Partie 1 - Thermodynamique

UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER - GRENOBLE 1
L2 - PHY231 - Octobre 2007 - Contrôle Continu
Durée : 2 heures (Thermodynamique+Ondes)
Formulaire manuscript A4 recto-verso et calculatrice autorisés
Les sujets Ondes et Thermodynamique seront rendus sur des copies séparées
Partie 1 - Thermodynamique
Compressions d’un gaz parfait
Un cylindre vertical de section
est fermé par un piston de masse négligeable,
mobile sans frottement. Une mole d’Hélium, considéré comme un gaz parfait, est initialement
enfermée dans le cylindre. Les conditions initiales sont :
et
.
La pression atmosphérique extérieure est supposée constante et égale à
.
Données :
et
.
/ ,21 436578*:9;
<=>*:9@?A6B:CEDFGC 1
' )(+* ,.- 0
%
"!$# L3 & <=>*:9
HA#JI;K '
1) Question de cours :
a) Démontrer la loi de Laplace pour les transformations adiabatiques réversibles d’un Gaz Parfait.
On démontrera uniquement la relation liant P et V et on précisera dans la démonstration où sont
utilisées les hypothèses de la loi de Laplace.
et
en fonction de R et de . Que pouvez-vous dire sur ce gaz ?
b) Exprimer les coefficients
6D
6B
?
H %M '
2) Les parois du cylindre et le piston sont imperméables à la chaleur (athermanes). On applique
de manière quasi-statique une surchage de masse égale à
sur le piston. On désigne
par (
) le nouvel état d’équilibre. La transformation est considérée comme réversible.
a) Qu’est-ce qu’une transformation quasi-statique ?
et la température .
b) Calculer la pression dans l’état final , puis les volumes
c) Exprimer la vitesse quadratique moyenne ( ) des molécules en fonction de la température ,
de R et de la masse molaire.
En déduire une estimation de la valeur numérique de la vitesse des molécules dans l’état initial.
d) Calculer la variation d’énergie interne ainsi que le travail échangé avec le milieu extérieur. Commenter le signe de W.
9 , N 9 ,PO 9
9
M '
N , N 9
Q
O 9
O E ,N P, O H 3) On repart du même état initial (
), mais on applique brutalement la surchage
sur le piston. Tout le reste est inchangé, en particulier, les parois sont toujours athermanes.
On désigne par (
) le nouvel état d’équilibre.
a) Expliquer pourquoi cette transformation est adiabatique irréversible.
b) Donner, pour cette transformation, les expressions de la variation d’énergie interne (
) et du
travail échangé W, en fonction des inconnues ,
et .
En déduire ,
et
et leurs valeurs numériques.
c) Calculer la valeur numérique du travail échangé avec le milieu extérieur.
, N ,PO N O N O 1
RTS
4 N 3 , 3 4) Une mole du même gaz, à
et
, est placée dans chacun des comparti
) d’un cylindre horizontal (cf. figure). Le piston qui
ments (A et B, de même volume
les sépare coulisse librement, sans frottement. Les parois du cylindre et du piston sont rigides et
athermanes. Seule la paroi extérieure de , au contact de la source de chaleur à température ,
permet l’échange de chaleur.
Le compartiment est porté, de manière réversible, à la température
à l’aide d’une
résistance chauffante. Le compartiment demeure à la température par contact thermique avec
la source de chaleur. L’état final est un état d’équilibre, en particulier d’équilibre mécanique.
On supposera que les transformations sont faites dans les conditions de la réversibilité.
9 a) Qu’impliquent l’équilibre mécanique et la réversibilité pour les pressions ?
Piston mobile
Paroi diathermane
A
B
Source de Chaleur
θ0
Parois athermanes
, ,N
N
b) Donner les caractéristiques des transformations subies par les systèmes A et B.
Calculer et , les pressions et volumes dans l’état final.
c) Calculer la variation d’énergie interne du système A et du système B (notées et
d) Calculer la chaleur et le travail échangés par le système B ( et ).
e) Calculer la chaleur et le travail échangés par le système A ( et ).
f) En déduire la quantité de chaleur fournie par la résistance.
RTS
2
RTS
).
UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER - GRENOBLE 1
L2 - PHY231 - Octobre 2007 - Contrôle Continu
Durée : 2 heures (Thermodynamique+Ondes)
Formulaire manuscript A4 recto-verso et calculatrice autorisés
Les sujets Ondes et Thermodynamique seront rendus sur des copies séparées
Partie 1 - Thermodynamique
Compressions d’un gaz parfait
1)
a) Par définition, une transformation adiabatique est une transformation au cours de laquelle le
système n’échange pas de chaleur avec le milieu extérieur. On a donc : .
Dans le cas d’une transformation réversible, on peut écrire :
0
;ED O N
0
6B O On en déduit :
ED O N
6B O Soit, en faisant le rapport de ces deux équations :
ED ? 6 B
C Dans le cas du gaz parfait, on sait que
et
N ? N N
N C
. D’où :
? N N
On intègre la relation précedente :
= F= N = N L= 7
= 7 (une autre constante).
où on a posé que la constante C est égale à
On en déduit la loi de Laplace :
b)
Les valeurs de
6D
et
6B
N 7 < "( ! #!%$
E D ?&- 1 - et 6B ?'? - G -
(1)
, nous indiquent qu’il s’agit d’un gaz parfait monoatomique
2) a) Une transformation est dite quasi-statique lorsque le système évolue d’un état initial I vers
un état final F, en passant par un succession d’états d’équilibre infiniment voisins les uns des autres.
Ce n’est par exemple pas le cas d’une transformation brutale.
3
b) Dans l’état final, le piston est à l’équilibre. La pression du gaz est égale à la pression atmosphérique plus la pression due à la masse, soit :
9 "! # H ' N (
N 9 9 N , 9
N - O C 3 , 3 .
avec Ensuite comme on considère une transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait, on peut
"! $
utiliser la loi de Laplace :
. On a donc :
La température est obtenue avec l’équation d’état du gaz parfait :
O 9 9 - N 9 1 /
, / 7
1 CM O C
Q , où M est la constante de Boltzmann et b) Pour un gaz parfait, on a :
la masse d’une molécule. On multiplie à gauche et à droite par le nombre d’Avogadro ( ), on
1 M O L
Q .
obtient : - 0M , et on peut dire que est la masse d’une mole de ce gaz, donc la masse
On sait que
molaire.
On a donc
Q 1-O H #JI;K
A
Il s’agit de la vitesse quadratique moyenne des atomes.
La vitesse moyenne des atomes peut donc être estimée :
1 -O % 1 G3 ( *:9
Q H #JI;K
c) Les variations d’énergie interne sont données par la première loi de Joule :
E5
RTS . ED R O %
On utilise finalement le premier principe : RTS
E5 .
Or la transformation est adiabatique : qui est satisfaisant pour une compression.
. Le travail est positif, il est reçu par le gaz, ce
3) a) Cette fois-ci la transformation est brutale, elle n’est donc plus (par définition) quasi-statique
et par suite elle est irréversible. Elle est par ailleurs toujours adiabatique.
b) La variation d’énergie interne est toujours donnée par la loi de Joule :
.
Dans le cas d’une transformation irréversible, on a : .
Soit : , avec
Le premier principe nous indique pour cette transformation adiabatique :
:ED O
N N 9 L
. D O O R
S
! N N
O N N .ED O O - O N - " O O 4
O CG O N -&O
%43 , E5
On en déduit :
Finalement, on a
3)c) AN : L3 , 7 .
, C .
.
4)a) À l’équilibre mécanique on a égalité des pressions en A et B : La réversibilité implique que la pression extérieure est toujours égale à la pression du système. Le
système B joue le rôle du milieu extérieur pour le système A (et vice versa). On a donc à tout
instant : .
b) Pour le système B, la transformation est isotherme réversible. Pour le système A, on ne peut
rien dire de special (à part qu’elle est réversible).
On écrit l’équation d’état dans l’état final :
N - O 9 et N - O N N N , on trouve :
On somme ces deux équations, en tenant compte du fait que N 2 - O O 9 - O O 9 C N % , 1 &
N -O C , G et N N N ,21 On en déduit :ED O 9 O /GE5 et RTS (isotherme).
c) RTS . On calcule le travail par exemple :
d) Comme la transformation est isotherme, on a N - O = N C N 1 5
.
e) On trouve facilement le travail échangé par A : RTS Finalement, le premier principe nous permet d’obtenir quantité positive, le système a bien reçu de la chaleur de la résistance).
f) On a de manière évidente :
! .
5
E5
(c’est une