ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE

ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE
VRAI FAUX
La célérité des ondes électromagnétiques dépend du référentiel d’étude de ces ondes.
La célérité des ondes sonores dépend du référentiel d’étude de ces ondes.
La fréquence des ondes optiques visibles est de l’ordre de 1014 Hz.
Les rayons X sont des ondes électromagnétiques.
Les rayons α sont des ondes électromagnétiques.
Pour une OemPPS, la représentation complexe d’un champ (électrique ou magnétique)
vérifie rot A = −ik ∧ A .
n Les champs d’une onde électromagnétiques dans le vide vérifient B ( M , t ) = ∧ E ( M , t )
c
La propagation d’une onde électromagnétique dans le vide se fait toujours sans atténuation
de l’amplitude.
Les OemPP dans le vide sont toujours transverses électrique et magnétique.
L’état de polarisation d’une Oem est imposé par les équations de Maxwell.
La lumière naturelle n’est pas polarisée.
Une Oem stationnaire ne peut pas être polarisée.
Une onde transverse polarisée rectilignement est un modèle qui permet de faire des calculs
mais qui ne se rencontre pas en réalité.
La puissance moyenne transportée à travers une surface perpendiculaire à la direction de
propagation d’une OemPPS est indépendante de son état de polarisation.
Pour une OemPP dans le vide, la norme du vecteur de Poynting est proportionnelle à la
densité volumique d’énergie électromagnétique.
Dans le vide, la vitesse de propagation de l’énergie électromagnétique est c (célérité des
ondes électromagnétiques).
( )
La réflexion d’une OemPPS sur un métal parfait provoque un déphasage de π pour le
champ, électrique.
I-On considère une onde électromagnétique plane progressive sinusoïdale se propageant
dans le vide dans la direction et le sens d’un axe z’z. Écrire la représentation complexe des champs
électrique et magnétique lorsque l’onde possède les polarisations suivantes.
1) La polarisation est rectiligne suivant la direction de l’axe x’x.
2) La polarisation est rectiligne suivant la direction de la bissectrice du plan xOy.
II-Deux ondes électromagnétiques planes monochromatiques de même pulsation ω, de
même phase à l’origine et de même amplitude du champ électrique E0 se propagent dans le vide
suivant deux directions perpendiculaires. Elles sont polarisées rectilignement et leur champ
électrique est dirigé suivant la perpendiculaire commune aux deux direction. Déterminer en tout
point et à chaque instant pour le champ électromagnétique résultant:
1) les composantes du champ électrique;
2) les composantes du champ magnétique;
3) la densité d'énergie électromagnétique moyenne;
4) les composantes du vecteur de Poynting et leur valeur moyenne;
5) les plans pour lesquels la valeur moyenne de l'intensité est extrémale. On prendra
I(x, y, t) = α.|| E (x, y, t)||2.
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III-Soit un faisceau lumineux d'intensité I0 polarisé circulairement.
1) Quelle est l'intensité à la sortie d'un polariseur P1?
2) En sortie de P1, la direction de polarisation fait un angle θ avec une direction Ox. P2 est
un polariseur dont la direction est suivant Ox. P3, placé après P2, a une direction parallèle à P1.
Quelle est l'intensité à la sortie de P3 ?
3) Même question si P1 et P3 sont croisés.
IV-1) Une onde électromagnétique progressive plane se propage dans le vide vers un plan
métallique parfaitement conducteur et normal à la direction de propagation
qui se fait selon la direction Oz. Le métal est situé dans la région des z > 0.
z>0
La géométrie du système est donnée ci-contre.
z=0
z On suppose une onde incidente E1 ( z , t ) = E1 cos ω t −
uX . On
c
admet que le champ électrique est nul à l'intérieur du métal et que le champ magnétique n'y possède
pas de composante variable dans le temps.
a) Montrer, sur la base des équations de continuité du champ électrique, qu'une onde
réfléchie prend naissance à la surface du conducteur.
b) Exprimer les vecteurs E 2 et B 2 de cette onde réfléchie en fonction de E1, ω, t, z, c,
u X et u Y.
c) Exprimer les champs totaux E et B en un point de coordonnée z < 0 où coexistent
onde incidente et onde réfléchie.
d) Quel type d'onde obtient-on? Représenter E(z) à un instant donné.
