XIII - Electromagnétisme dans l`ARQS I

Cours : D – Electromagnétisme
XIII – Electromagnétisme dans l’ARQS
Sciences Physiques : PSI
XIII - Electromagnétisme dans l’ARQS
Les chapitres précédents étudient les propriétés
électromagnétiques d'un milieu dans lequel existent des
charges et des courants permanents. Cela signifie qu'en chaque
point de l'espace du milieu considéré, les distributions de
charge et de courant sont indépendantes du temps. Dans ce
cas, le champ électrique est uniquement dû à la répartition des
charges immobiles dans le référentiel d'étude R, et le champ
magnétique, à celle des courants évalués dans R. Ce chapitre
aborde l'étude plus générale des régimes variables, pour
lesquels les grandeurs électromagnétiques évoluent dans le
temps. Ces régimes révèlent, en plus du lien de cause à effet
entre le champ électromagnétique
et les champs
,
une influence mutuelle entre le champ électrique et le champ
magnétique.
I - Les équations de Maxwell en régime variable
I-1) Insuffisances des équations du régime permanent
La forme des équations de Maxwell en régime permanent
n'est pas complètement compatible avec les comportements
électromagnétiques observés en régime variable.
o D'une part, l'équation de Maxwell-Ampère, écrite sous la
forme
, n'est pas compatible avec l'équation
locale de conservation de la charge. En effet :
En effet :
Laurent Pietri
~1~
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o D'autre part, les régimes variables révèlent les phénomènes
nouveaux suivants :
- En présence d'un champ magnétique non permanent,
l'expérience montre que la circulation du champ électrique
le long d'un contour fermé n'est pas nécessairement nulle.
Le caractère conservatif de la circulation du champ
électrique, contenu dans l'équation
, est donc
mis en défaut. Ainsi, en présence de champ magnétique
dépendant du temps, il est possible d'observer l'existence
d'un champ électrique malgré l'absence de charges ;
- En régime variable, dès lors que les distances entre la
position de l'observateur (détectant le champ
électromagnétique) et la position des charges et courants
(sources qui génèrent le champ électromagnétique)
augmente suffisamment, il apparaît un temps de retard
entre l'évolution temporelle des sources et la détection de
cette évolution par l'observateur.
La forme des équations de Maxwell en régime permanent
étant indépendante du temps ne rend pas compte de cette
influence du temps.
Ainsi, les équations de Maxwell en régime variable doivent
prendre une forme différente de celle du régime permanent
afin d'être compatibles avec ces nouvelles observations.
I-2) Équation de Maxwell-Gauss
La validité du théorème de Gauss n'est pas remise en cause
en régime variable. Ainsi l'équation de Maxwell-Gauss conservet-elle la forme, au point P et à la date t :
Laurent Pietri
~2~
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L'équation de Maxwell-Gauss indique comment une charge
volumique crée un champ électrique.
On passe à la forme intégrée, le théorème de Gauss, en
intégrant l'équation locale sur un volume V immobile, dans le
référentiel d'étude :
qui devient, avec le théorème d'Ostrogradski :
I-3) Équation de Maxwell-Thomson
Le champ magnétique reste à flux conservatif en régime
variable. L'équation de Maxwell-Thomson n'est pas modifiée.
Elle s'écrit au point P et à la date t :
L'équation de Maxwell-Thomson indique que le champ
magnétique est à flux conservatif.
Laurent Pietri
~3~
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On passe à la forme intégrée en intégrant l'équation locale
sur un volume V immobile, puis en utilisant le théorème
d’Ostrogradski.
Attendu que est à flux conservatif, à un instant t donné,
le flux (t) du champ magnétique à travers une section
quelconque d'un tube de champ est indépendant de la section
considérée, mais peut éventuellement dépendre du temps.
I-4) Équation de Maxwell-Faraday
En régime variable, l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit
