équation linéaire, l’excitation sinusoïdale de la tension du géné-
rateur va imposer un mouvement sinusoïdale pour la tige, on se place en
régime forcé et en représentation complexe x(t) = Xmejωt :
−ω2Xm+jω ω0
QXm+ω2
0Xm=−Ba
mRu0⇔Xm=
−Ba
mRu0
(ω2
0−ω2) + jω ω0
Q
La vitesse étant la dérivée de la position par rapport au temps, l’amplitude
complexe de la vitesse vaut :
Vm=jωXm⇒Vm=|Vm|=
ωBa
mRu0
s(ω2
0−ω2)2+ω2ω2
0
Q2
EM075. Alternateur rudimentaire (**)
1. Commençons par évaluer le flux du champ magnétique à travers la bobine :
Φ = ZZ ~ B.d~ S=BSN cos θ=BSN cos (ωt)
2

On peut alors évaluer la f.e.m :
e=−dΦ(t)
dt donc e=BSN ω sin (ωt)
2. Pour entretenir la rotation, le moment ~ Γop doit compenser le moment des
forces de Laplace ~ ΓLap. Évaluons ce moment de deux manières :
(a) Le moment des forces de Laplace peut être évalué en se rappelant que
la puissance des forces de Laplace est opposée à la puissance de la force
électromotrice :
PLap = ΓLap ×ω=−Pfem =−ei =−e2
R=−B2S2N2ω2sin2(ωt) R
On en déduit avec ~ Γop =−~ ΓLap :
~
Γop =B2S2N2ωsin2(ωt)
R~uz
(b) Pour une bobine d’aire Sparcourue par un courant iet possédant N
spires, le moment magnétique a pour expression : −→ M=NiS~n avec
i=e/R.
Ce qui donne pour le couple des forces de Laplace :
~
ΓLap =Nis~n ∧~ B=−NiSB sin (ωt)~uz=−N2S2B2ωsin2(ωt)
R~uz
Avec ~ Γop =−~ ΓLap, on obtient le résultat attendu.
EM077. Pince ampèremétrique (**)
1. Le fil infini crée un champ magnétique : ~ B=µ0i2
2πr ~uθ.
On détermine le flux du champ magnétique créé par le fil à travers les N
spires de la bobine torique :
Φ2→1=NZb
r=aZh z=0
µ0i2
2πr drdz =Nµ0i2h 2πln b a
Par définition Φ2→1=Mi2, donc M=µ0Nh
2πln b a=L1 N.
2. On représente le circuit équivalent à la bobine torique dont on néglige la
résistance :
e
La loi des mailles s’écrit : e=L1
di1
dt +Mdi2 dt = 0, c’est à dire en régime
forcé :
jωL1I1+jωMI2= 0 ⇒I1
I2
=M
L1
=1
N
3. Une pince ampèremétrique permet de mesurer des intensités très impor-
tantes de plusieurs dizaines voire centaines d’ampères parcourant un fil car
le courant dans la bobine torique est beaucoup plus faible (N1).
De plus en refermant la bobine autour du fil on peut mesurer le courant
dans le fil sans avoir besoin d’ouvrir le circuit électrique pour placer un
ampèremètre.
EM118. Courants de Foucault, barreau cylindrique (***)
1. L’équation de Maxwell-Faraday −→ rot ~ E=−∂~
B
∂t montre que le champ magné-
tique variable est la source du champ électrique qui a les symétries d’un
champ magnétique.
Tout plan (M, ~ur, ~uθ)est un plan de symétrie des sources, le champ élec-
trique en Mest perpendiculaire à ce plan : ~ E(M) = Eθ(r, θ, z)~uθ. Du fait de
l’invariance par rotation d’angle θet translation selon Oz,~ E(M) = Eθ(r)~uθ.
Le théorème de Stokes appliqué à l’équation de Maxwell-Faraday :
I~
E.d~ l=ZZ −→ rot ~ E.d~ S=−d
dt ZZ ~
B.d~ S⇒I~ E.d~ l=−dΦ
dt
On applique le théorème de Stokes sur un cercle de rayon r < a centré sur
l’origine et orienté conforme à ~uz:
Eθ(r)×2πr =−d
dt B0cos (ωt)πr2⇒~
E0=B0ωr
2sin (ωt)~uθ
2. D’après la loi d’Ohm locale : ~ j0=γB0ωr
2sin (ωt)~uθ.
La puissance volumique instantanée est dissipée par effet Joule :
pv=~ j0.~ E0=γE2
0=γB2
0ω2r2
4sin2(ωt)
On considère cette puissance en moyenne dans le temps (sin2(ωt)= 1/2)
et on intègre sur l’ensemble du volume du cylindre :
P=Zh
z=0 Z2π θ=0 Za r=0
γB2
0ω2r2
8dr ×rdθ ×dz ⇒ P =γB2
0ω2hπa4
16
3. Le champ magnétique ~ B1est créé par un courant orthoradial, il s’agit de la
géométrie d’un solénoïde à la différence que le courant n’est pas localisé à
la surface mais réparti en volume. L’étude des symétries et des invariances
3