2) On crée un oscillateur en disposant dans le vide deux plans parallèles parfaitement
conducteurs selon la géométrie ci-contre.
d
λ
La distance entre les plans est telle que d = n avec n entier et
2
z>0
λ longueur d'onde de l'onde de pulsation ω. On se place dans
l'approximation des ondes planes. On admet qu'un système d'ondes
z=0
stationnaires existe dans le volume délimité par les deux plaques. On
raisonne sur un volume cylindrique d'axe z, de section S et délimité par
les deux plans.
a) Exprimer la densité d'énergie électrique wE et la densité d'énergie magnétique
wM
du champ électromagnétique en fonction de z. On prendra pour expressions de E et B celles
obtenues à la question 1-c.
b) En intégrant ces grandeurs sur le volume défini ci-dessus, exprimer l'énergie
électromagnétique totale en fonction de S, d, E1 et ε0. Montrer qu'elle est constante.
c) Montrer qu'il y a échange permanent entre énergie électrique et énergie
magnétique.
V-On veut étudier la propagation d’ondes électriques dans une ligne de capacité linéique Γ
et d’inductance linéique Λ. On admet qu’il existe
I(z, t)
une onde électromagnétique transverse qui se
–I
propage dans la direction de l’axe Oz; les champs
Λdz
b
Γdz
U(z, t)
électriques et magnétiques sont perpendiculaires à
a
cet
pour a < r < b, l’expression
I
axe et l’on admet,
jωt z
z
z + dz
E ( M , t ) = E ( r , z ) e ur .
1) Montrer que le champ magnétique
2 πε 0
µ
b
Γ=
; Λ = 0 ln
associé
à
l’onde
est
de
la
forme
b
2π
a
ln
B ( M , t ) = B(r , z )e jωt uθ en précisant l’expression
a
de B(r, z) en fonction de E(r, z) ou de ses
dérivées.
LM FG IJ OP
N H KQ
FG IJ
HK
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FG IJ
HK
2) Relier le champ B (r, z, t) au courant I(z, t) circulant dans l’âme du câble.
3) Établir l’équation différentielle vérifiée par la fonction E(r, z) ainsi que la forme générale
de ses solutions.
4) On considère une onde de courant progressive vers les z croissants. En calculant la
circulation du champ électrique de deux manières sur un chemin simple entre le cylindre intérieur et
le cylindre extérieur, montrer que les expressions établies à la question précédente permettent de
retrouver la relation entre les fonctions I(z, t) et U(z, t) établie dans le modèle électrocinétique. On
rappelle que U(z, t) est la tension entre l’âme (cylindre intérieur) et la masse (cylindre extérieur) du
µ
b
Λ
et
câble et que l’impédance caractéristique d’un câble est ZC =
avec Λ = 0 ln
2π
a
Γ
1
Γ = 2 πε 0
.
b
ln
a
5) Calculer, en fonction de U(z, t) et I(z, t), la puissance instantanée transportée par l’onde
électromagnétique étudiée ci-dessus à travers une section d’abscisse z de l’espace interarmature.
Rappel : Dans la base cylindrique ( u r, u θ, u Z)

→ 1 ∂AZ ∂(rAθ ) ∂Ar ∂AZ 1 ∂(rAθ ) ∂Ar rot A =
−
ur +
−
uθ +
−
uZ
∂z
∂z
∂r
∂r
∂θ
r ∂θ
r
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HK
FG IJ
HK
FG
H
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IJ FG
K H
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IJ
K
FG
H
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K