Partie 1 - Thermodynamique

UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER - GRENOBLE 1
L2 - PHY231 - Octobre 2007 - Contrôle Continu
Durée : 2 heures (Thermodynamique+Ondes)
Formulaire manuscript A4 recto-verso et calculatrice autorisés
Les sujets Ondes et Thermodynamique seront rendus sur des copies séparées
Partie 1 - Thermodynamique
Compressions d’un gaz parfait
Un cylindre vertical de section est fermé par un piston de masse négligeable,
mobile sans frottement. Une mole d’Hélium, considéré comme un gaz parfait, est initialement
enfermée dans le cylindre. Les conditions initiales sont : et .
La pression atmosphérique extérieure est supposée constante et égale à .
Données : et .
1) Question de cours :
a) Démontrer la loi de Laplace pour les transformations adiabatiques réversibles d’un Gaz Parfait.
On démontrera uniquement la relation liant P et V et on précisera dans la démonstration où sont
utilisées les hypothèses de la loi de Laplace.
b) Exprimer les coefficients et en fonction de R et de . Que pouvez-vous dire sur ce gaz ?
2) Les parois du cylindre et le pistonsont imperméables à la chaleur (athermanes). On applique
de manière quasi-statique une surchage de masse égale à sur le piston. On désigne
par ( ) le nouvel état d’équilibre. La transformation est considérée comme réversible.
a) Qu’est-ce qu’une transformation quasi-statique ?
b) Calculer la pression dans l’état final , puis les volumes et la température .
c) Exprimer la vitesse quadratique moyenne ( ) des molécules en fonction de la température ,
de R et de la masse molaire.
En déduire une estimation de la valeur numérique de la vitesse des molécules dans l’état initial.
d) Calculer la variation d’énergie interne ainsi que le travailéchangé avec le milieu extérieur. Com-
menter le signe de W.
3) On repart du même état initial ( ), mais on applique brutalement la surchage
sur le piston. Tout le reste est inchangé, en particulier, les parois sont toujours athermanes.
On désigne par ( ) le nouvel état d’équilibre.
a) Expliquer pourquoi cette transformation est adiabatique irréversible.
b) Donner, pour cette transformation, les expressions de la variation d’énergie interne ( ) et du
travail échangé W, en fonction des inconnues , et .
En déduire , et et leurs valeurs numériques.
c) Calculer la valeur numérique du travail échangé avec le milieu extérieur.
1

4) Une mole du même gaz, à et , est placée dans chacun des comparti-
ments (A et B, de même volume ) d’un cylindre horizontal (cf. figure). Le piston qui
les sépare coulisse librement, sans frottement. Les parois du cylindre et du piston sont rigides et
athermanes. Seule la paroi extérieure de , au contact de la source de chaleur à température ,
permet l’échange de chaleur.
Le compartiment est porté, de manière réversible, à la température à l’aide d’une
résistance chauffante. Le compartiment demeure à la température par contact thermique avec
la source de chaleur. L’état final est un état d’équilibre, en particulier d’équilibre mécanique.
On supposera que les transformations sont faites dans les conditions de la réversibilité.
a) Qu’impliquent l’équilibre mécanique et la réversibilité pour les pressions ?
BA Source de Chaleur
0
θ
Parois athermanes
Piston mobile Paroi diathermane
b) Donner les caractéristiques des transformations subies par les systèmes A et B.
Calculer et , les pressions et volumes dans l’état final.
c) Calculer la variation d’énergie interne du système A et du système B (notées et ).
d) Calculer la chaleur et le travail échangés par le système B ( et ).
e) Calculer la chaleur et le travail échangés par le système A ( et ).
f) En déduire la quantité de chaleur fournie par la résistance.
2

UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER - GRENOBLE 1
L2 - PHY231 - Octobre 2007 - Contrôle Continu
Durée : 2 heures (Thermodynamique+Ondes)
Formulaire manuscript A4 recto-verso et calculatrice autorisés
Les sujets Ondes et Thermodynamique seront rendus sur des copies séparées
Partie 1 - Thermodynamique
Compressions d’un gaz parfait
1)
a) Par définition, une transformation adiabatique est une transformation au cours de laquelle le
système n’échange pas de chaleur avec le milieu extérieur. On a donc : .
Dans le cas d’une transformation réversible, on peut écrire :
On en déduit :
Soit, en faisant le rapport de ces deux équations :
Dans le cas du gaz parfait, on sait que et . D’où :
On intègre la relation précedente :
où on a posé que la constante C est égale à (une autre constante).
On en déduit la loi de Laplace :
(1)
b)
et
Les valeurs de et , nous indiquent qu’il s’agit d’un gaz parfait monoatomique
2) a) Une transformation est dite quasi-statique lorsque le système évolue d’un état initial I vers
un état final F, en passant par un succession d’états d’équilibre infiniment voisinsles uns des autres.
Ce n’est par exemple pas le cas d’une transformation brutale.
3

b) Dans l’état final, le piston est à l’équilibre. La pression du gaz est égale à la pression atmo-
sphérique plus la pression due à la masse, soit :
Ensuite comme on considère une transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait, on peut
utiliser la loi de Laplace : . On a donc :
avec .
La température est obtenue avec l’équation d’état du gaz parfait :
b) Pour un gaz parfait, on a : , où est la constante de Boltzmann et
la masse d’une molécule. On multiplie à gauche et à droite par le nombre d’Avogadro ( ), on
obtient : .
On sait que , et on peut dire que est la masse d’une mole de ce gaz, donc la masse
molaire.
On a donc
Il s’agit de la vitesse quadratique moyenne des atomes.
La vitesse moyenne des atomes peut donc être estimée :
c) Les variations d’énergie interne sont données par la première loi de Joule :
On utilise finalement le premier principe : .
Or la transformation est adiabatique : . Le travail est positif, il est reçu par le gaz, ce
qui est satisfaisant pour une compression.
3) a) Cette fois-ci la transformation est brutale, elle n’est donc plus (par définition) quasi-statique
et par suite elle est irréversible. Elle est par ailleurs toujours adiabatique.
b) La variation d’énergie interne est toujours donnée par la loi de Joule : .
Dans le cas d’une transformation irréversible, on a : .
Soit : , avec
Le premier principe nous indique pour cette transformation adiabatique :
4

On en déduit : .
Finalement, on a .
3)c) AN :
4)a) À l’équilibre mécanique on a égalité des pressions en A et B : .
La réversibilité implique que la pression extérieure est toujours égale à la pression du système. Le
système B joue le rôle du milieu extérieur pour le système A (et vice versa). On a donc à tout
instant : .
b) Pour le système B, la transformation est isotherme réversible. Pour le système A, on ne peut
rien dire de special (à part qu’elle est réversible).
On écrit l’équation d’état dans l’état final :
et
On somme ces deux équations, en tenant compte du fait que , on trouve :
On en déduit et
c) et (isotherme).
d) Comme la transformation est isotherme, on a . On calcule le travail par exemple :
e) On trouve facilement le travail échangé par A : .
Finalement, le premier principe nous permet d’obtenir (c’est une
quantité positive, le système a bien reçu de la chaleur de la résistance).
f) On a de manière évidente : .
5