conduit donc à ~ B1=Bz(r)~uzet on suppose le champ magnétique créé
par cette distribution est nul à l’extérieur (comme pour le solénoïde). On
applique le théorème d’Ampère sur le contour EF GH orienté conforme au
vecteur densité de courant :
uz
r
a
l
E
F
H
G
I~
B1.d~ l=µ0Ienl =µ0ZZ ~ j0.d~ S⇒Bz(r)×l=µ0Zl
z=0 Za r0=r
γB0ωr0
2sin (ωt)dr0dz
On en déduit : ~ B1=µ0γB0ωsin (ωt)
4×(a2−r2)~uz.
Le champ électrique ~ E1dû à la présence du champ induit ~ B1se calcule de
la même manière que ~ E0avec comme source ~ B1au lieu de ~ B0. On considère
comme contour un cercle de rayon rcentré sur l’origine :
E1,θ(r)×2πr =−d
dt Zr
r0=0 Z2π θ=0
µ0γB0ω
4sin (ωt)a2−r2drrdθ
On en déduit : ~ E1=−µ0γB0ω2cos ((ωt)
16 r2a2−r2~uθ.
Le champ magnétique induit est maximal au centre et d’amplitude :
B1m=µ0γB0ωa2
4et donc pour le rapport :
B1m
B0
=µ0γωa2
4=1 2×a δ2
avec δ=r2
µ0γω
δest l’épaisseur de peau (Cf. cours sur la propagation dans les milieux), le
dispositif doit donc avoir une taille faible vis à vis de l’épaisseur de peau
pour négliger le champ induit.
EM110. Circuits résistifs couplés par mutuelle inductance (***)
Du fait du couplage magnétique, les équations électriques des circuits s’écrivent :
E=Ri1+Ldi1
dt +Mdi2 dt (1) et 0 = Ri2+Ldi2 dt +Mdi1 dt (2)
On est en présente d’un système de deux équations différentielles couplées. Afin
de découpler ce système d’équations, on introduit les variables X=i1+i2et Y=
i2−i1; en considérant la somme et la différence des deux équations précédentes,
on obtient (avec M=kL) :
E=RX +L(1 + k)dX
dt et −E=RY +L(1 −k)dY dt
Ou tout aussi bien avec τ=L/R :
E
R=X+τ(1 + k)dX dt et −E R=Y+τ(1 −k)dY dt
On est donc ramené à deux équations différentielles indépendantes.
→Premier cas, 0≤k < 1:
Les solutions générales des équations différentielles sont :
X(t) = E
R+Aexp −t τ[1 + k]et Y(t) = −E R+Bexp −t τ[1 −k]
On utilise alors la continuité des intensités électriques au sein des bobines, ce qui
impose X(0) = 0 et Y(0) = 0, c’est à dire :
X(t) = E
R1−exp −t τ[1 + k] et Y(t) = E Rexp −t τ[1 −k]−1
Avec i1(t) = [X(t)−Y(t)]
2et i2(t) = [X(t) + Y(t)] 2, on en déduit :
i1(t) = E
R1−1 2exp −t τ[1 + k]+ exp −t τ[1 −k]
i2(t) = E
2R−exp −t τ[1 + k]+ exp −t τ[1 −k]
→Second cas, k= 1 :
Les équations différentielles prennent la forme simplifiée :
E
R=X+ 2τdX dt et −E R=Y
La seconde équation implique nécessairement que les intensités i1et i2ne peuvent
pas être continues en t= 0, en effet Y(0−) = i2(0−)−i1(0−)=06=−E/R.
La grandeur qui doit réellement être continue est l’énergie magnétique du système
qui vaut dans le cas présent (M=L) :
Em=1
2Li2
1+1
2Li2
2+Li1i2=L
2(i1+i2)2=L 2X2
4

C’est donc la fonction X:t→X(t) = i1(t) + i2(t)qui est continue avec X(0+) =
X(0−) = 0 ; la résolution de l’équation différentielle conduit alors à :
X(t) = E
R1−exp −t 2τ et Y(t) = −E/R
On en déduit :
i1(t) = E
R1−1 2exp −t 2τ et i2(t) = −E 2Rexp −t 2τ
Sur les courbes, on observe que, pour un couplage faible k1, peu d’énergie passe
dans le second circuit (l’intensité i2reste toujours faible vis à vis de l’intensité
maximale du circuit primaire).
Avec kcroissant, on observe l’augmentation du couplage, et des intensités qui
varient plus brutalement à la fermeture du système. À la limite k= 1, les intensités
sont discontinues à la fermeture de l’interrupteur.
5