au point P et à la date t :
L'équation de Maxwell-Faraday indique, qu'en régime
variable, un champ magnétique dépendant du temps est
source d'un champ électrique.
On passe à la forme intégrée en intégrant l'équation locale
sur une surface S immobile :
Laurent Pietri
~4~
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qui devient, avec le théorème de Stokes, en notant C le contour
sur lequel s'appuie la surface S :
Remarques :
- On passe aux « d droits » car une fois intégrée le flux
magnétique dépend plus que du temps.
- La forme intégrée de l'équation de Maxwell-Faraday est la
loi de Faraday. Ce point est approfondi dans le chapitre
suivant.
I-5) Équation de Maxwell-Ampère
Afin d'analyser la modification qui affecte l'équation de
Maxwell-Ampère, considérons l'équation locale de conservation
de la charge. En y reportant l'expression de
déduite de
l'équation de Maxwell-Gauss, il vient :
En régime variable, le vecteur dont la divergence est nulle
n'est plus , mais
Laurent Pietri
.
~5~
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L'étude mathématique des opérateurs vectoriels montre
qu'un champ vectoriel dont la divergence est nulle peut
s'identifier à un champ de rotationnel. Ainsi, la formulation de
l'équation de Maxwell-Ampère en régime variable prend en
compte la condition précédente et s'écrit au point P et à la date
t:
L'équation de Maxwell-Ampère indique que les sources du
champ magnétique sont les courants volumiques et les champs
électriques variables dans le temps.
Le terme
est nommé courant de déplacement et noté
. Il s'agit toutefois d'un double abus de langage : il représente
une densité volumique de courant ; il n'est de plus associé à
aucun déplacement de matière.
On passe à la forme intégrée, qui constitue le théorème
d'Ampère, en intégrant l'équation locale sur une surface
immobile :
qui devient, avec le théorème de Stokes, en notant C le contour
sur lequel s'appuie la surface S :
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~6~
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Cette dernière formule constitue le théorème d'Ampère. En
régime indépendant du temps, la dérivée temporelle du flux de
est nulle, on retrouve la version étudiée dans le chapitre sur
la magnétostatique.
I-6) Les quatre équations de Maxwell
I-7) Compatibilité avec la conservation de la charge
Les quatre équations de Maxwell sont compatibles avec
l'équation de conservation de la charge. Si l'on prend en effet la
divergence de l'équation de Maxwell-Ampère :
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~7~
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L'équation de conservation de la charge est donc contenue
dans les équations de Maxwell. La théorie électromagnétique
de Maxwell ne permet ni l'apparition, ni la disparition de
charges.
II – ARQS magnétique
II-1) Echelles spatiales et temporelles
a) Temps de propagation
La mise en place des échelles spatiale et temporelle
requiert
de
cerner
la
problématique
envisagée.
L'électrocinétique, c'est-à-dire l'étude des circuits électriques,
constitue une sous-partie importante de l'électromagnétisme.
En effet, les lois régissant le fonctionnement des réseaux
électriques, telles que la loi des nœuds, la loi des mailles, ou
même les équations de fonctionnement des dipôles électriques,
comme par exemple
pour un condensateur de capacité
C, découlent directement des lois de l'électromagnétisme.
Les lois utilisées en électrocinétique reposent sur les
hypothèses des régimes quasi-stationnaires. On essaiera, entre
autres, de comprendre pourquoi il est possible d'utiliser la loi
des nœuds lors de l'étude d'un circuit électrique évoluant par
exemple en régime sinusoïdal, alors que l'équation locale de
conservation de la masse montre, qu'en régime variable, la
densité volumique de courant n'est pas à flux conservatif.
On considère un dispositif électrique, dont la taille
caractéristique notée a, peut prendre des valeurs allant de
