paris8 - UFR 6

PARIS8
tq q
UN I V E R S I T ´ E
Vincennes-Saint-Denis UFR 6 – MITSIC
Math´ematiques, Informatique, Technologies, Sciences de l’Information et de la Communication
Introduction `a la logique
Philippe Guillot
 septembre 
Licence informatique

Sommaire 3
Sommaire
Introduction .............................................................. 5
Chapitre I. Le calcul propositionnel ...................................... 6
§1.Propositions ........................................................ 6
§2. Propositions simples, propositions compos´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§3.Connecteurslogiques ................................................. 6
Chapitre II. Le langage des formules propositionnelles ....................... 11
§1. Formule bien construite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§2. Repr´esentation par arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§3. ´ Evaluation d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§4. ´ Evaluation partielle d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§5. Notation polonaise pr´efixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chapitre III. Tautologies et contradictions .................................. 15
§1.D´efinitions ......................................................... 15
§2. D´efinition des principaux connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§3. M´ethode s´emantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§4. M´ethode syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§5. Quelques tautologies usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chapitre IV. Raisonnements et inf´erences .................................. 19
§1. Ensemble consistant de formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§2. Inf´erences et d´eductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§3.R`eglesd’inf´erence .................................................... 22
Chapitre V. Formes normales ............................................. 23
§1.Fonctionbool´eenne ................................................... 23
§2.Logiqueetnombres ................................................... 23
§3. Forme normale disjonctive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§4. M´ethode syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chapitre VI. M´ethode des arbres .......................................... 26
§1. Construction graphique d’une forme normale disjonctive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§2. L’arbre de r´efutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4Sommaire
Chapitre VII. D´eduction naturelle .......................................... 29
§1.Introduction ........................................................ 29
§2.Troisr`eglesdebase ................................................... 30
§3. Traitement des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§4.Exemples .......................................................... 33
Chapitre VIII. Pr´edicats ................................................... 35
§1. Les limites du calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§2.Pr´edicat ........................................................... 35
§3. Les pr´edicats unaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Chapitre IX. Le langage des pr´edicats ...................................... 38
§1. La grammaire du langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§2.Variables ........................................................... 39
Chapitre X. Interpr´etation, validit´e ....................................... 42
§1.Interpr´etation ....................................................... 42
§2. V´erit´e d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
§3.Formulesvalides ..................................................... 44
§4. ´ Equivalences classiques en calcul des pr´edicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Chapitre XI. M´ethode des arbres en calcul des pr´edicats ..................... 47
§1. R`egles de d´eveloppement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§2.Exemples .......................................................... 48
§3. Tester la validit´e d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§4. V´erifier la validit´e d’un raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§5. Compl´ement : une formule qui n’admet aucun mod`ele fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Chapitre XII. D´eduction naturelle en langage des pr´edicats .................... 53
§1. R`egle sur ∀......................................................... 53
§2. R`egle sur ∃......................................................... 53
§3.Exemples .......................................................... 54
Index alphab´etique ........................................................ 56
Bibliographie .............................................................. 58

