XIII - Electromagnétisme dans l`ARQS I

Cours : D – Electromagnétisme XIII – Electromagnétisme dans l’ARQS Sciences Physiques : PSI
Laurent Pietri ~ 1 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy
XIII - Electromagnétisme dans l’ARQS
Les chapitres précédents étudient les propriétés
électromagnétiques d'un milieu dans lequel existent des
charges et des courants permanents. Cela signifie qu'en chaque
point de l'espace du milieu considéré, les distributions de
charge et de courant sont indépendantes du temps. Dans ce
cas, le champ électrique est uniquement dû à la répartition des
charges immobiles dans le référentiel d'étude R, et le champ
magnétique, à celle des courants évalués dans R. Ce chapitre
aborde l'étude plus générale des régimes variables, pour
lesquels les grandeurs électromagnétiques évoluent dans le
temps. Ces régimes révèlent, en plus du lien de cause à effet
entre le champ électromagnétique   et les champs  ,
une influence mutuelle entre le champ électrique et le champ
magnétique.
I - Les équations de Maxwell en régime variable
I-1) Insuffisances des équations du régime permanent
La forme des équations de Maxwell en régime permanent
n'est pas complètement compatible avec les comportements
électromagnétiques observés en régime variable.
o D'une part, l'équation de Maxwell-Ampère, écrite sous la
forme 
, n'est pas compatible avec l'équation
locale de conservation de la charge. En effet :
En effet :

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o D'autre part, les régimes variables révèlent les phénomènes
nouveaux suivants :
- En présence d'un champ magnétique non permanent,
l'expérience montre que la circulation du champ électrique
le long d'un contour fermé n'est pas nécessairement nulle.
Le caractère conservatif de la circulation du champ
électrique, contenu dans l'équation  , est donc
mis en défaut. Ainsi, en présence de champ magnétique
dépendant du temps, il est possible d'observer l'existence
d'un champ électrique malgré l'absence de charges ;
- En régime variable, dès lors que les distances entre la
position de l'observateur (détectant le champ
électromagnétique) et la position des charges et courants
(sources qui génèrent le champ électromagnétique)
augmente suffisamment, il apparaît un temps de retard
entre l'évolution temporelle des sources et la détection de
cette évolution par l'observateur.
La forme des équations de Maxwell en régime permanent
étant indépendante du temps ne rend pas compte de cette
influence du temps.
Ainsi, les équations de Maxwell en régime variable doivent
prendre une forme différente de celle du régime permanent
afin d'être compatibles avec ces nouvelles observations.
I-2) Équation de Maxwell-Gauss
La validité du théorème de Gauss n'est pas remise en cause
en régime variable. Ainsi l'équation de Maxwell-Gauss conserve-
t-elle la forme, au point P et à la date t :

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L'équation de Maxwell-Gauss indique comment une charge
volumique crée un champ électrique.
On passe à la forme intégrée, le théorème de Gauss, en
intégrant l'équation locale sur un volume V immobile, dans le
référentiel d'étude :
qui devient, avec le théorème d'Ostrogradski :
I-3) Équation de Maxwell-Thomson
Le champ magnétique reste à flux conservatif en régime
variable. L'équation de Maxwell-Thomson n'est pas modifiée.
Elle s'écrit au point P et à la date t :
L'équation de Maxwell-Thomson indique que le champ
magnétique est à flux conservatif.

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On passe à la forme intégrée en intégrant l'équation locale
sur un volume V immobile, puis en utilisant le théorème
d’Ostrogradski.
Attendu que  est à flux conservatif, à un instant t donné,
le flux (t) du champ magnétique à travers une section
quelconque d'un tube de champ est indépendant de la section
considérée, mais peut éventuellement dépendre du temps.
I-4) Équation de Maxwell-Faraday
En régime variable, l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit
au point P et à la date t :
L'équation de Maxwell-Faraday indique, qu'en régime
variable, un champ magnétique dépendant du temps est
source d'un champ électrique.
On passe à la forme intégrée en intégrant l'équation locale
sur une surface S immobile :

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qui devient, avec le théorème de Stokes, en notant C le contour
sur lequel s'appuie la surface S :
Remarques :
- On passe aux « d droits » car une fois intégrée le flux
magnétique dépend plus que du temps.
- La forme intégrée de l'équation de Maxwell-Faraday est la
loi de Faraday. Ce point est approfondi dans le chapitre
suivant.
I-5) Équation de Maxwell-Ampère
Afin d'analyser la modification qui affecte l'équation de
Maxwell-Ampère, considérons l'équation locale de conservation
de la charge. En y reportant l'expression de  déduite de
l'équation de Maxwell-Gauss, il vient :
En régime variable, le vecteur dont la divergence est nulle
n'est plus , mais 
.