Laurent Pietri
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quelques centimètres dans le cas d'un circuit électronique à
quelques dizaines de mètres pour une installation domestique
ou industrielle.
On note de façon symbolique S un point baptisé « source »,
qui soit porte une charge locale d (S,t), soit est le siège d'un
courant de densité volumique locale (S,t). Dans le cadre de
l'analyse en cours, la nature du modèle décrivant les
répartitions de charges et de courants, n'a pas d'importance.
On note de même M, un point baptisé « observateur », où
est détecté le champ électromagnétique
résultant de
l'existence des sources dans le circuit. Les points S et M
appartenant tous deux au circuit étudié, l'échelle de distance
caractéristique entre S et M est notée a. Par exemple, le point S
étant situé à la sortie d'un générateur de tension, on définit le
point M comme étant la position où une sonde de mesure
détecte la tension.
En régime variable, les grandeurs électromagnétiques
varient avec le temps. On désigne par T, le temps
caractéristique associé à l'évolution temporelle de la répartition
de charges et de courants en S. Dans le cas d'une évolution
périodique, on peut adopter pour T la période temporelle, pour
un régime transitoire, on adopte la durée caractéristique de ce
régime. L'étude du phénomène de propagation montre qu'une
évolution survenant au point S, se propage et s'observe au point
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M avec un temps de retard qui dépend de la célérité de l'onde
et de la distance a entre S et M. On établira l'expression de leur
célérité c. Ainsi, le temps de retard, noté , vaut :
b) Expression des ordres de grandeur
Les équations de Maxwell font intervenir des dérivées
spatiale et temporelle des champs.
En notant E et B les valeurs typiques respectives des
composantes scalaires des champs, et a la distance
caractéristique de variation des champs, on obtient en ordre de
grandeur :
De plus, en notant T la durée caractéristique de variation
des champs :
Les équations de Maxwell relient ces ordres de grandeur selon
les relations :
et
Par définition de
Laurent Pietri
on a :
d' où :
~ 10 ~
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II-2) Définition de l’ARQS magnétique
L'ARQS magnétique constitue un écart à la
magnétostatique dans le sens où, comme en magnétostatique,
un champ magnétique est crée par un courant, mais ce courant
n'étant plus permanent, sa présence engendre en plus de
l'existence d'un champ magnétique, celle d'un champ
électrique.
En effet, le champ magnétique variable est lié au champ
électrique par l'équation de Mawxell-Faraday dont l'expression
en ordre de grandeur, obtenue dans les paragraphes
précédents, s'écrit :
. A l’aide de l’équation de MaxwellAmpère, on obtient :
Le terme
de l'égalité précédente, apparaît comme un écart
à la forme que l'on obtiendrait en régime permanent :
,
correspondant à l'équation de Mawxell-Ampère en régime
permanent.
Lorsque cet écart est infiniment petit devant les autres
termes, on peut alors le négliger et considérer que l'équation de
Maxwell-Ampère conserve la même forme que celle du régime
permanent.
Cette approximation est donc possible lorsque :
Ainsi, lorsque /T est un infiniment petit du premier ordre, on
peut considérer, au second ordre prés, que l'équation de
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~ 11 ~
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Maxwell-Ampère garde la forme du régime permanent. Cela
signifie que le temps nécessaire à la propagation des signaux
temporels associés aux grandeurs électromagnétiques, de S
jusqu'au point d'observation M, est suffisamment faible devant
T, temps caractéristique décrivant l'évolution temporelle de ces
signaux, pour que le phénomène de propagation puisse être
considéré comme instantané.
Toute modification temporelle en S, étant perçue
instantanément en M, tout se passe comme si le lien entre
