MÉCANIQUE QUANTIQUE

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COURS 10 +,"-.%$%#)/ !$0%"*&'()/ %(#1"$&,)
QUENTIN GLORIEUX
3P001 –UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE 2015-2016
'(&22
A. A
B. d
C. dsa
D. vxc
E. wq
| i
hSzi=h |ˆ Sz| i
| i
P+
On considère une particule de spin 1/2 (comme l’électron) dont l’état de
spin est décrit par le ket . On appelle la valeur
moyenne de Sz dans l’état et la probabilité que la mesure de Sz
donne le résultat +h/2.
Quelles sont les 2 expressions correctes ?
,"-(!"
Résonance magnétique nucléaire 3
!.!)%*/!$0%"*&'()/%(#1"$&,)
•On a vu que l’électron porte un moment magnétique intrinsèque
•Qu’en est il pour le noyau ?
•Le proton porte un spin :
Mais ce spin est négligeable devant celui de l’électron :
•On a : et
Résonance magnétique nucléaire 4
~µe=e~ Se
e'2qe
2me
=2qp
2me
Spz =±~
2
mpme
|p|⌧|e|
|µpz |⌧|µez |
p'5.59 qp
2mp
n'3.83 qp
2mp

,"-.%$%#)/!$0%"*&'()/%(#1"$&,)
1. Sphère de Bloch
2. Opérateur rotation
3. Principe de la RMN
4. Applications de la RMN
Résonance magnétique nucléaire 5
-3-*)!)/$/4)(5/)*$*-/)*/-(6),6.-&*&.%
6
En dimension deux, on a de façon générale :
Pour décrire cet état, on utilise une
représentation géométrique :
la sphère de Bloch :
| i= cos ✓
2|0i+eisin ✓ 2|1i
-6&%/789
Dans la base les matrices de Pauli sont :
Quelle est la projection de sur le vecteur ?
sont vecteurs propres de
de valeurs propres
On a
et
Résonance magnétique nucléaire 7
ˆ
Sx=~
2✓01
10
◆
ˆ
Sy=~
2✓0i
i0◆
ˆ
Sz=~
2✓10
01◆
{|+iz,|iz}
ˆ
~
S
~u
|+i~u,|i~u
ˆ
~
S.~u
±~/2
ˆ
~
S.~u=~
2✓cos ✓ei'sin ✓
ei'sin ✓cos ✓◆
(*&1&*"/4)/1$/-6:),)/4)/;1.#:
Résonance magnétique nucléaire 8
On peut toujours décrire l’état quantique d’un spin 1/2 par un point sur
la sphère de Bloch :
A une phase globale pres, on peut ecrire :
L’état est entierement déterminé par (à une phase globale près) par la
connaissance de

-6:),)/4)/;1.#:
A.
B.
C.
D.
On considère deux vecteurs unitaires diamétralement opposés sur la
sphère de Bloch ( ). On appelle respectivement
et , les vecteurs d’états associés. Quelle est la valeur du
produit scalaire hermitien entre les deux vecteurs d’état ?
~u0 =~u
| i=|+i~u
| 0i=|i~u0
h 0| i=1
h 0| i=0
h 0| i=1/p(2)
h 0| i=1
,"-.%$%#)/!$0%"*&'()/%(#1"$&,)
1. Sphère de Bloch
2. Opérateur rotation
3. Principe de la RMN
4. Applications de la RMN
Résonance magnétique nucléaire 10
.6",$*)(,/,.*$*&.%
On en déduit la forme matricielle :
On peut vérifier l’unitarité de .
Résonance magnétique nucléaire 11
ˆ
R↵=✓ei↵/20
0ei↵/2◆=exp
⇣i↵
~
ˆ
Sz⌘
ˆ
R↵
,.*$*&.%/4<(%/-6&%/789
A.
B.
C.
D.
On applique une rotation d’un angle 2pi à un spin 1/2 intialement dans
l’état avec . On appelle et l’état du systeme
et sa valeur moyenne après la rotation de 2pi.
Quelles sont les 2 propositions correctes ?
| i
hSi=h |ˆ S| i
| 0i
h
ˆ
S0i
| 0i=| i
| 0i=| i
hˆ S0i=hˆ Si
hˆ S0i=h ˆ Si

,"-.%$%#)/!$0%"*&'()/%(#1"$&,)
1. Sphère de Bloch
2. Opérateur rotation
3. Principe de la RMN
4. Applications de la RMN
Résonance magnétique nucléaire 13
-6&%/=/4$%-/(%/#:$!6/(%&>.,!)
On a vu l’effet de précession de Larmor.
Le Hamiltonien s’écrit :
Pour le proton :
L’effet d’un champ magnétique sur un proton
est de lever la dégénerescence des états + et –
Résonance magnétique nucléaire 14
ˆ
H0=B0ˆµz=B0
ˆ
Sz=!0
ˆ
Sz
B0ˆ Sz=!0<0
ˆ
H0=~!0
2✓10
01◆
4&-6.-&*&>/)56),&!)%*$1
•Création d’un champ magnétique B0
•Ajout d’une petite composante oscillante B1(t) l’aide de bobines en
configuration de Helmholtz
Résonance magnétique nucléaire 15
:$!&1*.%&)%/4(/6,.;1)!)
Résonance magnétique nucléaire 16

,">",)%*&)1/*.(,%$%*
On se place dans un référentiel tournant
autour de l’axe z à la fréquence
Dans ce référentiel, le champ B1 tournant
sera fixe.
Quelle est la rotation que l’on doit faire subir
à l’état pour faire cette transformation ?
Résonance magnétique nucléaire 17
!
| (t)i
)'($*&.%/4)/-#:,.4&%0),/
4$%-/1)/,)>),)%*&)1/*.(,%$%*
On a :
On cherche une équation de la forme :
avec un Hamiltonien effectif indépendant du temps.
Résonance magnétique nucléaire 18
|˜ (t)i=ˆ R(t)| (t)i
i~d|˜
(t)i
dt =ˆ
Heff (t)|˜ (t)i
ˆ
Heff (t)= ˆ R(t)ˆ H(t)ˆ R†(t)+i~dˆ
R(t)
dt ˆ
R†(t)
ˆ
Heff == ~
2✓!0!!
1
!1(!0!)◆=(!0!)ˆ
Sz+!1ˆ Sx
&%*),6,)*$*&.%/4(/:$!&1*.%&)%/)>>)#*&>
On aurait pu trouver ce résultat immédiatement à l’aide d’un raisonement
géométrique :
Le Hamiltonien effectif donne naissance à un champ magnétique effectif
Précession de Larmor autour de Beff à la fréquence (fréquence de Rabi)
Résonance magnétique nucléaire 19
ˆ
Heff == ~
2✓!0!!
1
!1(!0!)◆=(!0!)ˆ
Sz+!1ˆ Sx
Dans le référentiel tournant, le
champ B1 est fixe et reste
aligné selon l’axe x
Dans le référentiel tournant la
fréquence de précession de
Larmor autour de B0 n’est
plus mais
!0
!0!
ˆ
Heff =ˆ
~
S. ~ Beff
|~ Beff |=|⌦/|
⌦=q(!0!)2+!2
1
⌦
$%&!$*&.%
Résonance magnétique nucléaire 20