Introduction 5
Introduction
La logique est l’´etude des proc´ed´es qui conduisent de fa¸con irr´efutable `a des ´enonc´es vrais.
Elle a pour objet la recherche de la v´erit´e au moyen de raisonnements et de d´eductions. On
souhaite ´eliminer l’intuition, le jugement, l’appr´eciation, la confusion, l’ambigu¨ıt´e, de telle sorte
que la conclusion s’impose `a tous et que personne ne puisse la r´efuter.
En ce sens, elle d´epasse la simple conviction et s’oppose `a la rh´etorique.
Elle est n´ee dans la Gr`ece antique pour d´enoncer les sophismes, qui sont des raisonnements
fallacieux exprim´es en termes convaincants destin´es `a d´efendre un accus´e ou condamner un
adversaire face `a ses juges.
hh L’Am´erique, aimez la ou quittez la. (America, love it or leave it)ii
hh Plus il y a de gruy`ere, plus il y a de trous, mais plus il y a de trous, et
moins il y a de gruy`ere, donc. . . ii
La logique a besoin de d´evelopper son propre langage. La langue naturelle est trop riche. Elle
permet d’exprimer des appr´eciations et des sentiments. Il a fallu restreindre la langue naturelle et
la rendre formelle, en particulier pour lever les ambigu¨ıt´es.
La langue formelle permet d’exprimer clairement la validit´e d’une d´eduction de mani`ere irr´efutable.
En contre-partie elle est appauvrie. Elle ne permet pas d’exprimer toutes les subtilit´es de la langue
naturelle. La psychologie est ´elimin´ee. La langue formelle n’est pas r´eflexive. Cela signifie qu’elle
n’est pas assez riche pour traiter d’elle-mˆeme. Les paradoxes sont souvent dus `a l’auto r´ef´erence,
c’est-`a-dire un ´enonc´e qui a lui mˆeme pour objet. La phrase hh Je suis fausse ii est-elle vraie ? est-elle
fausse ?
La langue naturelle, elle, est r´eflexive. La linguistique par exemple, est un discours sur la langue
naturelle exprim´e dans la langue naturelle.
De plus la langue formelle est lourde et impraticable. On utilise en pratique la langue naturelle
dans son acceptation logique qui permet de concilier ´el´egance et rigueur.
Terminons cette introduction en parcourant quelques domaines qui utilisent la logique.
– En math´ematiques, la logique s’inscrit dans les fondements et d´ecrit la fa¸con de mener des
d´eductions rigoureuses.
– En informatique, le calcul binaire avec des 0 et des 1 est issu du calcul des propositions qui
manipule ´egalement deux valeurs hh vrai ii et hh faux ii.
Les bases de donn´ees utilisent des ´enonc´es logiques comme cl´e d’acc`es.
La logique a ´et´e pr´esent´ee comme l’´etude des hh lois de la pens´ee ii (Georges Boole) et est
particuli`erement pr´esente en intelligence artificielle. Un langage de programmation, le Prolog
(Programmation logique) est sp´ecialement d´edi´e `a la manipulation d’´enonc´es logiques.
– En linguistique, la logique est beaucoup utilis´ee pour extraire le sens du discours et ´etudier
son lien avec la fa¸con dont les phrases sont construites.
– La logique est une composante `a part enti`ere de la philosophie dont un des objets est
construction du vrai.
– Dans le domaine du droit, un jugement est une d´ecision de ce qui est consid´er´e comme une
v´erit´e juridique. La construction de cette v´erit´e s’appuie sur une construction logique. Dans un
jugement comme dans un th´eor`eme math´ematique, la conclusion doit s’imposer `a tous.
– La logique est clairement une arme quotidienne du citoyen qui lui permet de d´efendre son point
de vue avec rigueur et de d´emasquer les sophismes que nous ass`enent les discours d´emagogiques
et publicitaires.

6Le calcul propositionnel
I – LE CALCUL PROPOSITIONNEL
§I.1 Propositions
La notion de proposition est une notion primitive, qui n’est pas d´efinie de fa¸con formelle.
D´ efinition I.1 [Proposition]
Une proposition est une phrase dont on peut dire sans ambigu¨ıt´e qu’elle est vraie ou fausse.
La qualit´e d’ˆetre hh vraie ii ou hh fausse ii s’appelle la valeur de v´erit´e de la proposition.
Exemples. Les ´enonces suivants sont des propositions.
–hh Il pleut. ii
–hh 1 + 1 = 3. ii
–hh Pierre est un imb´ecile. ii
On ne s’int´eresse pas `a la v´eritable valeur, qui d’ailleurs est parfois impossible `a d´eterminer. Savoir
si Pierre est ou non un imb´ecile est une question d’appr´eciation et de jugement. On s’int´eresse
seulement au fait qu’on peut attribuer l’une ou l’autre valeur, mˆeme si on ne sait pas exactement
laquelle des deux valeurs attribuer.
Par contre, les phrases suivantes ne sont pas des propositions, car il est impossible de dire si elles
sont vraies ou fausses. Elles sont ´elimin´ees du discours de la logique :
–hh Va-t’en ! ii
–hh Cette phrase est fausse. ii
–hh Je mens toujours. ii
§I.2 Propositions simples, propositions compos´ ees
Une proposition est dite simple, si on ne peut pas la d´ecomposer, c’est-`a-dire si on ne peut pas
trouver une partie stricte qui soit vraie ou fausse.
Par exemple, la proposition hh Pierre et Marie s’aiment ii comprend deux sous-´enonc´es :
–hh Pierre aime Marie ii et
–hh Marie aime Pierre ii
La valeur de v´erit´e d’une proposition complexe ob´eit au principe de composition qui ´enonce
que cette valeur ne d´epend que des valeurs de v´erit´e des propositions simples qui la composent.
La proposition hh Pierre et Maie s’aiment ii est vraie si `a la fois Pierre aime effectivement Marie, et
Marie aime effectivement Pierre. Elle est fausse dans tous les autres cas.
Les principes suivant de la logique ont ´et´e introduits par Aristote et seront admis dans cette
introduction.
–Principe du tiers exclus : une proposition est soit vraie, soit fausse. Il n’y a pas de troisi`eme
choix possible.
–Principe de non-contradiction : une proposition ne peut pas ˆetre vraie et fausse `a la fois. Si
elle est vraie, alors elle n’est pas fausse et si elle est fausse, alors elle n’est pas vraie.
§I.3 Connecteurs logiques
Les connecteurs logiques sont les op´erations qui permettent de construire de nouvelles propositions
compos´ees `a partir de propositions simples.
Les connecteurs sont d´efinis par une table qui donne la valeur de la proposition compos´ee selon les
valeurs possibles des propositions simples qui la composent. La table qui d´efinit les valeurs d’un
connecteur s’appelle une table de v´erit´e.