n'était pas affecté par le phénomène de propagation.
Il existe cependant une différence entre ce régime et le
régime permanent de la magnétostatique qui s'observe au
niveau du champ électrique. En effet, la relation :
montre
que, contrairement au régime permanent, E n'est pas nul.
L'ARQS magnétique est valable dès que
, où a est la
distance caractéristique entre les sources et l'observateur, et T
la temps caractéristique de variation des sources. Elle signifie
que tout phénomène de propagation est considéré comme
instantané : l'observateur est immédiatement au courant des
variations des sources.
Dans le cas du régime sinusoïdal de pulsation temporelle on
a:
Or
donc la condition précédente peut aussi
s’écrire :
Par exemple si
l’ARQS magnétique en TP d’électronique.
Laurent Pietri
~ 12 ~
on est bien dans
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II-3) Propriétés de l'ARQS magnétique
a) Synthèse
Dans le cadre de l'ARQS magnétique, les équations de
Mawxell s'écrivent :
b) Conservation de la charge
La forme simplifiée de l'équation de Maxwell-Ampère
montre que :
Dans l'ARQS, la densité de courant électrique est à flux
conservatif, et vérifie donc, à un instant t, les propriétés
suivantes :
- Le flux (t) de à travers toute surface fermée est nul ;
- L'intensité
traversant une section
d'un tube de
champ du vecteur est indépendante de la section . Il
suffit donc de la noter I(t)
- L'intensité électrique vérifie la loi des nœuds.
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c) Théorème d'Ampère
L'équation de Maxwell-Ampère garde, dans l'ARQS, la
même forme que celle du régime permanent. On peut donc
reconduire à l'instant t le même raisonnement permettant
d'établir le théorème d'Ampère.
Dans l'ARQS, le théorème d'Ampère reliant, à l'instant t, la
circulation du champ magnétique le long d'un contour fermé C,
et l'intensité algébrique I(t) traversant ce contour, est :
On peut donc étendre à l'ARQS les expressions des champs
magnétiques, établies dans le cas statique.
III – Courants de Foucault
III-1) Induction électromagnétique
Dans l'ARQS, même s'il reste suffisamment faible, le champ
électrique n'est pas nul. Son existence étant due à la présence
du champ magnétique variable, on dit que le couple
est
inducteur. La présence d'un courant inducteur variable, créant
un champ magnétique inducteur également variable, engendre
la présence d'un champ électrique nommé champ électrique
induit.
Les hypothèses de l'ARQS magnétique, conduisant à la
condition
, assurent que le champ électrique
induit est suffisamment faible pour ne pas affecter le champ
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magnétique inducteur qui ne dépend ainsi que des courants
inducteurs.
On peut s'interroger sur la validité de cette dernière
propriété en milieu conducteur. En effet, la présence d'un
champ électrique dans un milieu conducteur engendre un
déplacement de charges et l'apparition d'un courant. Un tel
courant, créé par un champ électrique induit porte le nom de
courant induit. Ce courant induit crée, au même titre que le
courant inducteur, un champ magnétique induit qui se
superpose au champ inducteur.
Selon la taille, la conductivité du conducteur et la
fréquence du régime, le champ magnétique induit peut-être
négligeable devant le champ inducteur, ce qu'on suppose dans
la suite.
III-2) Dispositif
On considère un conducteur massif, c'est-à-dire taillé dans
un morceau de métal de volume non nul, qui évolue dans le
cadre de l'ARQS magnétique.
Le dispositif, comporte un courant inducteur produit par
une source de tension sinusoïdale de pulsation  qui alimente
un solénoïde formé de spires circulaires jointives, de rayon R1.
La longueur L du solénoïde est suffisamment grande devant R1
pour que, dans l'espace utile au voisinage du centre O, on
puisse négliger les effets de bord et considérer qu'il se
comporte comme un solénoïde infini.
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Le courant inducteur noté io(t), égal à :

circule dans les N spires du solénoïde et crée le champ
magnétique inducteur quasi uniforme au voisinage de O, égal à :


Dans ce champ magnétique inducteur, on place un cylindre
en métal, de conductivité électrique , de rayon l et de longueur
h. De plus, L est suffisamment grand pour que le champ
magnétique inducteur reste uniforme sur tout le volume du
conducteur.
Le conducteur soumis au champ magnétique variable devient le
siège de courants induits circulant dans toute la masse du
conducteur, les courants de Foucault.
III-3) Mise en équation
On se place dans le cadre de l'ARQS, c'est-à-dire
,
où a représente la distance caractéristique entre les sources, ici
les spires du solénoïde, et le conducteur. Dans le dispositif
étudié,
et T est la période des courants d'alimentation.
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Lorsque ces conditions sont satisfaites, le champ électrique en
tout point du conducteur vérifie les équations de Maxwell :
Le courant induit, de densité volumique
électrique induit par la loi d'Ohm :
, est relié au champ

Le champ magnétique inducteur est imposé par le courant
inducteur io(t) circulant dans le solénoïde ; on néglige le champ
créé par
. Dès lors, le conducteur est soumis à un champ
magnétique uniforme :

III-4) Calcul du champ électrique et du courant induits
a) Analyse des symétries
Le courant d'intensité io(t) crée le champ magnétique
, dont les variations temporelles créent le champ
électrique
. Les symétries du courant se retrouvent donc
dans celles des champs.
En un point M du conducteur, le plan a, qui passe par M et
l'axe (Oz), est un plan d'antisymétrie pour les courants du
solénoïde, le champ électrique lui est donc orthogonal ; il est
orthoradial, dans la base cylindrique :
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La situation physique est invariante par rotation autour de
l'axe (Oz), et par translation, car on néglige les effets de bord.
Ainsi :
b) Calcul du champ électrique induit
Afin de calculer le champ électrique induit en un point M du
conducteur de coordonnées (r, ,z) on adopte comme contour
fermé , la ligne de champ circulaire passant par M, que l'on
orient selon . En prenant pour surface qui s'appuie sur ce
contour le disque de rayon r, le vecteur normal orienté
conjointement au contour est égal à .
D'après le théorème de Stokes-Ampère, il vient :

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
~ 18 ~


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On en déduit donc :





III-5) Bilan d'énergie
a) Puissance moyenne dissipée
La pièce métallique cylindrique insérée dans le solénoïde,
soumise au champ électrique induit et parcourue par le courant
induit reçoit de l'énergie électromagnétique. La puissance
volumique reçue à l'instant t vaut :


de valeur moyenne temporelle égale à :



et la puissance moyenne dissipée dans tout le cylindre,
,
s'obtient en intégrant
sur tout le volume du cylindre :






Cette puissance reçue échauffe le conducteur par effet Joule.
Un conducteur massif métallique soumis à un champ
magnétique variable est parcouru par des courants induits
nommés courants de Foucault. Ces courants échauffent le
conducteur par effet Joule.
Laurent Pietri
~ 19 ~
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Ce phénomène est utilisé dans certains dispositifs comme
des fours à induction ou des plaques à induction, où l'on utilise
cette puissance Joule pour échauffer le métal. Dans le cas des
fours à induction, cet échauffement provoque la fusion du
métal, pour celui des plaques à induction, la chaleur dissipée
dans le fond métallique des ustensiles de cuisine chauffent les
aliments. Ces dispositifs sont donc agencés pour organiser au
mieux les courants de Foucault afin de les rendre les plus
intenses possibles.
b) Feuilletage
A contrario, ce phénomène peut se révéler très gênant
comme dans le cas des transformateurs ou des machines
électriques étudiés dans la partie conversion de puissance, car
cette puissance consommée par effet Joule contribue d'une
part à l'échauffement indésirable des dispositifs et d'autre part,
réduisent la part de puissance utile délivrée par ces dispositifs.
Ainsi, ces derniers sont agencés pour minimiser, voire
annuler, les courants de Foucault : une de ces méthodes est le
feuilletage.
Pour réduire l’importance de la dissipation par effet joule
dans un milieu conducteur soumis à un champ magnétique, on
le compose de feuilles minces séparés par une couche de vernis
isolant.
En effet :




Ainsi il est préférable de travailler à « petit » l, pour éviter des
échauffements trop importants.
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~ 20 ~
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IV - Induction électromagnétique dans un circuit
électrique filiforme
Le phénomène d'induction électromagnétique étudié dans
le cours de première année repose sur la loi de Faraday, qu'on
retrouve dans le cas particulier d'un circuit électrique fixe
soumis à un champ magnétique variable, évoluant dans le cadre
de l'ARQS.
Soit un circuit électrique filiforme orienté C. L'intégration
de l'équation de Maxwell Faraday sur la surface qui s'appuie sur
ce contour, mène à :
En appliquant le théorème de Stokes et en intervertissant
les opérateurs dérivée temporelle et intégrale d'espace :

Où : 
est le flux magnétique à travers S.
Le champ électrique
s'exprime en V.m-1, ainsi sa circulation
s’exprime en V. Cette circulation réprésente la f.é.m.
induite dans le circuit filiforme W. On retrouve ainsi la loi de
Faraday :
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~ 21 ~
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
Remarque :
On s'est placé, pour l'établissement de la loi de Faraday,
dans le cas d'un circuit fixe, soumis à un champ magnétique
variable. Si le circuit est maintenant mobile, alors le contour et
la surface dépendent du temps, S(t) ; l'interversion des
opérateurs dérivé temporelle et intégrale d'espace, dans le
calcul du flux magnétique, n'est plus valable. On admet alors la
validité de la loi de Faraday, pourvu qu'on puisse définir un flux
magnétique et que le circuit coupe des lignes de champ
magnétique dans son déplacement.
V - Énergie magnétique
V-1) Inductance propre et mutuelle inductance
On a établi, dans le cours de première année, deux résultats :
L'énergie magnétique d'un circuit d'auto-inductance L,
parcouru par un courant d'intensité i est :
L'énergie magnétique de deux circuits 1 et 2, couplés par
mutuelle induction décrite par le coefficient
d'inductance mutuelle M, est :
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V-2) Densité volumique d'énergie magnétique
Sous quelle forme cette énergie magnétique est-elle
stockée par le circuit ?
On se place, pour répondre à cette question, dans le cas
simple d'une bobine longue. On établit dans un premier temps
l'expression de son inductance propre L, pour exprimer ensuite
l'énergie emmagasinée.
La bobine longue de longueur nommée solénoïde, est
constituée de N spires, chacune parcourue par un courant
d'intensité i, de surface S.
Soit
le nombre de spire par unité de longueur de la
bobine. Alors le champ magnétique créé dans la bobine a pour
expression :
Le flux de ce champ à travers une seule spire est :

Le flux total à travers les N spires, c'est à dire le flux propre
à travers la bobine, est :

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
~ 23 ~
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On identifie alors l'expression de l'autoinductance :

Dès lors, l'énergie emmagasinée dans la bobine est :
On reconnaît, dans cette expression, la norme du champ
magnétique créé dans la bobine :
On en déduit l'énergie magnétique par unité de volume, ou
densité volumique d'énergie magnétique :
Cette expression est identique à celle issu des équations de
Maxwell. L'énergie magnétique est emmagasinée dans le champ
magnétique.
V-3) Couplage parfait, couplage partiel
Dans le cas de deux circuits, couplés par mutuelle
induction, l'énergie magnétique est aussi stockée dans le champ
magnétique. Attendu que la densité volumique d'énergie
magnétique est positive, l'énergie magnétique l'est aussi. On en
déduit :
Laurent Pietri
~ 24 ~
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Si on factorise l'expression de l'énergie magnétique par
celle-ci s'exprime en fonction de la variable
:
,
Le polynôme en x ainsi formé est positif et ne peux pas changer
de signe. Il n'admet donc pas de racines réelles ; son
discriminant est négatif :
- Le cas minimum M = 0 représente une absence de couplage
magnétique entre les deux circuits.
- On en déduit que le cas maximum
représente
un couplage total entre les deux circuits : toutes les lignes
de champ créées par un circuit, passent à travers l'autre ;
on parle de couplage parfait. Entre ces deux cas extrêmes,
se situent le couplage partiel, où seulement certaines lignes
de champ créées par un circuit, passent dans l'autre.
Laurent Pietri
~ 25 ~
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